山東省濰坊市2025屆高三上學期開學調(diào)研監(jiān)測考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省濰坊市2025屆高三上學期開學調(diào)研監(jiān)測考試數(shù)學試題一?單項選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，則其虛部為.故選：B.2.設集合，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，代入，可得，所以方程變?yōu)?，可解得?，所以，故選：C.3.已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為2，則（）A.0 B.3 C.6 D.12【答案】D【解析】以兩向量公共點為坐標原點建立如圖所示直角坐標系，則，，，則.故選：D.4.坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊含著豐富的數(shù)學元素.如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，還有兩個面是全等的等腰三角形，若，且等腰梯形所在平面?等腰三角形所在平面與平面的夾角均為，則該五面體的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，作于，，連接；同理作于，，連接，取中點，連接，再作于，因為等腰梯形所在平面?等腰三角形所在平面與平面的夾角均為，因為，房頂?shù)牡酌鏋榫匦?，，所以，又中點，，且，所以，所以，，所以由二面角的定義可得，因為，所以，因為，，，且底面，所以底面，所以該五面體的體積為2倍的四棱錐的體積加上三棱柱的體積，即，故選：B.5.已知圓，則過點的圓的切線方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】將代入圓方程得，則該點在圓外，，即，則其圓心為，半徑為1，當切線斜率不存在時，此時直線方程為，顯然不合題意，故舍去，則設切線方程為：，即，則有，解得，此時切線方程為.故選：C.6.數(shù)列an中，，若，則（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】因為，所以,,所以.故選：C.7.設，隨機變量取值的概率均為，隨機變量取值的概率也均為，若記，分別是的方差，則（）A. B.C. D.與大小不確定【答案】A【解析】，，，，所以只需比較與的大小，因為，所以，①因為，所以，，，，，，所以①，所以，故選：A.8.已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)，其導函數(shù)為，且滿足，，則（）A.0 B. C.1 D.【答案】D【解析】因為，令，則，則，再令，代入上式可得，所以，故選：D.二?多項選擇題：本大題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)（其中均為常數(shù)，）的部分圖象如圖所示，則（）A.B.的最小正周期為C.圖象的一個對稱中心為D.的單調(diào)增區(qū)間為【答案】ABD【解析】A：由圖象可得，所以，代入可得，則且，所以，故A正確；B：由選項A的解析可得最小正周期為，故B正確；C：因為，代入，可得，故C錯誤；D：由正弦函數(shù)的遞增區(qū)間，可得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，故D正確；故選：ABD.10.已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和滿足，則（）A. B.為等比數(shù)列C.為遞減數(shù)列 D.中存在小于的項【答案】ACD【解析】A：由題意可得當時，，當時，由可得，兩式作差可得，所以，整理可得，解得，故A正確；B：假設an為等比數(shù)列，設公比為，則，即，整理可得，所以，解得，不符合題意，故B錯誤；C：當時，，所以an為遞減數(shù)列，故C正確；D：假設對任意的，，則，則，與假設矛盾，假設不成立，故D正確；故選：ACD.11.已知正方體棱長為為棱上一動點，平面，則（）A.當點與點重合時，平面B.當點與點重合時，四面體的外接球的體積為C.直線與平面所成角的正弦值的取值范圍是D.當點與點重合時，平面截正方體所得截面可為六邊形，且其周長為定值【答案】ACD【解析】A：如圖：因為，且平面，平面，所以平面，故A正確；B：如圖：當點與點重合時，四面體的外接球的體積即為正方體外接球的體積，因為正方體的棱長為1，所以外接球半徑為，所以外接球體積為，故B錯誤；C：直線與平面所成角的正弦值等于直線與平面的垂線所成角的余弦值，如圖：連，則，因，所以，即，所以，故C正確；D：如圖當點與點重合時，因為平面，由正方體的性質(zhì)可得平面可為平面，當取分別為各邊中點，截面為，此時周長為，故D正確；故選：ACD.三?填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.12.邊長為2的正三角形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為__________.【答案】【解析】如圖，將該三角形繞其邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是兩個以為底面圓半徑，以1為高的兩個圓錐組合體，表面積為.13.已知四個函數(shù)：①，②，③，④，從中任選2個，則事件“所選2個函數(shù)的圖象有且僅有一個公共點”的概率為__________.【答案】【解析】作出函數(shù)圖象，由圖可得③與①有一個公共點，②和④有一個公共點，②和③有一個公共點，其余不符合題意，所以事件“所選2個函數(shù)的圖象有且僅有一個公共點”的概率為.14.已知橢圓，過軸正半軸上一定點作直線，交橢圓于兩點，當直線繞點旋轉(zhuǎn)時，有（為常數(shù)），則定點的坐標為__________，__________.【答案】6【解析】設點，，當直線的斜率不為時，設其方程為，代入橢圓方程并整理可得，，所以，因為當直線繞點旋轉(zhuǎn)時，有（為常數(shù)），當時，，當時，，所以，解得，所以，代入，當直線的斜率為0時也成立，經(jīng)檢驗，適合題意.四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若，且的面積為，求的周長.解：（1）在中，由及正弦定理，得，而，則，即，化簡得，又，所以.（2）由（1）及三角形面積公式，得，解得，由余弦定理得，所以的周長為.16.如圖，中，，過點作，垂足為，將沿翻折至，使得.（1）求證：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：由題意可知，在中，，在中，，所以，所以所以，所以，因為，所以，又，且平面，平面，所以平面，（2）解：由（1）知，以為原點，分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系，所以，所以，設平面的一個法向量，所以，令，可得，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.已知函數(shù).（1）若，求單調(diào)區(qū)間；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為，，所以，所以，所以，所以，令，所以當時，f'x<0，為減函數(shù)；當x∈0,+∞時，f所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為0,+∞；（2）因為，所以，設，則，x∈0,+∞，①若，則，則f'x在0,+∞單調(diào)遞增，則，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，則滿足題意；②若，，，令，所以，又，所以，故，，所以f'x在上單調(diào)遞減，則,所以在上單調(diào)遞減，則，不符合題意，舍去；綜上，實數(shù)的取值范圍為.18.已知雙曲線的焦距為4，離心率為分別為的左、右焦點，兩點都在上.（1）求的方程；（2）若，求直線的方程；（3）若且，求四個點所構成的四邊形的面積的取值范圍.解：（1）由題意可得，解得，故曲線的方程為，（2）根據(jù)題意知直線的斜率不為零，設直線的方程為，得，都在右支上，由，消去可得，易知，其中恒成立，，代入，消元得，所以，解得，滿足，所以直線的方程為，（3）Ax1,y1,Bx2,y2，，則分別在兩支上，且都在的上方或的下方，不妨設都在的上方，又，則在第二象限，在第一象限，如圖所示，延長交雙曲線與點，延遲交雙曲線于點，由對稱性可知四邊形為平行四邊形，且面積為四邊形面積的2被，由題設直線的方程為，直線的方程為，由第（2）問易得，因為，所以，兩條直線與間的距離，所以，令，，所以，設，則，在上恒為減函數(shù)，所以在上恒為增函數(shù)，當時即，取得最小值為12，所以當且，求四個點所構成的四邊形的面積的取值范圍為.19.錯位重排是一種數(shù)學模型.通常表述為：編號為的封信，裝入編號為的個信封，若每封信和所裝入的信封的編號不同，問有多少種裝法？這種問題就是錯位重排問題.上述問題中，設封信均被裝錯有種裝法，其中.（1）求；（2）推導之間的遞推關系，并證明：是等比數(shù)列；（3）請問封信均被裝錯的概率是否大于？并說明理由.（參考公式：）解：（1）由題意可得，（2）若有封信時，其裝法可分為兩個步驟：第一步：編號為的信，有種裝法；第二步：重裝其余的封信，根據(jù)第一步裝法可分為兩類，第一類，若編號為的信，裝入編號為的信封，，但編號