湖北省部分市州2024屆高三上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省部分市州2024屆高三上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題一?單選題1.已知虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】.故選：B.2.定義全集，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為在定義域內單調遞增，且，可得，即，則，所以.故選：A.3.設命題：數(shù)列是等比數(shù)列，命題：數(shù)列和均為等比數(shù)列，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】設數(shù)列的公比為，因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，所以，所以數(shù)列為等比數(shù)列；所以，所以數(shù)列為等比數(shù)列；故是的充分條件；若數(shù)列，明顯數(shù)列和均為等比數(shù)列，但，，所以數(shù)列不是等比數(shù)列；故是的不必要條件；故是的充分不必要條件.故選：A.4.已知任何大于1的整數(shù)總可以分解成素因數(shù)乘積的形式，且如果不計分解式中素因數(shù)的次序，這種分解式是唯一的.如，則2000的不同正因數(shù)個數(shù)為（）A.25 B.20 C.15 D.12【答案】B【解析】因為，所以2000的不同正因數(shù)個數(shù)為.故選：B.5.某校高一年級有1200人，現(xiàn)有兩種課外實踐活動供學生選擇，要求每個同學至少選擇一種參加.統(tǒng)計調查得知，選擇其中一項活動的人數(shù)占總數(shù)的60%到65%，選擇另一項活動的人數(shù)占50%到55%，則下列說法正確的是（）A.同時選擇兩項參加的人數(shù)可能有100人B.同時選擇兩項參加的人數(shù)可能有180人C.同時選擇兩項參加的人數(shù)可能有260人D.同時選擇兩項參加的人數(shù)可能有320人【答案】B【解析】根據(jù)題意，，，則同時選A，B的人數(shù)在到之間，換算成人數(shù)為，即120到240之間，因此符合題意的選項只有B．故選：B.6.圓錐中，為圓錐頂點，為底面圓的圓心，底面圓半徑為3，側面展開圖面積為，底面圓周上有兩動點，則面積的最大值為（）A4 B. C. D.6【答案】D【解析】令圓錐母線長為，顯然圓錐側面展開圖扇形弧長為，由側面展開圖面積為，得，解得，又圓錐軸截面等腰三角形底邊長為6，底角滿足，即，因此圓錐軸截面等腰三角形頂角為，等腰的頂角，則面積，當且僅當時取等號，所以面積的最大值為6.故選：D.7.拋物線的方程為，過點的直線交于兩點，記直線的斜率分別為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】顯然直線的斜率存在，設其方程為，，由消去y并整理得，則，所以.故選：C8.已知函數(shù)，則下列關于說法正確的是（）A.的一個周期為B.在區(qū)間上單調遞減C.的圖象關于點中心對稱D.的最小值為【答案】D【解析】對于A，故A錯誤；對于B，連續(xù)，且不可能在區(qū)間上單調遞減，故B錯誤；對于C，的圖象不可能關于點中心對稱，故C錯誤；對于D，由題設易知是偶函數(shù)，.不妨研究，此時，令，則，在上恒成立在時單調遞減，，故D正確.故選：D.二?多選題9.新能源汽車相比較傳統(tǒng)汽車具有節(jié)能環(huán)保?乘坐舒適?操控性好?使用成本低等優(yōu)勢，近幾年在我國得到越來越多消費者的青睞.某品牌新能源汽車2023年上半年的銷量如下表：月份x123456銷量y（萬輛）11.712.413.813.214.615.3針對上表數(shù)據(jù)，下列說法正確的有（）A.銷量的極差為3.6B.銷量的分位數(shù)是13.2C.銷量的平均數(shù)與中位數(shù)相等D.若銷量關于月份的回歸方程為，則【答案】ACD【解析】將銷量按升序排列可得11.7，12.4，13.2，13.8，14.6，15.3，對于選項A：銷量的極差為，故A正確；對于選項B：因為，所以銷量的分位數(shù)是第4位數(shù)13.8，故B錯誤；對于選項C：因為銷量的平均數(shù)，銷量的中位數(shù)，所以銷量的平均數(shù)與中位數(shù)相等，故C正確；對于選項D：因為月份的平均數(shù)，可知回歸方程為過樣本中心點，即，解得，故D正確；故選：ACD.10.已知圓與軸交于（原點）,兩點,點是圓上的動點,,則（）A.的最大值為B.的最小值為1C.D.令,則存在兩個不同的點,使【答案】ACD【解析】圓的圓心為半徑故正確；由題知當時,取得最小值為故錯誤；根據(jù)向量投影的幾何意義,知在方向上的投影的取值范圍為故正確；若且,則三點共線.直線的方程為圓心到直線的距離為所以直線與圓相交,故存在兩個不同的點,使,故正確.故選：.11.設，點是直線上的任意一點，過點作函數(shù)圖象的切線，可能作（）A.0條 B.1條 C.2條 D.3條【答案】BC【解析】設為直線上任意一點，過點作的切線，切點為，則函數(shù)圖象在點B處的切線方程為，即，整理得，，解得1或當時，，方程僅有一個實根，切線僅可以作1條；當時，，方程有兩個不同實根，切線可以作2條.故選：.12.如圖，某工藝品是一個多面體，點兩兩互相垂直，且位于平面的異側，則下列命題正確的有（）A.異面直線與所成角的余弦值為B.當點為的中點時，線段的最小值為C.工藝品的體積為D.工藝品可以完全內置于表面積為的球內【答案】BC【解析】根據(jù)題意可以構造長寬高分別為的長方體，對于A，因為，且，則為平行四邊形，可得，可知異面直線與所成的角為（或其補角），在中，可知，由余弦定理可得，所以異面直線與所成角的余弦值為，故A錯誤：對于B，當為的中點時，可知，且BM垂直于長方體的上下底面，所以垂直于長方體的上下底面，此時線段的最小值為，故B正確：對于C，工藝品的體積，故C正確；對于D，由于的頂點都在長方體的頂點處，可知的外接球即為長方體的外接球，設的外接球半徑為，則，所以外接球的表面積為，且，所以不可以完全內置于表面積為的球內，故D錯誤.故選：BC.三?填空題13.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則__________.【答案】【解析】因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，所以是奇函數(shù)，則，可得恒成立，所以，解得.且當時，的定義域均為R，符合題意.故答案為：.14.若角的頂點在原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點，則__________.【答案】7【解析】依題意，，所以.故答案為：715.已知方程有唯一實根，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】或【解析】令，則，而在上遞增，結合函數(shù)和的圖象易知，當直線與相切時，或者直線的斜率時，符合題意.若直線與相切，設切點，又則切線的斜率為，所以切線方程為，即，所以，故，綜上可知，實數(shù)的取值范圍是或，故答案為：或.16.設橢圓的左、右頂點分別為過右焦點作軸的垂線與橢圓在第一象限交于點,連接并延長交直線于點,若,且,則橢圓離心率的取值范圍是__________.【答案】【解析】設橢圓右焦點為,直線與軸交于點,,,.且..故答案為：.四?解答題17.如圖，在中，，點是邊上一點，且，（1）求的面積；（2）求線段的長.解：（1），而.（2）解法1：，，在中，，在等腰中，，Rt中，，.解法2：，由得，,即，解得.18.如圖，在多面體中，底面為菱形，平面，，且為棱的中點，為棱上的動點.（1）求二面角的正弦值；（2）是否存在點使得平面？若存在，求的值；否則，請說明理由.解：（1）連接交于點，由四邊形為菱形，得，過點作平面，顯然直線兩兩垂直，以為原點，直線分別為建立空間直角坐標系，由平面，得，又，且，則，，設平面，平面的法向量分別為，則，取，得，則，取，得，設二面角的大小為，則，因此，所以二面角的正弦值為.（2）存在符合題意，且.理由如下：令，而，棱的中點，則，，，若平面，而平面的法向量，則，即，因此，解得，即，則，所以在點使得平面，.19.第19屆亞運會于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州舉行.這是中國為世界呈現(xiàn)的體育盛會，也是亞洲人民攜手寫就的嶄新篇章.現(xiàn)有某場乒乓球比賽采用5局3勝制，先贏3局的一方獲勝，比賽結束.若參加比賽的甲每局比賽戰(zhàn)勝對手乙的概率均為.假設各局比賽結果相互獨立.（1）求比賽恰好進行4局甲獲勝的概率；（2）設比賽進行的總局數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；（3）如果某場比賽賽前有3局2勝制和5局3勝制兩種方案供選手選擇，從概率角度考慮，乙如何選擇對自己有利？請直接寫出選擇方案.解：（1）比賽進行4局后甲獲勝，則甲在前3場需要勝2局，第4局勝，所以比賽恰好進行4局甲獲勝的概率（2）由題意知，的取值可能為，則有：，，，可得的分布列為：345所以.（3）乙應該選擇3局2勝制，理由如下：“3局2勝制”，乙可能兩種方式獲勝，獲勝概率：，“5局3勝制”，乙可能三種方式獲勝，獲勝概率：，因為，所以乙應該選擇3局2勝制對自己更有利.20.已知正項數(shù)列的前項和為，且.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的前項和.（1）證明：當時，，由于，解得；當時，，整理得；所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列.（2）解：由（1）可知：，因為，整理得，可知數(shù)列是常數(shù)列.所以，即，可得，所以.21.已知.（1）證明：；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.（1）證明：先證：當時，，令，則在時恒成立，則在上單調遞增，可得，即當時，.因為，若證，等價于，等價于，令，則，則在在上單調遞增，可得，即，所以當時，.（2）解：令，則，令，則，且，則在上單調遞減，可得，可知的值域為，（i）當，即時，恒成立，則在內單調遞增，可得，所以符合題意；（ii）當，即時，即，且當x趨近于時，趨近于，則存在使得當時，，可知在內單調遞減，此時，不合題意；綜上所述：實數(shù)的取值范圍.22.已知雙曲線與雙曲線有相同的浙近線，且雙曲線的上焦點到一條漸近線的距離等于2.（1）已知為上任意一點，求的最小值；（2）已知動直線與曲線有且僅有一個交點，過點且與垂直的直線與兩坐標軸分別交于.設點.（i）求點的軌跡方程；（ii）若對于一般情形，曲線方程為，動直線方程為，請直接寫出點的軌跡方程.解：（1）設雙曲線的方程為，其上焦點坐標為，一條浙近線方程為，