2025屆江西省吉安市遂川中學(xué)高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

2025屆江西省吉安市遂川中學(xué)高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，已知三棱錐中，平面平面，記二面角的平面角為，直線與平面所成角為，直線與平面所成角為，則（）A． B． C． D．2．己知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)分別在拋物線上，且，直線交于點(diǎn)，，垂足為，若的面積為，則到的距離為（）A． B． C．8 D．63．如圖，在平面四邊形ABCD中，若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．4．一個(gè)空間幾何體的正視圖是長(zhǎng)為4，寬為的長(zhǎng)方形，側(cè)視圖是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．5．函數(shù)在上的圖象大致為()A． B．C． D．6．過拋物線的焦點(diǎn)作直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)A，與準(zhǔn)線在第三象限交于點(diǎn)B，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為.若，則（）A． B． C． D．7．已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，則滿足A∪C＝B的集合C的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．18．若，滿足約束條件，則的取值范圍為（）A． B． C． D．9．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為（）A． B． C． D．10．已知類產(chǎn)品共兩件，類產(chǎn)品共三件，混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)分開來，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件類產(chǎn)品或者檢測(cè)出3件類產(chǎn)品時(shí)，檢測(cè)結(jié)束，則第一次檢測(cè)出類產(chǎn)品，第二次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率為（）A． B． C． D．11．設(shè)集合，，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．當(dāng)輸入的實(shí)數(shù)時(shí)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的不小于103的概率是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最大值為__________．14．3張獎(jiǎng)券分別標(biāo)有特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)．甲、乙兩人同時(shí)各抽取1張獎(jiǎng)券,兩人都未抽得特等獎(jiǎng)的概率是__________．15．正方體中，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且平面，記與的軌跡構(gòu)成的平面為．①，使得；②直線與直線所成角的正切值的取值范圍是；③與平面所成銳二面角的正切值為；④正方體的各個(gè)側(cè)面中，與所成的銳二面角相等的側(cè)面共四個(gè)．其中正確命題的序號(hào)是________．（寫出所有正確命題的序號(hào)）16．已知點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，將直線繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，所得直線方程是，若將它繼續(xù)旋轉(zhuǎn)角，所得直線方程是，則直線的方程是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求證：.18．（12分）某百貨商店今年春節(jié)期間舉行促銷活動(dòng)，規(guī)定消費(fèi)達(dá)到一定標(biāo)準(zhǔn)的顧客可進(jìn)行一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，隨著抽獎(jiǎng)活動(dòng)的有效開展，參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)越來越多，該商店經(jīng)理對(duì)春節(jié)前天參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，表示第天參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)，得到統(tǒng)計(jì)表格如下：123456758810141517（1）經(jīng)過進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)與具有線性相關(guān)關(guān)系．請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；（2）該商店規(guī)定：若抽中“一等獎(jiǎng)”，可領(lǐng)取600元購物券；抽中“二等獎(jiǎng)”可領(lǐng)取300元購物券；抽中“謝謝惠顧”，則沒有購物券．已知一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)獲得“一等獎(jiǎng)”的概率為，獲得“二等獎(jiǎng)”的概率為．現(xiàn)有張、王兩位先生參與了本次活動(dòng)，且他們是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立，求此二人所獲購物券總金額的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考公式：，，，．19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，求的值．20．（12分）已知拋物線：（）上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為4.（1）求p的值；（2）設(shè)（）為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過P作圓的兩條切線分別與y軸交于A、B兩點(diǎn).求的取值范圍.21．（12分）已知數(shù)列滿足，且.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），點(diǎn).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程，并指出其形狀；（2）曲線與曲線交于，兩點(diǎn)，若，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

作于,于,分析可得,,再根據(jù)正弦的大小關(guān)系判斷分析得,再根據(jù)線面角的最小性判定即可.【詳解】作于,于.因?yàn)槠矫嫫矫?平面.故,故平面.故二面角為.又直線與平面所成角為,因?yàn)?故.故,當(dāng)且僅當(dāng)重合時(shí)取等號(hào).又直線與平面所成角為,且為直線與平面內(nèi)的直線所成角,故,當(dāng)且僅當(dāng)平面時(shí)取等號(hào).故.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面角與線線角的大小判斷,需要根據(jù)題意確定角度的正弦的關(guān)系,同時(shí)運(yùn)用線面角的最小性進(jìn)行判定.屬于中檔題.2、D【解析】

作，垂足為，過點(diǎn)N作，垂足為G，設(shè)，則，結(jié)合圖形可得，，從而可求出，進(jìn)而可求得，，由的面積即可求出，再結(jié)合為線段的中點(diǎn)，即可求出到的距離．【詳解】如圖所示，作，垂足為，設(shè)，由，得，則，.過點(diǎn)N作，垂足為G，則，，所以在中，，，所以，所以，在中，，所以，所以，，所以．解得，因?yàn)?，所以為線段的中點(diǎn)，所以F到l的距離為．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)及平面幾何的有關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．3、A【解析】

分析：由題意可得為等腰三角形，為等邊三角形，把數(shù)量積分拆，設(shè)，數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，用函數(shù)可求得最小值。詳解：連接BD,取AD中點(diǎn)為O,可知為等腰三角形，而，所以為等邊三角形，。設(shè)=所以當(dāng)時(shí)，上式取最小值，選A.點(diǎn)睛：本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量都用基底表示。同時(shí)利用向量共線轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。4、B【解析】

由三視圖確定原幾何體是正三棱柱，由此可求得體積．【詳解】由題意原幾何體是正三棱柱，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三視圖，考查棱柱的體積．解題關(guān)鍵是由三視圖不愿出原幾何體．5、A【解析】

首先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值即可利用排除法解得；【詳解】解：依題意，，故函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除C；而，排除B；，排除D.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

需結(jié)合拋物線第一定義和圖形，得為等腰三角形，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作，再由三角函數(shù)定義和幾何關(guān)系分別表示轉(zhuǎn)化出，，結(jié)合比值與正切二倍角公式化簡(jiǎn)即可【詳解】如圖，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作.由拋物線定義知，所以，，，，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題7、A【解析】

由可確定集合中元素一定有的元素，然后列出滿足題意的情況，得到答案.【詳解】由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4種情況，所以選A項(xiàng).【點(diǎn)睛】考查集合并集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.8、B【解析】

根據(jù)約束條件作出可行域，找到使直線的截距取最值得點(diǎn)，相應(yīng)坐標(biāo)代入即可求得取值范圍.【詳解】畫出可行域，如圖所示：由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最小值－5；經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值5，故.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)線性規(guī)劃求范圍，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，由此求出四棱錐的體積．【詳解】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，畫出四棱錐的直觀圖，如圖所示：則該四棱錐的體積為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用三視圖求幾何體體積的問題，是基礎(chǔ)題．10、D【解析】

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，由古典概型概率公式可得第一次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率，不放回情況下第二次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率，即可得解.【詳解】類產(chǎn)品共兩件，類產(chǎn)品共三件，則第一次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率為；不放回情況下，剩余4件產(chǎn)品，則第二次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率為；故第一次檢測(cè)出類產(chǎn)品，第二次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率為；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，古典概型概率計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

由得出，利用集合的包含關(guān)系可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，且，，.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的運(yùn)行，直至不滿足條件退出循環(huán)體，求出的范圍，利用幾何概型概率公式，即可求出結(jié)論.【詳解】程序框圖共運(yùn)行3次，輸出的的范圍是，所以輸出的不小于103的概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果、幾何概型的概率，模擬程序運(yùn)行是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

分類討論，時(shí)不合題意；時(shí)求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到在上的最小值，利用不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)最小值，化簡(jiǎn)得，構(gòu)造放縮函數(shù)對(duì)自變量再研究，可解,【詳解】令；當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，，令，得或，所以在區(qū)間和上單調(diào)遞減.因?yàn)?，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在處取極小值，即最小值為.若，，則，即.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以，即，所以的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問題.不等式恒成立問題的求解思路：已知不等式(為實(shí)參數(shù))對(duì)任意的恒成立，求參數(shù)的取值范圍．利用導(dǎo)數(shù)解決此類問題可以運(yùn)用分離參數(shù)法;如果無法分離參數(shù)，可以考慮對(duì)參數(shù)或自變量進(jìn)行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以考慮二次項(xiàng)系數(shù)與判別式的方法(,或，)求解．14、【解析】

利用排列組合公式進(jìn)行計(jì)算,再利用古典概型公式求出不是特等獎(jiǎng)的兩張的概率即可.【詳解】解:3張獎(jiǎng)券分別標(biāo)有特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng),甲、乙兩人同時(shí)各抽取1張獎(jiǎng)券,則兩人同時(shí)抽取兩張共有：種排法排除特等獎(jiǎng)外兩人選兩張共有：種排法.故兩人都未抽得特等獎(jiǎng)的概率是：故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率公式的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.15、①②③④【解析】

取中點(diǎn),中點(diǎn),中點(diǎn),先利用中位線的性質(zhì)判斷點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段,平面即為平面,畫出圖形,再依次判斷:①利用等腰三角形的性質(zhì)即可判斷；②直線與直線所成角即為直線與直線所成角,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,進(jìn)而求解；③由,取為中點(diǎn),則,則即為與平面所成的銳二面角,進(jìn)而求解；④由平行的性質(zhì)及圖形判斷即可.【詳解】取中點(diǎn),連接,則,所以,所以平面即為平面,取中點(diǎn),中點(diǎn),連接,則易證得,所以平面平面,所以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段,平面即為平面.①取為中點(diǎn),因?yàn)槭堑妊切?所以,又因?yàn)?所以,故①正確；②直線與直線所成角即為直線與直線所成角,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí),直線與直線所成角最小,此時(shí),；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時(shí),直線與直線所成角最大,此時(shí),所以直線與直線所成角的正切值的取值范圍是,②正確；③與平面的交線為,且,取為中點(diǎn),則即為與平面所成的銳二面角,,所以③正確；④正方體的各個(gè)側(cè)面中,平面,平面,平面,平面與平面所成的角相等,所以④正確．故答案為:①②③④【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面的空間位置關(guān)系,考查異面直線成角,二面角,考查空間想象能力與轉(zhuǎn)化思想.16、【解析】

求出點(diǎn)坐標(biāo)，由于直線與直線垂直，得出直線的斜率為，再由點(diǎn)斜式寫出直線的方程.【詳解】由于直線可看成直線先繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)角得到，則直線與直線垂直，即直線的斜率為所以直線的方程為，即故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了求直線的方程，涉及了求直線的交點(diǎn)以及直線與直線的位置關(guān)系，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；（3）證明見解析.【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，求得其導(dǎo)函數(shù)，，可求得函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）由已知得，得出導(dǎo)函數(shù)，并得出導(dǎo)函數(shù)取得正負(fù)的區(qū)間，可得出函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，，，由（2）得的單調(diào)區(qū)間，以當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)，且有，，構(gòu)造函數(shù)，分析其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得出函數(shù)的單調(diào)性，得出其最值，所證的不等式可得證.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，，所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即；（2）由已知得，，令，得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（3）當(dāng)時(shí)，，，由（2）得在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)，且有，，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，所以，在上單調(diào)遞減，且，，由，在上單調(diào)遞增，.所以.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在某點(diǎn)的切線方程，討論函數(shù)的單調(diào)性，以及證明不等式，關(guān)鍵在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，得出其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性，屬于難度題.18、（1）；（2）見解析【解析】試題分析：（I）由題意可得，，則，，關(guān)于的線性回歸方程為．（II）由題意可知二人所獲購物券總金額的可能取值有、、、、元，它們所對(duì)應(yīng)的概率分別為：，，，．據(jù)此可得分布列，計(jì)算相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望為元．試題解析：（I）依題意：，，，，，，則關(guān)于的線性回歸方程為．（II）二人所獲購物券總金額的可能取值有、、、、元，它們所對(duì)應(yīng)的概率分別為：，，，，．所以，總金額的分布列如下表：03006009001200總金額的數(shù)學(xué)期望為元．19、（1），（2）【解析】

(1)利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可把曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,利用消去參數(shù)即可得到直線的直角坐標(biāo)方程;(2)由于在直線上,寫出直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程參數(shù)方程,代入曲線的方程利用參數(shù)的幾何意義即可得出求解即可.【詳解】（1）直線的普通方程為，即，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的相互轉(zhuǎn)化，，，而，則，即，故直線l的普通方程為，曲線C的直角坐標(biāo)方程（2）點(diǎn)在直線l上，且直線的傾斜角為，可設(shè)直線的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)），代入到曲線C的方程得，，，由參數(shù)的幾何意義知．【點(diǎn)睛】熟練掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、方程思想、直線的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵,難度一般.20、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為4，由拋物線的定義得到求解.