2024-2025學年年七年級數(shù)學人教版下冊專題整合復習卷2024-2025學年年七年級數(shù)學人教版下冊專題整合復習卷14.3 因式分解 能力培優(yōu)訓練(含答案)

2024-2025學年年七年級數(shù)學人教版下冊專題整合復習卷2024-2025學年年七年級數(shù)學人教版下冊專題整合復習卷14.3因式分解能力培優(yōu)訓練(含答案)14.3因式分解專題一因式分解1．下列分解因式正確的是（）A．3x2－6x=x(x－6)B．－a2+b2=(b+a)(b－a)C．4x2－y2=(4x－y)(4x+y)D．4x2－2xy+y2=(2x－y)22．分解因式：3m3－18m2n+27mn2=____________．3．分解因式：(2a+b)2－8ab=____________．專題二在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式4．在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解x4－4=____________．5．把下列各式因式分解（在實數(shù)范圍內(nèi)）（1）3x2－16；（2）x4－10x2+25．6．在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）x3－2x；（2）x4－6x2+9．專題三因式分解的應用7．如果m－n=－5，mn=6，則m2n－mn2的值是（） A．30 B．－30 C．11 D．－118．利用因式分解計算32×20.13+5.4×201.3+0.14×2013=___________．9．在下列三個不為零的式子：x2－4x，x2+2x，x2－4x+4中，（1）請你選擇其中兩個進行加法運算，并把結(jié)果因式分解；（2）請你選擇其中兩個并用不等號連接成不等式，并求其解集．狀元筆記【知識要點】1．因式分解我們把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式．2．因式分解的方法(1)提公因式法：如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫出公因式與另一個因式的乘積的形式，這樣分解因式的方法叫做提公因式法．(2)將乘法公式的等號兩邊互換位置，得到用于分解因式的公式，用來把某些具有特殊形式的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法．(3)平方差公式：a2－b2=(a+b)(a－b)，兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積．(4)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2，兩個數(shù)的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或差)的平方．【溫馨提示】1．分解因式的對象必須是多項式，如把分解成就不是分解因式，因為不是多項式．2．分解因式的結(jié)果必須是積的形式，如就不是分解因式，因為結(jié)果不是積的形式．【方法技巧】1．若首項系數(shù)為負時，一般要提出“—”號，使括號內(nèi)首項系數(shù)為正，但要注意，此時括號內(nèi)的各項都應變號，如．2．有些多項式的特點與公式相比，只是某些項的符號不符，這時就需要先對符號進行變化，使之符合公式的特點．參考答案1．B解析：A中，3x2－6x=3x(x－2)，故A錯誤；B中，－a2+b2=－(a－b)(a+b)=(b+a)(b－a)，故B正確；C中，4x2－y2=(2x)2－(2y)2=(2x－y)(2x+y)，故C錯誤；D中，4x2－2xy+y2的中間項不是2×2x×y，故不能因式分解，故D錯誤．綜上所述，選B．2．3m(m－3n)2解析：3m3－18m2n+27mn2=3m(m2－6mn+9n2)=3m(m－3n)2．3．(2a－b)2解析：(2a+b)2－8ab=4a2+4ab+b2－8ab=4a2－4ab+b2=(2a－b)2．4．(x2+2)(x+)(x－)解析：x4－4=(x2+2)(x2－2)=(x2+2)(x+)(x－)．5．解：(1)3x2－16=(x+4)(x－4)；(2)x4－10x2+25=(x2－5)2=(x+)2(x－)2．6．解：(1)x3－2x=x(x2－2)=x(x+)(x－)；(2)x4－6x2+9=(x2－3)2=(x+)2(x－)2．7．B解析：∵m－n=－5，mn=6，∴m2n－mn2=mn（m－n）=6×（－5）=－30，故選B．8．2013解析：32×20.13+5.4×201.3+0.14×2013=0.32×2013+0.54×2013+0.14×2013=2013×（0.32+0.54+0.14）=2013×1=2013．9．解：(1)答案不唯一，如：（x2－4x）+（x2+2x）=2x2－2x=2x（x－1）．(2)答案不唯一，如：x2－4x＞x2+2x，合并同類項，得－6x＞0，解得x＜0．14.3因式分解1．因式分解(1)定義把一個多項式化為幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式．(2)因式分解與整式乘法的關(guān)系因式分解與整式乘法是相反方向的變形．如：(a＋b)(a－b)a2－b2.即多項式乘以多項式或單項式乘以多項式(整式乘法)是“積化和”，而因式分解則是“和化積”，故可以用整式乘法來檢驗因式分解的正確性．談重點因式分解的理解(1)因式分解專指多項式的恒等變形，等式的左邊必須是多項式，右邊每個因式必須是整式．(2)因式分解的結(jié)果必須要以積的形式表示，否則不是因式分解．(3)因式分解中每個括號內(nèi)如有同類項要合并，因式分解的結(jié)果要求必須將每個因式分解徹底．【例1】下列各式由左邊到右邊的變形中，是因式分解的是()．A．a(chǎn)(x＋y)＝ax＋ayB．y2－4y＋4＝y(tǒng)(y－4)＋4C．10a2－5a＝5a(2a－1)D．y2－16＋y＝(y＋4)(y－4)＋y答案：C點撥：A是整式乘法，B、D等號右邊不是整式積的形式，而是和的形式，不是因式分解．2．公因式(1)定義多項式的各項中都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式．(2)確定多項式的公因式的方法確定一個多項式的公因式時，要對數(shù)字系數(shù)和字母分別進行考慮，確定公因式時：一看系數(shù)，二看字母，三看指數(shù)．解技巧確定公因式的方法確定公因式的方法：(1)對于系數(shù)(只考慮正數(shù))，取各項系數(shù)的最大公約數(shù)作為公因式的系數(shù)．(2)對于字母，需考慮兩條，一是取各項相同的字母；二是各相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低次，即取相同字母的最低次冪．最后還要根據(jù)情況確定符號．【例2】把多項式6a3b2－3a2b2－12a2b3分解因式時，應提取的公因式是()．A．3a2b B．3ab2C．3a3b3 D．3a2b2答案：D點撥：在多項式6a3b2－3a2b2－12a2b3中，這三項系數(shù)的最大公約數(shù)是3，各項都含有字母a，b，字母a的最低次冪是a2，字母b的最低次冪是b2，所以各項的公因式是3a2b2，故選D.3．提公因式法(1)定義一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．(2)提公因式的步驟①確定應提取的公因式；②用公因式去除這個多項式，所得的商作為另一個因式；③把多項式寫成這兩個因式的積的形式．警誤區(qū)提公因式要徹底(1)所提的公因式必須是“最大公因式”，即提取公因式后，另一個因式中不能還有公因式；(2)如果多項式的首項系數(shù)是負數(shù)，應先提出“－”號．可按下列口訣分解因式：各項有“公”先提“公”，首項有“負”先提“負”，某項提出莫漏“1”，括號里面分到“底”．【例3】用提公因式法分解因式：(1)12x2y－18xy2－24x3y3；(2)5x2－15x＋5；(3)－27a2b＋9ab2－18ab；(4)2x(a－2b)－3y(2b－a)－4z(a－2b)．解：(1)12x2y－18xy2－24x3y3＝6xy·2x－6xy·3y－6xy·4x2y2＝6xy(2x－3y－4x2y2)；(2)5x2－15x＋5＝5(x2－3x＋1)；(3)－27a2b＋9ab2－18ab＝－9ab(3a－b＋2)；(4)2x(a－2b)－3y(2b－a)－4z(a－2b)＝2x(a－2b)＋3y(a－2b)－4z(a－2b)＝(a－2b)(2x＋3y－4z)．4．用平方差公式分解因式(1)因式分解的平方差公式兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積．即a2－b2＝(a＋b)(a－b)．這個公式就是把整式乘法的平方差公式等號左右兩邊顛倒過來．(2)平方差公式的特點左邊是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反；右邊是兩個數(shù)(或整式)的和與這兩個數(shù)(或整式)的差的積．凡是符合平方差公式左邊特點的多項式都可以用這個公式分解因式．【例4】把下列多項式分解因式：(1)4x2－9；(2)16m2－9n2；(3)a3b－ab；(4)(x＋p)2－(x＋q)2.解：(1)4x2－9＝(2x)2－32＝(2x＋3)(2x－3)；(2)16m2－9n2＝(4m)2－(3n)2＝(4m＋3n)·(4m－3n)；(3)a3b－ab＝ab(a2－1)＝ab(a＋1)(a－1)；(4)(x＋p)2－(x＋q)2＝[(x＋p)＋(x＋q)]·[(x＋p)－(x＋q)]＝(2x＋p＋q)(p－q)．5．用完全平方公式分解因式(1)因式分解的完全平方公式兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或差)的平方．即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.這個公式就是把整式乘法的完全平方公式等號左右兩邊顛倒過來．(2)完全平方公式的特點左邊是一個三項式，其中兩項同號且均為一個整式的平方(平方項)，另一項是平方項冪的底數(shù)的2倍(乘積項)，符號可正也可負，右邊是兩個整式的和(或差)的平方，中間的符號同左邊的乘積項的符號．【例5】把下列多項式分解因式：(1)x2＋14x＋49；(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9；(3)3ax2＋6axy＋3ay2；(4)－x2－4y2＋4xy.解：(1)x2＋14x＋49＝x2＋2×7x＋72＝(x＋7)2；(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9＝(m＋n)2－2(m＋n)×3＋32＝(m＋n－3)2；(3)3ax2＋6axy＋3ay2＝3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2；(4)－x2－4y2＋4xy＝－(x2－4xy＋4y2)＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]＝－(x－2y)2.6．因式分解的一般步驟根據(jù)多項式的特點靈活選擇分解因式的方法，其一般步驟可概括為：一提、二套、三查．一提：如果多項式的各項有公因式，首先考慮提取公因式；二套：提公因式后或沒有公因式可提，就要考慮運用公式法，即平方差公式或完全平方公式；三查：因式分解一定要分解到不能分解為止，要檢查每個因式是否還可以繼續(xù)分解．7．運用公式法分解因式易出現(xiàn)的錯誤在分解因式時，多項式的項數(shù)若是兩項，且含有平方項，則考慮用平方差公式進行分解因式．若多項式是三項式，則考慮用完全平方公式．在應用公式法分解因式時常出現(xiàn)的錯誤是：對公式的結(jié)構(gòu)特征掌握不熟，理解不透徹，易出現(xiàn)符號、項數(shù)上的錯誤，二次項、一次項系數(shù)搞錯，把兩個公式混淆等．【例6】把下列各式分解因式：(1)18x2y－50y3；(2)ax3y＋axy3－2ax2y2.解：(1)18x2y－50y3＝2y(9x2－25y2)＝2y(3x＋5y)(3x－5y)；(2)ax3y＋axy3－2ax2y2＝axy(x2＋y2－2xy)＝axy(x－y)2.【例7】下列各式能用完全平方公式分解因式的是()．①4x2－4xy－y2；②x2＋eq\f(2,5)x＋eq\f(1,25)；③－1－a－eq\f(a2,4)；④m2n2＋4－4mn；⑤a2－2ab＋4b2；⑥x2－8x＋9.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解析：①⑤⑥不符合完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點，不能用完全平方公式分解因式．②④符合完全平方公式的特點，③提取“－”號后也符合完全平方公式的特點，所以②③④能用完全平方公式分解．①中的y2前面是“－”號，不能用完全平方公式分解．⑤中中間項有a、b的積的2倍，前后項都是平方式，但中間項不是“首尾積的2倍”，不能用完全平方公式分解．⑥也不符合．答案：C8．運用分解因式解決動手操作題動手操作題是讓學生在實際操作的基礎(chǔ)上設(shè)計有關(guān)的問題．這類題對同學們的能力有更高的要求，有利于培養(yǎng)學生樂于動手、勤于思考的意識和習慣，有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和實踐能力．這類題目主要考查動手操作能力，它包括裁剪、折疊、拼圖等．不僅考查動手能力，還考查想象能力，往往與面積、對稱性質(zhì)聯(lián)系在一起．此類題目就是通過拼圖，用不同的式子表示圖形面積，以達到把多項式分解因式的目的．【例8】如某同學剪出若干個長方形和正方形卡片，如圖(1)所示，請運用拼圖的方法，選取圖中相應的種類和一定數(shù)量的卡片拼成一個大長方形，使它的面積等于a2＋4ab＋3b2，并根據(jù)你拼成的圖形的面積，把此多項式分解因式．圖(1)圖(2)解：因為拼成一個面積等于a2＋4ab＋3b2的大長方形，就要用一個邊長為a的正方形、3個邊長為b的正方形和4個邊長分別為a，b的長方形，可以拼成如圖(2)所示的圖形，由此知長方形的邊長分別為(a＋b)和(a＋3b)．由面積可知a2＋4ab＋3b2＝(a＋b)(a＋3b)．§14.3.1提公因式法一.精心選一選1.下列各式從左到右的變形中，是因式分解的是（）。A.(x+3)(x－3)=x2－9B.x2+1=x(x+eq\f(1,x))C.3x2－3x+1=3x(x－1)+1D.a2－2ab+b2=(a－b)22多項式－6a2b+18a2b3x+24ab2y的公因式是（)A.mx+my和x+yB.3a(x+y)和2y+2xC.3a－3b和6（b－a)D.－2a－2b和a2－ab4.下列各多項式因式分解錯誤的是（）A.(a－b)3－(b－a)=（a－b)2(a－b－1)B.x(a－b－c)－y(b+c－a)=(a－b－c)(x+y)C.P(m－n)3－Pq(n－m)3=P(m－n)3(1+q)D.(a－2b)(7a+b)－2(2b－a)2=(a－2b)(5a+5b)5.將多項式（3a－4b)(7a－8b)－(11a－12b)(8b－7a)分解因式正確的結(jié)果是（）A.8(7a－8b)(a－b)B.2(7a－8b)2C.8(7a－8b)(b－a)D.－2(7a－8b)26已知多項式3x2－mx+n分解因是的結(jié)果為(3x+2)(x－1)，則m,n的值分別為（）A.m=1n=－2B.m－1n=－2Cm=2n=－2D.m=－2n=－27.多項式（m+1）(m－1)+（m－1）提取公因式（m－1）后，另一個因式為（）A.m+1B.2mC.2D.m+28.a是有理數(shù)，則整式a2（a2－2）－2a2+4的值（）A.不是負數(shù)B.恒為正數(shù)C.恒為負數(shù)D.不等于0

二.細心填一填9.分解因式3x(x－2)－(2－x)=10.利用因式分解計算：3.68×15.7－31.4+15.7×0.32=11.分解因式：（x+y)2－x－y=12.已知a+b=9ab=7則a2b+ab2=13.觀察下列各式：①abx－adx②2x2y+6xy2③8m3－4m2+1④(p+q)x2y－5x2(p+q)+6(p+q)2⑤(x+y)(x－y)－4b(y+x)－4ab其中可以用提取公因式法分解的因式(）。（填序號）14.若xm=5xn=6叫xm－xm+2n=15.不解方程組2x+y=6則7y(x－3y)2－2(3y－x)3=x－3y=116.計算20142－2014×2013+1=17.分解因式－7m(m－n)3+21mn(n－m)2=18.若(2x)n－81=(4x2+9)(2x+3)(2x－3）則n=三、解答題：19.分解因式①－49a2bc－14ab2c+7ab②(2a+b)(2a－3b)－8a(2a+b)試說明817－279－913必能被45整除已知△ABC的三邊長a，b，c滿足a2－bc－ab+ac=0求證△ABC為等腰三角形22.先化簡.在求值:30x2(y+4)－15x(y+4),其中x=2，y=－223.已知：m2=n+2n2=m+2(m≠n)求m3－2mn+n3的值。

參考答案一．1.D2.B3.D4.D5.B6.A7.D8.A二．9.(x－2)(3x+1)10.31.411.(x+y)(x+y－1)12.6313.①②④14.－17515.316.201517.－7m(m－n)2(m－4n)18.4三．19.①原式=－7ab(7ac+2bc－1)②原式=（2a+b）(2a－3b－8a)=(2a+b)(－6a－3b)=－3(2a+b)220.解：817－279－913=（34）7－（33）9－（32）13=328－327－326=326（32－3－1）=326×5=324×45∴817－279－913能被45整除。21.證明：∵a2－bc－ab+ac=0∴(a－b)(a+c)=0∵a,b為△ABC三邊∴a+c＞0，則a－b=0,即a=b∴△ABC為等腰三角形22.解：原式=15x(y+4)(2x－1)當x=2,y=－2時原式=15×2×(－2+4)(2×2－1)=18023.解：∵m2=n+2n2=m+2∴m3=mn+2mn3=mn+2n∴m3+n3=2mn+2（m+n）∴m3－2mn+n3=2(m+n)而m2－n2=(n+2)－(m+2)=n－m∵m≠n∴m－n≠0∴m+n=－1∴m3－2mn+n3=－1×2=－214.3.2公式法－運用平方差分解因式一.精心選一選1.下列多項式能用平方差公式分解的因式有（）（1）a2+b2(2)x2－y2(3)－m2+n2(4)－a2b2(5)－a6+4A.2個B.3個C.4個D.5個2下列因式分解正確的是（）A.9a2+4b2=(9a+4b)(9a－4b)B.－s2－t2=(－s+t)(－s－t)C.m2+(－n)2=(m+n)(m－n)D.－9+4y2=(3+2y)(2y－3)3.對于任整數(shù)n.多項式（4n+5）2－9都能（）A.被6整除B.被7整除C.被8整除D、被6或8整除4.將多項式xn+3－xn+1分解因式，結(jié)果是（）A.xn（x3－x）B.xn(x3－1)C.xn+1(x2－1）D.Xn+1(x+1)（x－1）5.在邊長為a的正方形中挖去一個邊為b的小正方形（a>b）(如圖甲），把余下的部分拼成一個長方形(如圖乙），根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證（）A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.(a－b)2=a2－2ab+b2C.a2+b2=(a+b)(a－b)D.(a+2b）(a－b)=a2+ab－2b26.下列分解因式中錯誤是（）A.a2－1=(a+1)(a－1)B.1－4b2=(1+2b)(1－