遼寧省朝陽市重點高中2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省朝陽市重點高中2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】集合，，則.故選：C.2.命題:“，”的否定為（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】因為原命題為全稱命題，根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，并且需要否定結(jié)論，所以原命題“，”的否定為“，”.故選：D.3.已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于AC，當(dāng)時，AC顯然錯誤；對于B，取滿足，顯然，顯然不成立，故錯誤；對于D，由，因為，所以，所以，故D正確.故選：D.4.下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的是（）①與；②與；③與；④與.A.①② B.③④ C.②④ D.①④【答案】C【解析】對于①，由函數(shù)可得，解得，則其定義域為，由函數(shù)可得，解得，則其定義域為，故①不符合題意；對于②，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，故②符合題意；對于③，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，故③不符合題意；對于④，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，故④符合題意.故選：C.5.命題“”為真命題的一個必要不充分條件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，可得在上能成立，因，故得.由題意知，是選項的范圍的真子集即可.故選：D.6.已知關(guān)于的不等式的解集為，則的最大值是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】不等式可化，因為，所以，所以不等式的解集為，所以，，則，因為，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以.故選：D．7.設(shè)，，，則a，b，c的大小順序是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，，又因為在上單調(diào)遞增，所以，即，因為，所以，又因為在上單調(diào)遞增，所以，即，綜上：.故選：D.8.已知是定義在上的偶函數(shù)，且對任意，有，當(dāng)時，，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.B.C.函數(shù)有3個零點D.當(dāng)時，【答案】B【解析】對于A，因為，且為偶函數(shù)，所以，即4是的一個周期，故A正確；對于B，由4是的一個周期，知，，所以，故B錯誤；對于C，令，可得，作函數(shù)和y=fx的圖象如下圖所示，由圖可知，兩個函數(shù)圖象有3個交點，故C正確；對于D，當(dāng)時，，則，故D正確．故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.方程組的解集是B.若集合中只有一個元素，則C.“”是“一元二次方程有一正一負根”的充要條件D.已知集合，則滿足條件的集合的個數(shù)為4【答案】CD【解析】對于A，因為，解得，所以解集為，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，，解得，此時集合，滿足題意；當(dāng)時，需滿足，可得，因此或，故B錯誤；對于C，由可知一元二次方程的判別式，即該方程有兩根，且兩根之積，即兩根異號，所以充分性成立；若一元二次方程有一正一負根，可知兩根之積為負，即，也即，所以必要性成立，故C正確；對于D，由可知是集合的子集，所以集合可以是，，，共4個，故D正確.故選：CD.10.已知正數(shù)，滿足，下列說法正確的是（）A.的最大值為B.的最小值為C.的最小值為D.的最小值為【答案】BCD【解析】正數(shù)，滿足，對于A，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，A錯誤；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，C正確；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，D正確.故選：BCD.11.對于函數(shù)下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，的最小值為0B.當(dāng)時，存在最小值C.當(dāng)時，在上單調(diào)遞增D.的零點個數(shù)為，則函數(shù)的值域為【答案】AD【解析】選項A：時，，又因為，，故函數(shù)最小值為0（當(dāng)x=0時取到），選項正確；選項B：不妨設(shè)，此時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故，此時函數(shù)不存在最小值，選項錯誤；選項C：在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，，故當(dāng)時，在R上不單調(diào)遞增，選項錯誤；選項D：在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，設(shè)，顯然單調(diào)遞增，又t-1<0,t-12>0當(dāng)時，無解，即在上無零點，此時有兩個零點，0和，故此時，當(dāng)時，在上有1個零點，此時有兩個零點，0和，故此時，當(dāng)時，，由A知，此時有1個零點，即，當(dāng)時，在上無零點，在上也無零點，此時，則函數(shù)的值域為，選項正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】當(dāng)時，，符合題意，所以；當(dāng)，只需，解得，綜上實數(shù)的取值范圍為.13.函數(shù)y=fx是上的增函數(shù)，且y=fx的圖象經(jīng)過點和，則不等式的解集為______.【答案】【解析】因為y=fx的圖象經(jīng)過點和，所以，.又，所以，即．因為函數(shù)y=fx是上的增函數(shù)，所以，即2x-1>-22x-1<1，即x>-1所以.14.已知函數(shù)若，則函數(shù)的零點個數(shù)為______；若函數(shù)的最小值為a，則實數(shù)a的值為______.【答案】1或【解析】（1）當(dāng)時，fx=當(dāng)時，由，得，解得，當(dāng)時，由，得，，無解，所以函數(shù)的零點為，即函數(shù)y=fx的零點個數(shù)為1；（2）①若，即時，則fx=a+1所以在上單調(diào)遞減，最小值為；在上的最小值為．因為函數(shù)最小值為，所以．②當(dāng)，即時，則，所以在上先減后增，最小值為；在上的最小值為．因為函數(shù)最小值為，所以，解得，不合題意，舍去．③當(dāng)，即時，則，所以在上先減后增，最小值為；在上的最小值為．因為函數(shù)最小值為，所以，解得或（舍去）．綜上可得或.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)集合，.（1）若，求；；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍.解：（1）當(dāng)時，，，所以，或，則或x>6=x|x≠6（2）因為“”是“”的充分不必要條件，所以是的真子集，對于集合，不等式，即，解得，所以，因為是B的真子集，，所以m-1>-1m+1<6，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是.16.某國產(chǎn)車企業(yè)在自動駕駛技術(shù)方面日益成熟，近期擬推出一款高階智駕新車型，并決定大量投放市場.已知該車型年固定研發(fā)成本為3000萬元，每生產(chǎn)百輛，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，每輛車的售價為9萬元，且生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.（1）求出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）函數(shù)關(guān)系式；（利潤=銷售量×售價成本）（2）年產(chǎn)量為多少百輛時，該企業(yè)所獲年利潤最大？并求出最大年利潤.解：（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，.綜上所述，（2）當(dāng)時，，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以當(dāng)時，.所以當(dāng)，即當(dāng)年產(chǎn)量為百輛時，該企業(yè)所獲利潤最大，且最大利潤為萬元.17.已知，函數(shù)是奇函數(shù)，.（1）求實數(shù)a的值；（2）若，，使得，求實數(shù)k的取值范圍.解：（1）由函數(shù)是奇函數(shù)，則，可得，，，解得，由，則，當(dāng)時，，可得，，解得，所以函數(shù)的定義域為，經(jīng)檢驗，符合題意.（2）由函數(shù)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的最小值；由函數(shù)，且當(dāng)時，，則在上的最小值.由，，使得，則，即，解得.18.已知函數(shù).（1）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）判斷的奇偶性，并求在區(qū)間上的值域；（3）解不等式.解：（1）在區(qū)間上的單調(diào)遞增，證明如下：任取，且，則，因為，且，所以，故，所以，故在區(qū)間上的單調(diào)遞增.（2）為奇函數(shù)，理由如下：的定義域為，，故為奇函數(shù)，由于在區(qū)間上的單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，又，，故在上值域為.（3）的定義域為，令，解得，由得，當(dāng)，即時，可得，整理得，所以，所以，所以，其中的根為或，由數(shù)軸標(biāo)根法得到不等式解為或，又，所以或，當(dāng)，即或時，由得，所以mm+2其中的根為或，同理得到不等式解為或或，又或，所以或，故不等式的解為.19.已知函數(shù)對一切實數(shù)，，都有成立，且，.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）若關(guān)于的方程有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由等式，令，可得，由，解得.（2）由等式，令，可得，由（1）中的，整理可得，即，所以.（3）令，則，令