河南省鄭州市2023-2024學年高二上學期1月期末考試數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省鄭州市2023-2024學年高二上學期1月期末考試數學試題注意事項：本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．考試時間120分鐘，滿分150分．考生應首先閱讀答題卡上的文字信息，然后在答題卡上作答，在試題卷上作答無效．交卷時只交答題卡．第I卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.過點，且傾斜角為的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】過點，且傾斜角為的直線垂直于軸，其方程為.故選：B2.已知點，，，則點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設，則，因為，故，即，解得，故點的坐標為.故選：C3.已知數列的前項和為，且，則（）A.20 B.28 C.32 D.48【答案】A【解析】易知.故選：A4.已知為拋物線：上一點，點到的焦點的距離為4，到軸的距離為3，則（）A.1 B.2 C.3 D.6【答案】B【解析】由拋物線定義得，解得.故選：B5.若關于，的方程組無解，則的值為（）A. B. C.1 D.0【答案】C【解析】由于無解，則表示兩直線無交點，故兩直線是平行關系，因此，解得，經檢驗滿足題意，故選：C6.已知，，且，則和可分別作為（）A.雙曲線和拋物線的離心率 B.雙曲線和橢圓的離心率C.橢圓和拋物線的離心率 D.兩雙曲線的離心率【答案】A【解析】由題意，，且，所以，解得，所以和可分別作為雙曲線和拋物線的離心率.故選：A.7.人教A版選擇性必修第一冊教材44頁“拓廣探索”中有這樣的表述：在空間直角坐標系中，若平面經過點，且以為法向量，設是平面內的任意一點，由，可得，此即平面的點法式方程．利用教材給出的材料，解決下面的問題：已知平面的方程為，直線的方向向量為，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為平面的方程為，所以平面的一個法向量為,2,，直線的方向向量為，設直線與平面所成角為，則,．故選：B．8.阿基米德是古希臘著名的數學家、物理學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．已知橢圓：的面積為，點在橢圓上，且點與橢圓左、右頂點，連線的斜率之積為，則的值不可能為（）A. B. C.0 D.2【答案】CD【解析】設，，則①，由題意知，，，因為點與橢圓左、右頂點，連線的斜率之積為，所以，即②，由①②可得，，所以，由橢圓的面積為，知，即，所以，，因為點在橢圓上，且，，所以,,，即,，所以,,,，對比選項可知，的值不可能為0和2．故選：CD．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.如圖，棱長為2的正方體中，，分別為，的中點，則（）A. B.與所成角的余弦值為C.，，，四點共面 D.的面積為【答案】ACD【解析】以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，對于A，，，，所以，故A正確；對于B，，，所以，所以與所成角的余弦值為，故B錯誤；對于C，取的中點，連接，由正方體的性質可知，所以四邊形是平行四邊形，所以，，同理可知：，，所以，，四邊形平行四邊形，則，，，四點共面，故C正確；對于D，，取的中點為，連接，所以，故的面積為，故D正確.故選：ACD.10.已知兩圓：，：，則下列說法正確的是（）A.點在圓內B.圓關于直線對稱C.圓與圓外切D.點在圓上，點在圓上，則的最大值為6【答案】BD【解析】圓：，整理得，圓心為，半徑為對于A選項，由于點到圓圓心的距離為，故點在圓外，故A錯誤；對于B選項，由于滿足，故圓關于直線對稱，故B正確；對于C選項，由于圓：，圓心，半徑為3，兩圓圓心距為，所以圓與圓內切，故C錯誤；對于D選項，點在圓上，點在圓上，因為圓與圓內切，所以的最大值為圓的直徑6，故D正確，故選：BD.11.已知數列中，，，，記的前項和為，則（）A.中任意三項都不能構成等差數列 B.C. D.【答案】AC【解析】因為，，可得，則，所以數列是以1為首項，2為公比的等比數列，所以，，即，故B錯誤；假設中任意三項都構成等差數列，可設，則成等差數列，可得，即，即有，由，可得，由，可得，則不成立，故A正確；，故C正確；，所以，，因為為遞增數列，所以，可得，故D錯誤.故選：AC.12.拋物線：的焦點是，準線與對稱軸相交于點，過點的直線與相交于，兩點（點在第一象限），，垂足為，則下列說法正確的是（）A.若以為圓心，為半徑的圓經過點，則是等邊三角形B.兩條直線，的斜率之和為定值C.已知拋物線上的兩點，到點的距離之和為8，則線段的中點的縱坐標是4D.若的外接圓與拋物線的準線相切，則該圓的半徑為【答案】ABD【解析】對于A，由拋物線的定義知，，因為以為圓心，為半徑的圓與相交于和兩點，所以，所以為等邊三角形，故A正確；對于B，設直線的方程是，代入并消去得，設，，則，.，，所以，所以兩條直線，的斜率之和為定值，故B正確；對于C，設，則，即，則線段的中點的縱坐標為，故C錯誤；對于D，因為的外接圓與拋物線的準線相切，所以圓心在拋物線上，且圓心在線段OF的垂直平分線，可知外接圓圓心縱坐標為，所以外接圓半徑為，故D正確.故選：ABD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在空間直角坐標系中，點關于平面對稱的點的坐標是________．【答案】【解析】點關于平面對稱的點的坐標是.故答案為：.14.寫出圓：與圓：的一條公切線方程________．【答案】（答案不唯一）【解析】圓的圓心，半徑為，圓的圓心為，半徑為，故，故圓與圓外切，將與相減得，即兩圓內公切線方程為，兩圓圓心所在直線方程為，即，由于兩圓半徑相等，故兩圓的外公切線所在直線方程與平行，設為，圓心到的距離為，解得，故兩圓外公切線所在直線方程為和.故答案為：（或之一也可以）15.松脆辛香的品客薯片蘊藏著數學、物理、哲學的奧秘，它的形狀叫雙曲拋物面（馬鞍面），其標準方程為（，），當時截線方程為：（，），如圖從的一個焦點射出的光線，經過，兩點反射后，分別經過點和,且反射光線的反向延長線交于的另一個焦點．已知,，則的離心率為________．【答案】【解析】如圖，分別延長交雙曲線的左焦點為，因為，兩邊平方得，，所以，因為，所以，設，則，，設，則，又，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以離心率為，故答案為：.16.已知數列中，，，，設數列，則的通項公式為________．【答案】【解析】由題意，，，所以數列是以為首項、為公比的等比數列，所以，所以，即，所以數列是以為首項，6為公差的等差數列，所以.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．其中17題10分，18~22題各12分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知等腰的一個頂點在直線：上，底邊的兩端點坐標分別為，．（1）求邊上的高所在直線方程；（2）求點到直線的距離．解：（1）由題意可知，為的中點，，，．又，．所在直線方程為，即．（2）由，解得，所以．又直線方程為，即．點到直線的距離．18.已知圓的圓心為，過直線上一點作圓的切線，且切線段長的最小值為2．（1）求圓的標準方程；（2）若圓與圓：相交于，兩點，求兩圓公共弦的長．解：（1）設圓的半徑為，過向圓所作切線的一個切點為，由知，當最小時，切線段的長度有最小值，自圓心向直線引垂線段，此時有最小值．圓心到直線的距離．即．．圓的方程為．（2）由圓：和圓：，由于兩圓的圓心距為，故兩圓相交，兩圓方程相減得，公共弦所在直線方程為．圓心到直線的距離為．弦長．19.設等差數列的前項和為，已知，．（1）求數列的通項公式；（2）設數列的首項為，且對任意的都有，求數列的前項和．解：（1）設等差數列的公差為，則由題意得解得數列的通項公式為．（2）由題意得，數列為等比數列，公比為，所以的通項公式為．．當為偶數時，；當為奇數時，．綜上所述，．20.在平面直角坐標系中，動點到點的距離比到直線的距離小1．（1）求點的軌跡的方程；（2）已知直線過點，與軌跡交于，兩點．求證：直線與直線的傾斜角互補．解：（1）曲線上的動點到點的距離比到直線的距離小1，動點到直線的距離與它到點的距離相等．故所求軌跡為以原點為頂點，開口向右的拋物線，且，．點的軌跡的方程為．（2）由題知直線的斜率存在且不為零，設的方程為，聯(lián)立得，，所以.設，，，．，，．即直線與直線的傾斜角互補．21.在三棱臺中，平面，，，，為中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）取的中點，連接，，得為的中位線，，且．由于∽，，故，而，，則，，四邊形為平行四邊形，．又平面，平面，平面．（2）如圖，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，則，，，所以，．設平面的一個法向量為，由，得，令，則可?。矫嫫矫娴姆ㄏ蛄靠扇椋O平面與平面的夾角為，,則，平面與平面的夾角余弦值為.22.已知橢圓：的離心率為，過右焦點的直線與相交于、兩點．當垂直于長軸時，．（1）求橢圓的方程；（2）橢圓上是否存在點，使得當繞點轉到某一位置時，四邊形為