河南省駐馬店市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省駐馬店市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題本試題卷分為第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上，在本試題卷上答題無效．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫（涂）在答題卡上．考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)，姓名是否一致．2．第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．第Ⅱ卷用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題上作答，答案無效．3．考試結(jié)束，監(jiān)考教師將答題卡收回．第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，設(shè)直線的傾斜角為，則，又，所以，即直線的傾斜角為.故選：D2.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，所以，拋物線開口向上，且，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C3.已知兩條不重合的直線和．若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.1 D.或1【答案】B【解析】因?yàn)?，故，故或，?dāng)時(shí)，的方程均為，它們重合，故舍去；當(dāng)時(shí)，，，它們平行，故選：B.4.在平行六面體中，是平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)，記，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，化簡(jiǎn)得：，故選：A.5.鐘表面上有12個(gè)時(shí)刻整點(diǎn)，從中任選3個(gè)整點(diǎn)，則此3點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】12點(diǎn)中任取3個(gè)不同的點(diǎn)，共有，12個(gè)時(shí)刻整點(diǎn)共有6條不同的直徑，除去兩個(gè)直徑的端點(diǎn)，還余10個(gè)點(diǎn)，故任選3個(gè)整點(diǎn)，它們構(gòu)成直角三角形，有，設(shè)為“任選3個(gè)整點(diǎn)，則此3點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形”，則，故選：D.6.在四棱錐中，底面為正方形，底面分別為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，由分別為的中點(diǎn)，則，，則，，設(shè)異面直線與的夾角為，.故選：A.7.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)分別在x軸和y軸上運(yùn)動(dòng),且,點(diǎn)和點(diǎn)P滿足，則的最大值為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)、、，則、、，由，則有，即，由，有，故，即，即有，且，則，由，故當(dāng)時(shí)，有最大值，且的最大值為.故選：D.8.2023年杭州亞運(yùn)會(huì)是疫情之后我國(guó)舉辦的一項(xiàng)重大賽事，它不僅向世界展示了我國(guó)強(qiáng)大的綜合實(shí)力，更體現(xiàn)了我國(guó)青年的奉獻(xiàn)精神和志愿力量．運(yùn)動(dòng)會(huì)期間甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者站成一排拍照留念，其中甲和乙相鄰，甲和丙不相鄰，則不同的排列方式共有（）種．A.24 B.32 C.36 D.40【答案】C【解析】甲和乙相鄰，則甲乙有種排法，則甲、乙、丁、戊共有種排法，此時(shí)甲、乙、丁、戊間共有五個(gè)位置可排，但甲和丙不相鄰，故只能在三個(gè)位置中選一個(gè)，故共有種排法.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知曲線，下列命題錯(cuò)誤的是（）A.若，則是雙曲線 B.若，則是橢圓C.若，則是圓 D.若，則是兩條直線【答案】BCD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，異號(hào)，故曲線是雙曲線，故A正確；對(duì)于B，若，則曲線圓，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則曲線不存在，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，滿足，但曲線不存在，故D錯(cuò)誤.故選：BCD.10.有4個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字，從中不放回隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則下列關(guān)系成立的是（）A.與相互獨(dú)立 B.與相互獨(dú)立 C.與相互獨(dú)立 D.與相互獨(dú)立【答案】BC【解析】從上述個(gè)球中不放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，所有的基本事件：、、、、、、、、、、、，共種，其中事件包含的基本事件有：、、、、、，共6種，事件包含的基本事件有：、、、、、，共6種，事件包含的基本事件有：、、、、、、，，共8種，事件包含的基本事件有：、、、，共4種，對(duì)于A：，，事件包含的基本事件有：、、、，共4種，則，故，不獨(dú)立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：事件包含的基本事件有：、、、，共種，則，又，所以，故，相互獨(dú)立，故B正確；對(duì)于C：事件包含的基本事件有：、，共2種，則，又因?yàn)椋瑒t，則、相互獨(dú)立，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)椤⒒閷?duì)立事件，所以，則，故、不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤．故選：BC．11.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對(duì)于A，對(duì)，有，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則有，即，因?yàn)?，所以，，，，，故有，故B正確；對(duì)于C，由、、，、，則，令，則有，即，又，故，故C正確；對(duì)于D，令，則有，即，又，故，故D正確.故選：BCD.12.法國(guó)著名數(shù)學(xué)家蒙日首先發(fā)現(xiàn)橢圓兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)軌跡是以橢圓的中心為圓心的圓，后來這個(gè)圓被稱為蒙日?qǐng)A．已知橢圓，其蒙日?qǐng)A為圓，過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.圓的方程為 B.四邊形面積的最小值為4C.的最小值為 D.當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，直線的方程為【答案】BD【解析】當(dāng)切線的切點(diǎn)分別為橢圓上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)時(shí)，可以得到兩切線的交點(diǎn)為，所以蒙日?qǐng)A的方程為，故A不正確；四邊形面積為：，只需求出的最小值，而的最小值為點(diǎn)到直線的距離，所以的最小值為，故B正確；設(shè),則，故，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，而的最小值，故的最小值8，故等號(hào)取不到，故C不正確；當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，點(diǎn)，，，四點(diǎn)共以為直徑圓上，所以這個(gè)圓的方程為，與圓方程聯(lián)立，可得直的方程為，故D正確.故選：BD.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上．13.在空間直角坐標(biāo)系中，，則點(diǎn)B到直線的距離為_________．【答案】【解析】因?yàn)?，可得在方向上的投影為，又，由勾股定理可得點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：14.已知的展開式中常數(shù)項(xiàng)為，則________．【答案】【解析】因?yàn)椋渲姓归_式的通項(xiàng)為（且），則的展開式中常數(shù)項(xiàng)為，所以，解得.故答案為：15.中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙．假設(shè)空間站要安排甲、乙、丙、丁4名航天員開展實(shí)驗(yàn)，每名航天員只能去一個(gè)艙，每個(gè)艙至少安排一個(gè)人，則甲被安排在天和核心艙的條件下，乙也被安排在天和核心艙的概率為_________．【答案】【解析】根據(jù)題意，設(shè)事件為“甲被安排在天和核心艙”，事件為“乙被安排在天和核心艙”，將甲、乙、丙、丁安排到3個(gè)航天艙，需要先將4人分為3組，再安排到3個(gè)航天艙，有種安排方法，甲被安排在天和核心艙，有種安排方法，則，若甲、乙均被安排在天和核心艙，有種安排方法，則，故甲被安排在天和核心艙的條件下，乙也被安排在天和核心艙的概率．故答案為：．16.如圖，橢圓和有相同的焦點(diǎn),離心率分別為為橢圓的上頂點(diǎn),與橢圓交于點(diǎn)B,若，則的最小值為_________．【答案】【解析】設(shè)，，則，又，則，，所以，所以，又，所以，所以，則，所以，則的最小值為.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，滿分70分．解答時(shí)要求寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟．17.公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書中證明了平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，這個(gè)圓被稱為阿波羅尼斯圓．在平面直角坐標(biāo)系中，，動(dòng)點(diǎn)Q滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）直線與曲線交于兩點(diǎn)，若，從中任選一個(gè)值，求此時(shí)相應(yīng)的弦長(zhǎng)．解：（1）設(shè)，由，得，整理得，即曲線的方程為.（2）①如果選，此時(shí)直線的方程為而圓的半徑，圓心到直線的距離為，故弦長(zhǎng)，②如果選，此時(shí)直線的方程為，由，解得或，則直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，，故弦長(zhǎng).③如果選，此時(shí)直線的方程為，可知直線經(jīng)過圓心，圓的半徑，所以弦長(zhǎng).18.已知P是拋物線的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線,切點(diǎn)分別為．（1）若點(diǎn)P縱坐標(biāo)為0，求此時(shí)拋物線C的切線方程；（2）設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值．解：（1）由拋物線C的方程為，則其準(zhǔn)線方程為由于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為0，所以點(diǎn)P為，過P作拋物線C的切線，由題意知斜率存在且不為0，設(shè)其斜率為k則切線方程為聯(lián)立由于直線與拋物線C相切，可知，即此時(shí)拋物線C的兩條切線方程分別為和.（2）點(diǎn)P在拋物線C的準(zhǔn)線上，設(shè)由題意知過點(diǎn)P作拋物線C的切線，斜率存在且不為0，設(shè)其斜率為k則切線方程為聯(lián)立由于直線與拋物線C相切，可知，即而拋物線C的兩條切線的斜率，即為方程的兩根故.19.如圖,和所在平面互相垂直,且,.（1）求證：；（2）求平面和平面夾角的余弦值.解：（1）方法一：記，則，由，即，可知，即，則方法二：延長(zhǎng)，過點(diǎn)A作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)O，由平面平面，平面平面平面，則平面，由，則≌，可得，又，得≌，則，故，又由平面，則平面，又平面，則；方法三：延長(zhǎng)，過點(diǎn)A作，交于點(diǎn)O，由平面平面，平面平面，平面，則平面，由，則≌，可得，又，得≌，則，故，故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，則，即，故；方法四：在平面和平面內(nèi)，過點(diǎn)B分別作直線垂直于直線，由平面平面，平面平面平面，則平面，又平面，所以，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，則，則，故；（2）由（1）中方法三：設(shè)平面的一個(gè)法向量，可知，則，取，得，而平面的一個(gè)法向量為，則，故平面和平面夾角的余弦值為20.為銘記歷史，緬懷先烈，增強(qiáng)愛國(guó)主義情懷，某學(xué)校開展了共青團(tuán)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．在最后一輪晉級(jí)比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)回答一道有關(guān)團(tuán)史的問題，每個(gè)人回答正確與否互不影響．已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是．（1）若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個(gè)問題，求甲、乙、丙三名同學(xué)中至少1人回答正確的概率；（2）若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個(gè)問題，已知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會(huì)的概率分別為,求這個(gè)問題回答正確的概率．解：（1）設(shè)乙答題正確的概率為，丙答題正確的概率為，則甲、丙兩人都回答正確的概率是，解得，乙、丙兩人都回答正確的概率是，解得，所以規(guī)定三名同學(xué)都需要回答這個(gè)問題，則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少1人回答正確的概率.（2）記事件為“甲搶答這道題”，事件為“乙搶答這道題”，事件為“丙搶答這道題”，記事件B為“這道題被答對(duì)”，則，，，且，，，由全概率公式可得.21.已知雙曲線的一條漸近線方程為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上．（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且，求的最小值．解：（1）由雙曲線C的一條漸近線方程為，且雙曲線過，所以，解得，故雙曲線的方程為.（2）解法一：設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立，得，則，且，由，即，即，即，即，整理得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.方法二：由題意知直線的斜率存在且不等于，設(shè)，，由，即，聯(lián)立，解得，則，同理，其中，故，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.22.如圖,在四棱錐中,面,且,分別為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存任，說明理由；（3）在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，滿足，若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)單說明理由；若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)的軌跡圖形形狀.解：（1）如圖，過E作交于點(diǎn)G