湖北省恩施州高中教育聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省恩施州高中教育聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試題注意事項：1．答題前、考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后、用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.一組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】首先，我們把按順序排列，得到，而，故第百分位數(shù)是第個數(shù)，則該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是，故D正確.故選：D.2.若圓錐的表面積為，底面圓的半徑為1，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設圓錐底面圓半徑r，母線長為l，高為h.由題，，則.則圓錐體積為.故選：C.3.在平行六面體中，為上靠近點的三等分點，為的中點，設，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】如圖，連接，并作的中點，由題意得，因為為上靠近點的三等分點，為的中點，所以，故A正確.故選：A.4.從和兩個集合中各取一個數(shù)組成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)能被3整除的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知組成的兩位數(shù)有：共12個數(shù)，能整除3的有：共4個，所以相應概率為.故選：B5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由輔助角公式，.因，則.故選：B.6.已知實數(shù)滿足，則的最小值與最大值之和為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】由題意知點在曲線上，曲線C關于原點以及坐標軸均對稱；由于時，曲線的方程為，即，故結合曲線對稱性，作出曲線C如圖：而表示曲線C上的點到直線的距離，可知取最小值和最大值時，位于曲線在第一、三象限內的圓弧上，當時，曲線的方程為，即，此時d的最小值為，當時，曲線的方程為，即，此時d的最大值為，故的最小值與最大值之和為，所以的最小值與最大值之和為，故選：C．7.已知直線和平面，則下列命題正確的是（）A.平面內不一定存在和直線垂直的直線B.若，則C.若異面且，則D.若，則直線可能兩兩相交且不過同一點【答案】C【解析】對于A，我們要討論平面和直線的關系，當時，平面內一定存在和直線垂直的直線，當直線時，在平面內有無數(shù)條直線與直線是異面垂直直線；當直線平面時，在平面內有無數(shù)條平行直線與直線相交且垂直；當直線與平面相交但不垂直時，在平面內有無數(shù)條平行直線與直線垂直，故平面內一定存在和直線垂直的直線，故A錯誤；對于B，當時，一定有或相交，故B錯誤；對于C，如圖，因為，過直線，一定存在平面，使得，，所以，而，，故，因為異面，所以一定相交，而，，故成立，故C正確；對于D，如圖，，，，.∵直線和不平行，相交.設，則，.又.三條直線相交于同一點，故D錯誤，故選：C8.設函數(shù)，下列命題正確的是（）A.當時，的最小正周期為 B.當時，的最大值為C.的最小值與的取值無關 D.的最大值與的取值無關【答案】D【解析】若，此時，此時函數(shù)的周期為，故A錯誤；若，此時顯然，當時，，故B錯誤；其實此時；由A、B知與時函數(shù)的最小值變化，最大值不變，而時，，故C錯誤；不妨設，則，則，易知單調遞增，由復合函數(shù)單調性知也遞增，時，所以時，即此時單調遞減，時，即此時單調遞增，又，故D正確.故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9.已知函數(shù)，則下列結論正確的是（）A.是的一個周期 B.在上有2個零點C.的最大值為 D.在上是增函數(shù)【答案】ABC【解析】對于A，因為，所以是的一個周期，故A正確，對于B，因為，所以令，解得或，當時，，故舍去，當時，而，，，，由余弦函數(shù)性質得在上單調遞減，在上單調遞增，而，我們分為不同區(qū)間進行討論，當時，得到，所以此時在上存在一個根，當時，得到，所以此時在上存在一個根，綜上可得在上有2個零點，故B正確，對于C，令，故可化為，由二次函數(shù)性質得在上單調遞減，在上單調遞增，所以最小值為，且，，故最大值為，即最大值為，故C正確，對于D，由題意得，，所以在上不可能是增函數(shù)，故D錯誤.故選：ABC.10.下列命題正確的是（）A.若事件兩兩互斥．則成立B.若事件兩兩獨立．則成立C.若事件相互獨立．則與不一定相互?立D.若，則事件相互獨立與互斥不能同時成立【答案】AD【解析】對于A選項，若事件兩兩互斥，則與互斥，所以，，因此A正確；對于B，考慮投擲兩個骰子，記事件：第一個骰子的點數(shù)為奇數(shù)，事件：第二個骰子點數(shù)為奇數(shù)，事件：兩個骰子的點數(shù)之和為奇數(shù)，于是有，，，可以看出事件兩兩獨立，但不互相獨立，所以，因此B錯誤；對于C，若事件相互獨立，則，又，，則，因此C錯誤；對于D，若，事件相互獨立，則，若互斥，則，因此D正確.故選：AD11.記為圓的圓心．H為軸上的動點．過點H作圓的兩條切線，切點分別是M，N，則下列結論正確的是（）A.的最大值為4 B.直線過定點C.存在點，使得 D.四邊形HMCN的面積的最小值為【答案】BD【解析】由題如圖，圓C：，則C，.A選項，如圖，由幾何知識可知，HC垂直平分MN，則，因HM與圓C相切，則是以M為直角頂點的直角三角形，則，故，則A錯誤；B選項，設，取HC中點為D，則，.則圓D：，與圓C方程相減并化簡可得直線MN為：.令，即直線MN過定點，故B正確；C選項，若，則，又由題可知，結合，可知此時四邊形HMCN為正方形.則.當與y軸垂直時，最小為3，因，則不存在相應的H點，使，故C錯誤；D選項，設四邊形HMCN的面積為S，則.由題，.則，當且僅當時取等號.故D正確.故選：BD.三、填室題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知單位向量滿足，則______．【答案】【解析】由題意可知，且，即.故答案為：.13.已知有名男生和名女生，其中名男生的平均身高為．方差為，名女生的平均身高為，方差為，則這名學生身高的方差為______．【答案】【解析】由題意可知五人的平均身高為，所以五人身高的方差為.故答案為：.14.在正方體中，為棱BC的中點，為棱的三等分點（靠近點），過點作該正方體的截面．則該截面的周長是______．【答案】【解析】如圖，取的中點,連接,易得，則,過點在平面內作,交于點，則；再取的三等分點（靠近點），連接,同理可得,過點在平面內作,交于點，則，連接,因平面平面,則過三點的截面與它們的交線必平行，同理過三點的截面與平面,平面的交線也平行，故五邊形即點的正方體的截面.因則,，由可得，則有：,即得：,則,;又由可得,則有：,即得：，則則.故五邊形截面的周長為：故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知（1）求；（2）若復數(shù)滿足在復平面內對應的點為，且點，求的取值范圍．解：（1）設，則，所以，即，所以，即．（2）設，在復平面內對應的點為，由知，在以為圓心，2為半徑的圓上，即，所以，即的取值范圍是．16.記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（1）求A；（2）若為銳角三角形，且，求的周長的取值范圍．解：（1）因為，所以由正弦定理可知，，因為，所以，即．又，所以，即或，即或（舍去）．（2）由（1）得，則，即,由正弦定理可知，所以．因為為銳角三角，所以，即，則，即，則.故的周長的取值范圍為．17.甲、乙兩所學校之間進行羽毛球比賽，采用五局三勝制（先贏三局的學校獲勝，比賽結束）.約定比賽規(guī)則如下：先進行兩局男生羽毛球比賽，后進行女生羽毛球比賽.按照以往比賽經驗，在男生羽毛球比賽中，每局甲校獲勝的概率為，乙校獲勝的概率為；在女生羽毛球比賽中，每局甲校獲勝的概率為，乙校獲勝的概率為．設各局比賽相互之間沒有影響且無平局．（1）求恰好比賽三局，比賽結束的概率；（2）求甲校以3：1獲勝的概率．解：（1）恰好比賽三局，比賽結束的情況如下：甲校連勝3局，概率為；乙校連勝3局，概率為．故恰好比賽三局，比賽結束的概率．（2）甲校以3：1獲勝的情況如下：①前兩局男生羽毛球比賽中甲校全勝，第三局比賽甲校負，第四局比賽甲校勝，概率為；②前兩局男生羽毛球比賽中甲校1勝1負，第三局比賽甲校勝，第四局比賽甲校勝，概率為．故甲校以3：1獲勝的概率．18.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，是的中點．（1）求證：平面．（2）求平面與平面夾角的余弦值．（3）在棱上是否存在一點，使直線平面？若存在，求出線段的長；若不存在，說明理由．解：（1）連接，交BD于點，連接．因為是的中點，是的中點，所以，又平面平面，所以平面．（2）如圖，以的方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，即，則．設平面的法向量為，則令，得，所以可?。字矫娴囊粋€法向量為．設平面和平面的夾角為，則，所以平面和平面夾角的余弦值為．（3）由（2）知，則，．由（2）知平面的一個法向量可為，根據(jù)題意可得：，即，解得，又當時，，，則BF的長為．綜上所述，棱上存在一點，使直線平面，且BF的長為.19.已知點與定點和點與原點的距離的比為，記點的軌跡為．（1）求的方程．（2）已知直線與軸交于點．①