清單01 空間向量的線性運(yùn)算（考點(diǎn)清單+知識(shí)導(dǎo)圖+ 18個(gè)考點(diǎn)清單-題型解讀）（原卷版）-25學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講

清單01空間向量的線性運(yùn)算（考點(diǎn)清單）（個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】【清單01】幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記為單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量【清單02】空間向量的數(shù)乘運(yùn)算1、定義：與平面向量一樣，實(shí)數(shù)與空間向量的乘積仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．2：數(shù)乘向量與向量的關(guān)系的范圍的方向的模與向量的方向相同，其方向是任意的與向量的方向相反【清單03】共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使拓展:對(duì)于空間任意一點(diǎn)，四點(diǎn)共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．【清單04】空間向量的數(shù)量積1、定義：已知兩個(gè)非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作；即．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.【清單05】空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則如下表所示：運(yùn)算坐標(biāo)表示加法減法數(shù)乘數(shù)量積【清單06】空間向量平行與垂直的條件，幾何計(jì)算的坐標(biāo)表示1、兩個(gè)向量的平行與垂直平行（）垂直（）（均非零向量）2、向量長(zhǎng)度的坐標(biāo)計(jì)算公式若，則，即3、兩個(gè)向量夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式設(shè)，則【清單07】空間中直線、平面的平行設(shè)直線,的方向向量分別為，，平面，的法向量分別為，，則線線平行??()線面平行??面面平行??【清單08】空間中直線、平面的垂直設(shè)直線的方向向量為，直線的方向向量為，平面的法向量，平面的法向量為，則線線垂直??線面垂直???面面垂直???【考點(diǎn)題型一】空間向量基本概念【例1】（24-25高二上·山東·階段練習(xí)）給出下列命題：①零向量的方向是任意的；②若兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；③若空間向量，滿足，則；④空間中任意兩個(gè)單位向量必相等．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）．A． B． C． D．【變式1-1】（24-25高二上·遼寧·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．零向量沒有方向B．在空間中，單位向量唯一C．若兩個(gè)向量不相等，則它們的長(zhǎng)度不相等D．若空間中的四點(diǎn)不共面，則是空間的一組基底【變式1-2】（多選）（24-25高二上·陜西渭南·期中）下列命題為真命題的是（）A．若空間向量滿足，則B．在正方體中，必有C．若空間向量滿足，則D．空間中，，則【考點(diǎn)題型二】空間向量共線判斷核心方法：【例2】（24-25高二上·天津河西·期中）設(shè)空間四點(diǎn)滿足，其中，則（

）A．點(diǎn)一定在直線上 B．點(diǎn)一定不在直線上C．點(diǎn)不一定在直線上 D．以上答案都不對(duì)【變式2-1】（24-25高二上·湖南株洲·階段練習(xí)）下列條件中，能說明空間中不重合的三點(diǎn)A、B、C共線的是（

）A． B．C． D．【變式2-2】（24-25高二上·河南許昌·階段練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則下列向量中與向量平行的向量是（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)題型三】由空間向量共線求參數(shù)或值核心方法：①②已知，，【例3】（24-25高二上·湖南長(zhǎng)沙·期中）已知非零向量，，且、、不共面，若，則（

）A． B． C．8 D．13【變式3-1】（23-24高二上·遼寧·期中）設(shè)向量不共面，已知，，若三點(diǎn)共線，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【變式3-2】（24-25高二上·四川南充·期中）設(shè)，是空間中兩個(gè)不共線的向量，已知，，，且三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)．【考點(diǎn)題型四】判斷空間向量共面核心方法：存在實(shí)數(shù)，使【例4】（23-24高二上·云南）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（

）A．B．C．D．【變式4-1】（23-24高二上·河南洛陽·階段練習(xí)）在下列條件中，一定能使空間中的四點(diǎn)M，A，B，C共面的是（

）A． B．C． D．【變式4-2】（多選）（23-24高二下·江蘇淮安）下列命題中是真命題的為（

）A．若與共面，則存在實(shí)數(shù)，使B．若存在實(shí)數(shù)，使向量，則與共面C．若點(diǎn)四點(diǎn)共面，則存在實(shí)數(shù)，使D．若存在實(shí)數(shù)，使，則點(diǎn)四點(diǎn)共面【考點(diǎn)題型五】由空間向量共面求參數(shù)核心方法：存在實(shí)數(shù)，使【例5】（24-25高二上·天津·階段練習(xí)）在四面體中，空間的一點(diǎn)滿足，若、、、四點(diǎn)共面，則（

）A． B． C． D．【變式5-1】（24-25高二上·上?！て谥校┮阎?，、、三點(diǎn)不共線，為平面外任意一點(diǎn)．若，且、、、四點(diǎn)共面，則．【變式5-2】（23-24高二上·上海黃浦·期中）已知四面體，空間的一點(diǎn)滿足，若，，，共面，則實(shí)數(shù)的值為.【考點(diǎn)題型六】用基底表示向量核心方法：空間向量的加減數(shù)乘運(yùn)算【例6】（23-24高二下·重慶合川）如圖，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）A． B．C． D．【變式6-1】（24-25高二上·山東德州·期中）在四面體中，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且，用向量，，表示，則（

）A． B．C． D．【變式6-2】（24-25高二上·廣東茂名·期中）在平行六面體中，，，，是與的交點(diǎn)，以為空間的一個(gè)基底，則直線的一個(gè)方向向量為（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)題型七】空間向量數(shù)量積運(yùn)算核心方法：①坐標(biāo)運(yùn)算②定義法：【例7】（24-25高二上·貴州黔東南·期中）在正四面體中，為棱的中點(diǎn)，，則（

）A． B．3 C． D．6【變式7-1】（24-25高二上·天津·開學(xué)考試）已知點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的底面上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．0 C． D．【變式7-2】（24-25高二上·天津?yàn)I海新·期中）若，，則.【考點(diǎn)題型八】求空間向量數(shù)量積的最值（范圍）核心方法：①坐標(biāo)法（含自主建系法）②極化恒等式(1)平行四邊形模型：向量的數(shù)量積等于“和對(duì)角線長(zhǎng)”與“差對(duì)角線長(zhǎng)”平方差的eq\f(1,4)，即（如圖）(2)三角形模型：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差，即（如圖）【例8】（24-25高二上·北京·期中）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【變式8-1】（24-25高二上·貴州六盤水·期中）已知M，E，F(xiàn)均為圓柱表面上的動(dòng)點(diǎn)，直線EF經(jīng)過圓柱的中心O，，圓柱的底面圓的半徑為5，則的最大值為.【變式8-2】（24-25高二上·浙江金華·階段練習(xí)）正方體的棱長(zhǎng)為，是正方體外接球的直徑，為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是.【考點(diǎn)題型九】求空間向量模核心方法：【例9】（24-25高二上·河北·階段練習(xí)）在正三棱柱中，，，，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則線段長(zhǎng)度的最小值為（

）A．2 B． C． D．【變式9-1】（24-25高二上·湖北·階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為的正四面體中，點(diǎn)與滿足，且，則的值為（

）A． B． C． D．【變式9-2】（24-25高二上·天津北辰·期中）設(shè)，向量，，且，，則.【考點(diǎn)題型十】求空間向量模的最值（范圍）核心方法：坐標(biāo)法【例10】（24-25高二上·河北唐山·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，，若平面，則線段的長(zhǎng)度的最小值為.【變式10-1】（23-24高二上·湖北武漢·期中）如圖所示，三棱錐中，平面，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，分別為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則線段的最小值為（

）

A． B． C． D．【變式10-2】（23-24高三上·四川·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，P是底面ABCD內(nèi)的一點(diǎn)（包含邊界），且，則線段的長(zhǎng)度的取值范圍是．【考點(diǎn)題型十一】求空間向量夾角核心方法：夾角公式【例11】（24-25高二上·山東德州·階段練習(xí)）已知空間向量，且，則與的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【變式11-1】（24-25高二上·湖南株洲·階段練習(xí)）若向量，且，則的值為【考點(diǎn)題型十二】空間向量夾角為銳角（鈍角）核心方法：①為銳角且與不同向共線②為頓角且與不反向共線【例12】（24-25高二上·河南·階段練習(xí)）已知向量的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【變式12-1】（23-24高二下·上?！て谥校┮阎臻g向量與夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【變式12-2】（23-24高二上·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）若空間向量與的夾角為銳角，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)題型十三】求投影向量核心方法：【例13】（24-25高二上·山東·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為．【變式13-1】（24-25高二上·云南臨滄·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，則向量在向量上的投影向量的模為.【變式13-2】（23-24高二上·上?！て谀?，，則在方向上的數(shù)量投影為.【考點(diǎn)題型十四】空間向量平行與垂直關(guān)系核心方法：；（均非零向量）【例14-1】（江西省部分高中學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期十一月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）已知，，，設(shè)向量，．(1)設(shè)向量，，求；(2)若，求的值．【例14-2】（24-25高二上·廣西百色·階段練習(xí)）已知，.(1)若，分別求與的值；(2)與垂直，求.【變式14-1】（24-25高二上·河北·期中）已知，向量，，，且，，則的值為（

）A． B． C． D．【變式14-2】（多選）（24-25高二上·湖北·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，下列結(jié)論正確的有（

）A．B．C．若，且，則D．若且，則【考點(diǎn)題型十五】用向量證明空間中線面平行核心方法：??【例15】（23-24高二下·甘肅天水）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.【變式15-1】（24-25高二上·陜西西安·期中）如圖所示，四棱錐的底面是矩形，底面，.(1)證明：直線平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【變式15-2】（24-25高二上·湖北宜昌·階段練習(xí)）長(zhǎng)方體中，．點(diǎn)為中點(diǎn)．

(1)求證：平面(2)求證：平面．【變式15-3】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在斜三棱柱中，，四邊形為矩形，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)．在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？【考點(diǎn)題型十六】用向量證明空間中面面平行核心方法：??【例16】（23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，.求證：平面平面.【變式16-1】（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，正四棱的底面邊長(zhǎng)1，側(cè)棱長(zhǎng)4，中點(diǎn)為，中點(diǎn)為．求證：平面平面.

【變式16-2】（24-25高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，是棱的中點(diǎn)．求證：平面平面.【變式16-3】（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，四邊形為矩形，平面，，，，分別是，，的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求證：平面平面.【考點(diǎn)題型十七】用向量證明空間中線面垂直核心方法：???【例17】（24-25高二上·廣東惠州·期中）直三棱柱中，，，，分別是的中點(diǎn)．

(1)求的值；(2)求證：⊥平面．【變式17-1】（24-25高二上·河南洛陽·階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，，，分別為棱，，，的中點(diǎn).(1)證明：，，，四點(diǎn)共面；(2)若點(diǎn)在棱，且平面，求的長(zhǎng)度.【變式17-2】（24-25高二上·山東菏澤·開學(xué)考試）如圖，在直三棱柱中，，，棱，、分別為、的中點(diǎn).(1)求的模；(2)求證：平面.【變式17-3】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在直四棱柱中，底面為直角梯形，分別為的中點(diǎn)，，用向量法證明：直線平面．

【考點(diǎn)題型十八】證明面面垂直核心方法：???【例18】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面，，，為的中點(diǎn)．求證：平面平面.【變式18-1】（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，在直三棱柱中，分別為棱的中點(diǎn)．證明：平面平面．【變式18-2】（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，，是的中點(diǎn)，底面，．證明：平面平面.提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高二上·湖北省直轄縣級(jí)單位·期中）如圖所示，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，則等于（）A． B．C． D．2．（24-25高二上·山東泰安·期中）設(shè)，向量，，且，，則（

）A． B． C． D．3．（福建省福州市八縣（市）協(xié)作校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（24-25高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，M，N分別是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，則（

）

A． B． C． D．5．（云南省長(zhǎng)水教育集團(tuán)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）已知空間向量，，則在上的投影向量為（

）A． B．C． D．6．（湖北省“荊、荊、襄、宜四地七?？荚嚶?lián)盟”2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）正四面體中，，點(diǎn)滿足，則長(zhǎng)度的最小值為（

）A． B． C． D．7．（24-25高二上·浙江衢州·期中）已知正四面體的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則的值為（

）A． B． C．0 D．28．（24-25高二上·安徽阜陽·期中）已知向量滿足，，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（24-25高二上·福建