福建省三明市第二中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)三模試卷含解析

福建省三明市第二中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)三模試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，，若總有恒成立.記的最小值為，則的最大值為（）A．1 B． C． D．2．已知函數(shù)若關(guān)于的方程有六個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．3．在平行六面體中，M為與的交點，若,，則與相等的向量是（）A． B． C． D．4．在等差數(shù)列中，若，則（）A．8 B．12 C．14 D．105．（）A． B． C． D．6．已知為圓：上任意一點，，若線段的垂直平分線交直線于點，則點的軌跡方程為()A． B．C．（） D．（）7．在很多地鐵的車廂里，頂部的扶手是一根漂亮的彎管，如下圖所示．將彎管形狀近似地看成是圓弧，已知彎管向外的最大突出(圖中)有，跨接了6個坐位的寬度()，每個座位寬度為，估計彎管的長度，下面的結(jié)果中最接近真實值的是（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)（表示不超過x的最大整數(shù)），若有且僅有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知隨機變量滿足，，.若，則（）A．， B．，C．， D．，10．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有1個整數(shù)解，則實數(shù)的最大值為（）A．2 B．3 C．5 D．811．為研究某咖啡店每日的熱咖啡銷售量和氣溫之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計該店2017年每周六的銷售量及當(dāng)天氣溫得到如圖所示的散點圖（軸表示氣溫，軸表示銷售量），由散點圖可知與的相關(guān)關(guān)系為（）A．正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的值為B．負相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的值為C．負相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的值為D．正相關(guān)，相關(guān)負數(shù)的值為12．已知函數(shù)，若，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為______．14．已知向量，且向量與的夾角為_______.15．設(shè)滿足約束條件，則的取值范圍是______.16．若的展開式中各項系數(shù)之和為32，則展開式中x的系數(shù)為_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為是橢圓的一個焦點，點，直線的斜率為1．（1）求橢圓的方程；（1）若過點的直線與橢圓交于兩點，線段的中點為，是否存在直線使得？若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由．18．（12分）某職稱晉級評定機構(gòu)對參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績進行了統(tǒng)計，繪制了頻率分布直方圖（如圖所示），規(guī)定80分及以上者晉級成功，否則晉級失?。畷x級成功晉級失敗合計男16女50合計（1）求圖中的值；（2）根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認為“晉級成功”與性別有關(guān)？（3）將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機抽取4人進行約談，記這4人中晉級失敗的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．（參考公式：，其中）0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02419．（12分）本小題滿分14分）已知曲線的極坐標方程為，以極點為原點，極軸為軸的非負半軸建立平面直角坐標系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），求直線被曲線截得的線段的長度20．（12分）設(shè)點，動圓經(jīng)過點且和直線相切.記動圓的圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點的直線與曲線交于、兩點，且直線與軸交于點，設(shè)，，求證：為定值.21．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，證明，在恒成立；（2）若在處取得極大值，求的取值范圍.22．（10分）已知，，，.（1）求的值；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)總有恒成立可構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論的最大值可得最大值最大值,即.根據(jù)題意化簡可得,求得,再換元求導(dǎo)分析最大值即可.【詳解】由題,總有即恒成立.設(shè),則的最大值小于等于0.又,若則,在上單調(diào)遞增,無最大值.若,則當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增.故在處取得最大值.故,化簡得.故,令,可令,故,當(dāng)時,,在遞減；當(dāng)時,,在遞增.故在處取得極大值,為.故的最大值為.故選：C【點睛】本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問題,需要根據(jù)題意分析導(dǎo)數(shù)中參數(shù)的范圍,再分析函數(shù)的最值,進而求導(dǎo)構(gòu)造函數(shù)求解的最大值.屬于難題.2、B【解析】

令，則，由圖象分析可知在上有兩個不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解決.【詳解】令，則，如圖與頂多只有3個不同交點，要使關(guān)于的方程有六個不相等的實數(shù)根，則有兩個不同的根，設(shè)由根的分布可知，，解得.故選：B.【點睛】本題考查復(fù)合方程根的個數(shù)問題，涉及到一元二次方程根的分布，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.3、D【解析】

根據(jù)空間向量的線性運算，用作基底表示即可得解.【詳解】根據(jù)空間向量的線性運算可知因為,，則即，故選：D.【點睛】本題考查了空間向量的線性運算，用基底表示向量，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

將，分別用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則由，，得解得，，所以．故選C．【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本量的求解，難度較易.已知等差數(shù)列的任意兩項的值，可通過構(gòu)建和的方程組求通項公式.5、D【解析】

利用，根據(jù)誘導(dǎo)公式進行化簡，可得，然后利用兩角差的正弦定理，可得結(jié)果.【詳解】由所以，所以原式所以原式故故選：D【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式以及兩角差的正弦公式，關(guān)鍵在于掌握公式，屬基礎(chǔ)題.6、B【解析】

如圖所示：連接，根據(jù)垂直平分線知，，故軌跡為雙曲線，計算得到答案.【詳解】如圖所示：連接，根據(jù)垂直平分線知，故，故軌跡為雙曲線，，，，故，故軌跡方程為.故選：.【點睛】本題考查了軌跡方程，確定軌跡方程為雙曲線是解題的關(guān)鍵.7、B【解析】

為彎管，為6個座位的寬度，利用勾股定理求出弧所在圓的半徑為，從而可得弧所對的圓心角，再利用弧長公式即可求解.【詳解】如圖所示，為彎管，為6個座位的寬度，則設(shè)弧所在圓的半徑為，則解得可以近似地認為，即于是，長所以是最接近的，其中選項A的長度比還小，不可能，因此只能選B，260或者由，所以弧長.故選：B【點睛】本題考查了弧長公式，需熟記公式，考查了學(xué)生的分析問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

根據(jù)[x]的定義先作出函數(shù)f（x）的圖象，利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為f（x）與g（x）=ax有三個不同的交點，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，若有且僅有3個零點，則等價為有且僅有3個根，即與有三個不同的交點，作出函數(shù)和的圖象如圖，當(dāng)a=1時，與有無數(shù)多個交點，當(dāng)直線經(jīng)過點時，即，時，與有兩個交點，當(dāng)直線經(jīng)過點時，即時，與有三個交點，要使與有三個不同的交點，則直線處在過和之間，即，故選：A．【點睛】利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域(最值)問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.9、B【解析】

根據(jù)二項分布的性質(zhì)可得：，再根據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因為隨機變量滿足，，.所以服從二項分布，由二項分布的性質(zhì)可得：，因為，所以，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得：，在上單調(diào)遞減，所以.故選：B【點睛】本題主要考查二項分布的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.10、D【解析】

畫出函數(shù)的圖象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用數(shù)形結(jié)合即可得出.【詳解】解：函數(shù)，如圖所示當(dāng)時，，由于關(guān)于的不等式恰有1個整數(shù)解因此其整數(shù)解為3，又∴，，則當(dāng)時，，則不滿足題意；當(dāng)時，當(dāng)時，，沒有整數(shù)解當(dāng)時，，至少有兩個整數(shù)解綜上，實數(shù)的最大值為故選：D【點睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，屬于較難題.11、C【解析】

根據(jù)正負相關(guān)的概念判斷．【詳解】由散點圖知隨著的增大而減小，因此是負相關(guān)．相關(guān)系數(shù)為負．故選：C．【點睛】本題考查變量的相關(guān)關(guān)系，考查正相關(guān)和負相關(guān)的區(qū)別．掌握正負相關(guān)的定義是解題基礎(chǔ)．12、C【解析】

求出函數(shù)定義域，在定義域內(nèi)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式．【詳解】由得，在時，是增函數(shù)，是增函數(shù)，是增函數(shù)，∴是增函數(shù)，∴由得，解得．故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查解函數(shù)不等式，解題關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性，解題時可先確定函數(shù)定義域，在定義域內(nèi)求解．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用,得到的關(guān)系式,然后代入雙曲線的漸近線方程即可求解.【詳解】因為雙曲線的離心率為,所以,即,因為雙曲線的漸近線方程為,所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為:【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì);考查運算求解能力;熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.14、1【解析】

根據(jù)向量數(shù)量積的定義求解即可．【詳解】解：∵向量，且向量與的夾角為，∴||；所以：?（）2cos2﹣2＝1，故答案為：1．【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的定義，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

作出可行域，將目標函數(shù)整理為可視為可行解與的斜率，則由圖可知或，分別計算出與，再由不等式的簡單性質(zhì)即可求得答案.【詳解】作出滿足約束條件的可行域，顯然當(dāng)時，z=0；當(dāng)時將目標函數(shù)整理為可視為可行解與的斜率，則由圖可知或顯然，聯(lián)立，所以則或，故或綜上所述，故答案為：【點睛】本題考查分式型目標函數(shù)的線性規(guī)劃問題，屬于簡單題.16、2025【解析】

利用賦值法，結(jié)合展開式中各項系數(shù)之和列方程，由此求得的值.再利用二項式展開式的通項公式，求得展開式中的系數(shù).【詳解】依題意，令，解得，所以，則二項式的展開式的通項為：令，得，所以的系數(shù)為.故答案為：2025【點睛】本小題主要考查二項式展開式各項系數(shù)之和，考查二項式展開式指定項系數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（1）不存在，理由見解析【解析】

（1）利用離心率和過點，列出等式，即得解（1）設(shè)的方程為，與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理表示中點N的坐標，用點坐標表示，利用韋達關(guān)系代入，得到關(guān)于k的等式，即可得解.【詳解】（1）由題意，可得解得則，故橢圓的方程為．（1）當(dāng)直線的斜率不存在時，，不符合題意．當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)的方程為，聯(lián)立得，設(shè)，則，，，即．設(shè)，則，，，則，即，整理得，此方程無解，故的方程不存在．綜上所述，不存在直線使得．【點睛】本題考查了直線和橢圓綜合，考查了弦長和中點問題，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于較難題.18、(1)；(2)列聯(lián)表見解析，有超過的把握認為“晉級成功”與性別有關(guān)；(3)分布列見解析，=3【解析】

（1）由頻率和為1，列出方程求的值；（2）由頻率分布直方圖求出晉級成功的頻率，計算晉級成功的人數(shù)，填寫列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論；（3）由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率，將頻率視為概率，知隨機變量服從二項分布，計算對應(yīng)的概率值，寫出分布列，計算數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1，可知，解得；（2）由頻率分布直方圖知，晉級成功的頻率為，所以晉級成功的人數(shù)為（人），填表如下：晉級成功晉級失敗合計男163450女94150合計2575100假設(shè)“晉級成功”與性別無關(guān)，根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得，所以有超過的把握認為“晉級成功”與性別有關(guān)；（3）由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率為，將頻率視為概率，則從本次考試的所有人員中，隨機抽取1人進行約談，這人晉級失敗的概率為0.75，所以可視為服從二項分布，即，，故，，，，.所以的分布列為：01234數(shù)學(xué)期望為.或（）．【點睛】本題考查了頻率分布直方圖和離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問題，屬于中檔題．若離散型隨機變量，則.19、【解析】解：解：將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程為，即，它表示以為圓心，2為半徑圓，………4分直線方程的普通方程為，………8分圓C的圓心到直線l的距離，……………10分故直線被曲線截得的線段長度為．……………14分20、（1）；（2）見解析．【解析】

（1）已知點軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，由此可得曲線的方程；（2）設(shè)直線方程為，，則，設(shè)，由直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元應(yīng)用韋達定理得，，由，，用橫坐標表示出，然后計算，并代入，可得結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)動圓圓心，由拋物線定義知：點軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，設(shè)其方程為，則，解得．∴曲線的方程為；（2）證明：設(shè)直線方程為，，則，設(shè)，由得，①，則，，②，由，，得，，整理得，，∴，代入②得：．【點睛】本題考查求曲線方程，考查拋物線的定義，考查直線與拋物線