不等式的性質(zhì)課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

北師大版必修第一冊3.1不等式的性質(zhì)第三節(jié)

不等式第一章

預(yù)備知識

在初中數(shù)學(xué)中,可以利用數(shù)軸比較任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b的大小.關(guān)于實(shí)數(shù)a,b,大小的比較,有以下基本事實(shí):

如果a－b是正數(shù),那么如果a>b;

如果a－b等于0,那么a=b;

如果a－b是負(fù)數(shù),那么a<b反過來也成立.

知識引入(1)a>b?a－b>0a=b?a－b=0a<b?a－b<0性質(zhì)1:如果a>b,且b>c,那么a>c.不等式基本性質(zhì)分析:要證a>c,只需證a－c>0.證明:因?yàn)閍>b,且b>c,

a－b>0,b－c>0,

從而a－c=(a－b)+(b－c)>0,即a>c.性質(zhì)2:如果a>b,那么a+c>b+c.分析:要證a+c>b+c,需證(a+c)－(b+c)>0.證明:

因?yàn)閍>b,所以a－b>0,

所以(a+c)－(b+c)=a－b>0,

即a+c>b+c.性質(zhì)3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;

如果

a>b,c<0,那么

ac<bc分析:要證ac>bc,只需證明ac－bc>0

證明:因?yàn)閍>b,所以a－b>0.又因?yàn)閏>0,所以(a－b)c>0即ac－bc>0,ac>bc

請同學(xué)完成c<0的情況證明例1:試比較(x+1)(x+5)與(x+3)2的大小.

性質(zhì)4:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.證明:因?yàn)閍>b,所以a+c>b+c.

又因?yàn)?c>d,b+c>b+d

由不等式的性質(zhì)1,得a+c>b+d.性質(zhì)5:如果

a>b>0,c>d>0,那么

ac>bd.;

如果a>b>0,c<d<0,那么

ac<bd.證明:因?yàn)閍>b,c>0,所以ac>bc.

又因:c>d,b>0,所以bc>bd

由不等式的性質(zhì)1,得ac>bd.

請同學(xué)們:完成c<d<0的情況證明.特殊情況:

當(dāng)a>b>0時(shí),an>bn,其中n∈N+,n≥2

例3:(1)已知a>b,ab>0,求證:(2)已知a>b,c<d,求證:a－c>b－d課后小結(jié)1.掌握不等式的性質(zhì)2.會比較兩個(gè)代數(shù)式之間的大小關(guān)系3.會利用不等式性質(zhì)證明不等式課后小結(jié)1.掌握不等式的性質(zhì)(1)a>b,b>c?a>c.(2)a>b?a+c>b+c(3)a>b,c>0?ac>bc;

a>b,c<0?ac<bc(4)a>b,c>d?a+c>b+d.(5)a>b>0,c>d>0?ac>bd.;

a>b>0,c<d<0?ac<bd.

a>b>0?an>bn(n∈N+,n≥2)(6)a>b>0?(n∈N+,n≥2)方法總結(jié)作差比較法比較兩式大小的步驟(1)作差:對要比較大小的兩個(gè)式子作差;(2)變形:對差式通過通分、因式分解、配方等手段進(jìn)行變形;(3)判斷符號:對變形后的結(jié)果結(jié)合題設(shè)條件判斷出差的符號;(4)做出結(jié)論.知識梳理·自主探究探究點(diǎn)一用不等式(組)表示不等關(guān)系[例1]某汽車貨運(yùn)公司需要購進(jìn)一批汽車,計(jì)劃使用不超過1000萬元的資金購買單價(jià)分別為40萬元,90萬元的A型汽車和B型汽車.根據(jù)需要,A型汽車至少買5輛,B型汽車至少買6輛,寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式.知識梳理·自主探究課堂探究·素養(yǎng)培育知識梳理·自主探究課堂探究·素養(yǎng)培育方法總結(jié)將不等關(guān)系表示成不等式(組)的思路(1)讀懂題意,找準(zhǔn)不等式所聯(lián)系的量.(2)用適當(dāng)?shù)牟坏忍栠B接.(3)多個(gè)不等關(guān)系用不等式組表示.知識梳理·自主探究課堂探究·素養(yǎng)培育[針對訓(xùn)練]用一段長為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園,墻長18m,要求菜園的面積不小于216m2,靠墻的一邊長為xm.試用不等式表示其中的不等關(guān)系.知識梳理·自主探究課堂探究·素養(yǎng)培育探究點(diǎn)二實(shí)數(shù)(式)的比較大小[例2]已知x≤1,試比較3x3與3x2-x+1的大小.知識梳理·自主探究課堂探究·素養(yǎng)培育探究點(diǎn)二實(shí)數(shù)(式)的比較大小[例2]已知x≤1,試比較3x3與3x2-x+1的大小.解:3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).因?yàn)閤≤1,得x-1≤0,而3x2+1>0,所以(3x2+1)(x-1)≤0,所以3x3≤3x2-x+1.知識梳理·自主探究課堂探究·素養(yǎng)培育[變式探究]把本例中“x≤1”改為“x∈R”,再比較3x3與3x2-x+1的大小.解:3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).因?yàn)?x2+1>0,當(dāng)x>1時(shí),x-1>0,所以3x3>3x2-x+1;當(dāng)x=1時(shí),x-1=0,所以3x3=3x2-x+1;當(dāng)x<1時(shí),x-1<0,所以3x3<3x2-x+1.知識梳理·自主探究課堂探究·素養(yǎng)培育方法總結(jié)作差比較法比較兩式大小的步驟(1)作差:對要比較大小的兩個(gè)式子作差.(2)變形:對差式通過通分、因式分解、配方等手段進(jìn)行變形.(3)判斷符號:對變形后的結(jié)果結(jié)合題設(shè)條件判斷出差的符號.(4)得出結(jié)論.知識梳理·自主探究課堂探究·素養(yǎng)培育探究點(diǎn)三不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用[例3](1)已知a>b,e>f,c>0,求證:f-ac<e-bc;證明:(1)因?yàn)閍>b,c>0,所以ac>bc,即-ac<-bc.又e>f,即f<e,所以f-ac<e-bc.知識梳理·自主探究課堂探究·素養(yǎng)培育知識梳理·自主探究課堂探究·素養(yǎng)培育方法總結(jié)不等式的性質(zhì)常與比較大小或不等式的證明等問題結(jié)合起來考查,此類題目一般可以結(jié)合不等式的性質(zhì),利用作差法或作商法求解,也可以利用特殊值求解.知識梳理·自主探究課堂探究·素養(yǎng)培育[針對訓(xùn)練](1)設(shè)a,b,c,d為實(shí)數(shù),且a>b>0>c>d,則下列不等式正確的是(

)√知識梳理·自主探究課堂探究·素養(yǎng)培育(2)(多選題)已知a<b<0,則(

)√√√知識梳理·自主探究課堂探究·素養(yǎng)培育【學(xué)海拾貝】利用不等式的性質(zhì)求范圍已知含有參數(shù)不等式的范圍,求含有參數(shù)不等式的范圍,通常把已知含有參數(shù)不等式看作一個(gè)整體來解決,不能根據(jù)已知不等式的范圍,求解每一個(gè)參數(shù)的范圍,然后利用每一個(gè)參數(shù)的范圍求含有參數(shù)不等式的范圍,因?yàn)樗o的不等式范圍,不能保證每一個(gè)參數(shù)同時(shí)取得最大或最小值,這樣會使所求的范圍增大.知識梳理·自主探究課堂探究·素養(yǎng)培育[典例探究]已知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范圍.知識梳理·自主探究課堂探究·素養(yǎng)培育[典例探究]已知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范圍.知識梳理·自主探究課堂探究·素養(yǎng)培育知識梳理·自主探究課堂探究·素養(yǎng)培育[應(yīng)用探究]已知1≤a+b≤2,3≤4a+b≤4,求9a+b的取值范圍.知識梳理·自主探究課堂探究·素養(yǎng)培育「當(dāng)堂檢測」1.完成一項(xiàng)裝修工程,請木工需支付工資每人400元,請瓦工需支付工資每人500元,要求工人工資預(yù)算不超過20000元.設(shè)請木工x人,瓦工y人,則下列關(guān)系式正確的是(

)A.4x+5y≤200 B.4x+5y<200C.5x+4y≤200 D.5x+4y<200√解析:由題意知,請木工共需支付400x元,請瓦工共需支付500y元,可得共需支付工資(400x+500y)元.又工人工資預(yù)算不超過20000元,故400x+500y≤20000,化簡可得4x+5y≤200.故選A.知識梳理·自主探究課堂探究·素養(yǎng)培育2.若m=2x2+1,n=x2+2x,p=-x-3,則(

)A.n≥m>pB.n>m>pC.m≥p≥nD.m≥n>p√知識梳理·自主探究課堂探究·素養(yǎng)培育3.已知a>c,b>d,則下列結(jié)論正確的是(

)A.ab>cdB.a-b>c-dC.ab+cd>ad+bcD.|a+b|>|c+d|解析:若a=2,c=1,b=-1,d=-2,此時(shí)ab=cd=-2,a-b=c-d=3,|a+b|=|c+d|=1,A,B,D錯(cuò)誤.因?yàn)閎>d,所以b-d>0,又因?yàn)閍>c,所以a(b-d)>c(b-d)?ab+cd>ad+bc,C正確.故選C.√知識梳理·自主探究課堂探究·素養(yǎng)培育4.已知a>b>c,且a+b+c=0,則b2-4ac

0.(填“>”“<”或“=”)

解析:因?yàn)閍+b+c=0,所以b=-(a+c),所以b2=a2+c2+2ac.所以b2-4ac=a2+c2-2ac=(a-c)2.因?yàn)閍>c,所以(a-c)2>0,所以b2-4ac>0.>

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