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陜西省漢濱區(qū)2025屆高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知的共軛復(fù)數(shù)是,且(為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知拋物線的焦點(diǎn)為,對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為,為上任意一點(diǎn),若,則()A.30° B.45° C.60° D.75°3.設(shè),集合,則()A. B. C. D.4.已知集合,,,則的子集共有()A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)5.已知集合,,則()A. B.C. D.6.在平面直角坐標(biāo)系中,已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的非負(fù)半軸重合,終邊落在直線上,則()A. B. C. D.7.已知函數(shù),方程有四個(gè)不同的根,記最大的根的所有取值為集合,則“函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)”是“”的().A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.△ABC中,AB=3,,AC=4,則△ABC的面積是()A. B. C.3 D.9.一物體作變速直線運(yùn)動(dòng),其曲線如圖所示,則該物體在間的運(yùn)動(dòng)路程為()m.A.1 B. C. D.210.已知數(shù)列滿足,則()A. B. C. D.11.設(shè)全集,集合,,則()A. B. C. D.12.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+?+n2=n4A.k2+1C.k2+1二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知實(shí)數(shù)滿約束條件,則的最大值為_(kāi)__________.14.函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)____.15.函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)________.16.一個(gè)村子里一共有個(gè)人,其中一個(gè)人是謠言制造者,他編造了一條謠言并告訴了另一個(gè)人,這個(gè)人又把謠言告訴了第三個(gè)人,如此等等.在每一次謠言傳播時(shí),謠言的接受者都是在其余個(gè)村民中隨機(jī)挑選的,當(dāng)謠言傳播次之后,還沒(méi)有回到最初的造謠者的概率是_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知,(Ⅰ)求的大小;(Ⅱ)若,求面積的最大值.18.(12分)在中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,并且.(1)已知_______________,計(jì)算的面積;請(qǐng)①,②,③這三個(gè)條件中任選兩個(gè),將問(wèn)題(1)補(bǔ)充完整,并作答.注意,只需選擇其中的一種情況作答即可,如果選擇多種情況作答,以第一種情況的解答計(jì)分.(2)求的最大值.19.(12分)有甲、乙兩家外賣公司,其送餐員的日工資方案如下:甲公司底薪元,送餐員每單制成元;乙公司無(wú)底薪,單以內(nèi)(含單)的部分送餐員每單抽成元,超過(guò)單的部分送餐員每單抽成元.現(xiàn)從這兩家公司各隨機(jī)選取一名送餐員,分別記錄其天的送餐單數(shù),得到如下頻數(shù)分布表:送餐單數(shù)3839404142甲公司天數(shù)101015105乙公司天數(shù)101510105(1)從記錄甲公司的天送餐單數(shù)中隨機(jī)抽取天,求這天的送餐單數(shù)都不小于單的概率;(2)假設(shè)同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同,將頻率視為概率,回答下列兩個(gè)問(wèn)題:①求乙公司送餐員日工資的分布列和數(shù)學(xué)期望;②小張打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員,如果僅從日工資的角度考慮,小張應(yīng)選擇哪家公司應(yīng)聘?說(shuō)明你的理由.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,且與直角坐標(biāo)系長(zhǎng)度單位相同的極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程是.(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)A,B,求線段的長(zhǎng).21.(12分)已知數(shù)列滿足,等差數(shù)列滿足,(1)分別求出,的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,數(shù)列的前n項(xiàng)和為證明:.22.(10分)已知,,分別是三個(gè)內(nèi)角,,的對(duì)邊,.(1)求;(2)若,,求,.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
設(shè),整理得到方程組,解方程組即可解決問(wèn)題.【詳解】設(shè),因?yàn)?,所以,所以,解得:,所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,此點(diǎn)位于第四象限.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)知識(shí),考查了方程思想,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
如圖所示:作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于,則,故,得到答案.【詳解】如圖所示:作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于,則,在中,,故,即.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中角度的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.3、B【解析】
先化簡(jiǎn)集合A,再求.【詳解】由得:,所以,因此,故答案為B【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的化簡(jiǎn)和運(yùn)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和計(jì)算推理能力.4、B【解析】
根據(jù)集合中的元素,可得集合,然后根據(jù)交集的概念,可得,最后根據(jù)子集的概念,利用計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以集合則所以的子集共有故選:B【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算以及集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算,當(dāng)集合中有元素時(shí),集合子集的個(gè)數(shù)為,真子集個(gè)數(shù)為,非空子集為,非空真子集為,屬基礎(chǔ)題.5、C【解析】
求出集合,計(jì)算出和,即可得出結(jié)論.【詳解】,,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查交集和并集的計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式,將化簡(jiǎn)為關(guān)于的形式,結(jié)合終邊所在的直線可知的值,從而可求的值.【詳解】因?yàn)?,且,所?故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式以及三角恒等變換中的二倍角公式,屬于給角求值類型的問(wèn)題,難度一般.求解值的兩種方法:(1)分別求解出的值,再求出結(jié)果;(2)將變形為,利用的值求出結(jié)果.7、A【解析】
作出函數(shù)的圖象,得到,把函數(shù)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為與在(2,4]上有交點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率,即可求得的取值范圍,再根據(jù)充分、必要條件的定義即可判斷.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖,由圖可知,,函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn),即有兩個(gè)不同的根,也就是與在上有2個(gè)交點(diǎn),則的最小值為;設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線與的切點(diǎn)為,斜率為,則切線方程為,把代入,可得,即,∴切線斜率為,∴k的取值范圍是,∴函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)”是“”的充分不必要條件,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程,試題有一定的綜合性,屬于中檔題.8、A【解析】
由余弦定理求出角,再由三角形面積公式計(jì)算即可.【詳解】由余弦定理得:,又,所以得,故△ABC的面積.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用,三角形的面積公式,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.9、C【解析】
由圖像用分段函數(shù)表示,該物體在間的運(yùn)動(dòng)路程可用定積分表示,計(jì)算即得解【詳解】由題中圖像可得,由變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式,可得.所以物體在間的運(yùn)動(dòng)路程是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的實(shí)際應(yīng)用,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.10、C【解析】
利用的前項(xiàng)和求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,可計(jì)算出,然后利用裂項(xiàng)法可求出的值.【詳解】.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),由,可得,兩式相減,可得,故,因?yàn)橐策m合上式,所以.依題意,,故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用求,同時(shí)也考查了裂項(xiàng)求和法,考查計(jì)算能力,屬于中等題.11、D【解析】
求解不等式,得到集合A,B,利用交集、補(bǔ)集運(yùn)算即得解【詳解】由于故集合或故集合故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集和補(bǔ)集混合運(yùn)算,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.12、C【解析】
首先分析題目求用數(shù)學(xué)歸納法證明1+1+3+…+n1=n4【詳解】當(dāng)n=k時(shí),等式左端=1+1+…+k1,當(dāng)n=k+1時(shí),等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+(k+1)1,增加了項(xiàng)(k1+1)+(k1+1)+(k1+3)+…+(k+1)1.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法,屬于中檔題./二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、8【解析】
畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)平移計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)約束條件,畫出可行域,圖中陰影部分為可行域.又目標(biāo)函數(shù)表示直線在軸上的截距,由圖可知當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)截距最大,故的最大值為8.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問(wèn)題,畫出圖像是解題的關(guān)鍵.14、【解析】
利用配方法化簡(jiǎn)式子,可得,然后根據(jù)觀察法,可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)樗院瘮?shù)的值域?yàn)楣蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題考查的是用配方法求函數(shù)的值域問(wèn)題,屬基礎(chǔ)題。15、【解析】
利用換元法,得到,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值,即可得到函數(shù)的值域,得到答案.【詳解】由題意,可得,令,,即,則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,即在為增函數(shù),在為減函數(shù),又,,,故函數(shù)的值域?yàn)椋海军c(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的最值,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,其中解答中合理利用換元法得到函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與預(yù)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
利用相互獨(dú)立事件概率的乘法公式即可求解.【詳解】第1次傳播,謠言一定不會(huì)回到最初的人;從第2次傳播開(kāi)始,每1次謠言傳播,第一個(gè)制造謠言的人被選中的概率都是,沒(méi)有被選中的概率是.次傳播是相互獨(dú)立的,故為故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了相互獨(dú)立事件概率的乘法公式,考查了考生的分析能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
分析:(1)利用正弦定理以及誘導(dǎo)公式與和角公式,結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值,求得角C;(2)運(yùn)用向量的平方就是向量模的平方,以及向量數(shù)量積的定義,結(jié)合基本不等式,求得的最大值,再由三角形的面積公式計(jì)算即可得到所求的值.詳解:(1)∵,,(Ⅱ)取中點(diǎn),則,在中,,(注:也可將兩邊平方)即,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).此時(shí),其最大值為.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)三角形的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有正弦定理,誘導(dǎo)公式,和角公式,向量的平方即為向量模的平方,基本不等式,三角形的面積公式,在解題的過(guò)程中,需要正確使用相關(guān)的公式進(jìn)行運(yùn)算即可求得結(jié)果.18、(1)見(jiàn)解析(2)1【解析】
(1)選②,③.可得,結(jié)合,求得.即可;若選①,②.由可得由,求得.即可;若選①,③,可得,又,可得,即可;(2)化簡(jiǎn),根據(jù)角的范圍求最值即可.【詳解】(1)若選②,③.,,,,又,.的面積.若選①,②.由可得,,,又,.的面積.若選①,③,,又,,可得,的面積.(2),當(dāng)時(shí),有最大值1.【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理,三角三角恒等變形,考查了計(jì)算能力,屬于中檔題.19、(1);(2)①分布列見(jiàn)解析,;②小張應(yīng)選擇甲公司應(yīng)聘.【解析】
(1)記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件,可得(A)的值.(2)①設(shè)乙公司送餐員送餐單數(shù)為,可得當(dāng)時(shí),,以此類推可得:當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),的值.當(dāng)時(shí),的值,同理可得:當(dāng)時(shí),.的所有可能取值.可得的分布列及其數(shù)學(xué)期望.②依題意,甲公司送餐員日平均送餐單數(shù).可得甲公司送餐員日平均工資,與乙數(shù)學(xué)期望比較即可得出.【詳解】解:(1)由表知,50天送餐單數(shù)中有30天的送餐單數(shù)不小于40單,記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件,則.(2)①設(shè)乙公司送餐員的送餐單數(shù)為,日工資為元,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以的分布列為228234240247254.②依題意,甲公司送餐員的日平均送餐單數(shù)為,所以甲公司送餐員的日平均工資為元,因?yàn)?,所以小張?yīng)選擇甲公司應(yīng)聘.【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望、古典概率計(jì)算公式、組合計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.20、(1)l:,C:;(2)【解析】
(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系,把參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換;
(2)由(1)可得曲線是圓,求出圓心坐標(biāo)及半徑,再求得圓心到直線的距離,即可求得的長(zhǎng).【詳解】(1)由題意可得直線:,由,得,即,所以曲線C:.(2)由(1)知,圓,半徑.∴圓心到直線的距離為:.∴【點(diǎn)睛】本題考查直線的普通坐標(biāo)方程、曲線的直角坐標(biāo)方程的求法,考查弦長(zhǎng)的求法、運(yùn)算求解能力,是中檔題.21、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)因?yàn)?,所以,所以,即,?/p>
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