2025屆北京市文江中學高考數(shù)學押題試卷含解析

2025屆北京市文江中學高考數(shù)學押題試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，且的圖象經過第一、二、四象限，則，，的大小關系為()A． B．C． D．2．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰，甲、丁兩人必須相鄰，則滿足要求的排隊方法數(shù)為（）.A．432 B．576 C．696 D．9603．如圖所示，三國時代數(shù)學家趙爽在《周髀算經》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形（陰影），設直角三角形有一內角為，若向弦圖內隨機拋擲500顆米粒（米粒大小忽略不計，?。瑒t落在小正方形（陰影）內的米粒數(shù)大約為（）A．134 B．67 C．182 D．1084．函數(shù)（且）的圖象可能為（）A． B． C． D．5．在的展開式中，的系數(shù)為()A．-120 B．120 C．-15 D．156．已知函數(shù)在區(qū)間上恰有四個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知直線y=k(x+1)(k>0)與拋物線C相交于A，B兩點，F(xiàn)為C的焦點，若|FA|=2|FB|，則|FA|=（）A．1 B．2 C．3 D．48．根據(jù)如圖所示的程序框圖，當輸入的值為3時，輸出的值等于（）A．1 B． C． D．9．某公園新購進盆錦紫蘇、盆虞美人、盆郁金香，盆盆栽，現(xiàn)將這盆盆栽擺成一排，要求郁金香不在兩邊，任兩盆錦紫蘇不相鄰的擺法共（）種A． B． C． D．10．已知函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后，得到的圖像關于軸對稱，，當取得最小值時，函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．11．設函數(shù)，則，的大致圖象大致是的()A． B．C． D．12．若函數(shù)的圖象上兩點，關于直線的對稱點在的圖象上，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．等腰直角三角形內有一點P，，，，，則面積為______.14．已知、為正實數(shù)，直線截圓所得的弦長為，則的最小值為__________.15．已知函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍是___________.16．已知向量，，，若，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．(Ⅰ)當時，討論函數(shù)的單調區(qū)間；(Ⅱ)若對任意的和恒成立，求實數(shù)的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求在點處的切線方程；（Ⅱ）已知在上恒成立，求的值.（Ⅲ）若方程有兩個實數(shù)根，且，證明：.19．（12分）已知函數(shù)，.（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點的個數(shù)；（2）記函數(shù)在區(qū)間上的兩個極值點分別為、，求證：.20．（12分）中，內角的對邊分別為，.（1）求的大??；（2）若，且為的重心，且，求的面積.21．（12分）如圖所示,直角梯形中,,,,四邊形為矩形,.（1）求證:平面平面;（2）在線段上是否存在點,使得直線與平面所成角的正弦值為,若存在,求出線段的長,若不存在,請說明理由.22．（10分）在平面直角坐標系xoy中，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系。已知曲線C的極坐標方程為，過點的直線l的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線l與曲線C交于M、N兩點。（1）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程：（2）若成等比數(shù)列，求a的值。

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)題意，得，，則為減函數(shù)，從而得出函數(shù)的單調性，可比較和，而，比較，即可比較.【詳解】因為，且的圖象經過第一、二、四象限，所以，，所以函數(shù)為減函數(shù)，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，又因為，所以，又，，則|，即，所以.故選：C.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調性比較大小，還考查化簡能力和轉化思想.2、B【解析】

先把沒有要求的3人排好，再分如下兩種情況討論：1.甲、丁兩者一起，與乙、丙都不相鄰，2.甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰.【詳解】首先將除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有種不同排列方式，甲、丁排在一起共有種不同方式；若甲、丁一起與乙、丙都不相鄰，插入余下三人產生的空檔中，共有種不同方式；若甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰，插入余下三人產生的空檔中，共有種不同方式；根據(jù)分類加法、分步乘法原理，得滿足要求的排隊方法數(shù)為種.故選：B.【點睛】本題考查排列組合的綜合應用，在分類時，要注意不重不漏的原則，本題是一道中檔題.3、B【解析】

根據(jù)幾何概型的概率公式求出對應面積之比即可得到結論.【詳解】解：設大正方形的邊長為1，則小直角三角形的邊長為，

則小正方形的邊長為，小正方形的面積，

則落在小正方形（陰影）內的米粒數(shù)大約為，

故選：B.【點睛】本題主要考查幾何概型的概率的應用，求出對應的面積之比是解決本題的關鍵.4、D【解析】因為，故函數(shù)是奇函數(shù)，所以排除A，B；取，則，故選D.考點：1.函數(shù)的基本性質；2.函數(shù)的圖象.5、C【解析】

寫出展開式的通項公式，令，即，則可求系數(shù)．【詳解】的展開式的通項公式為，令，即時，系數(shù)為．故選C【點睛】本題考查二項式展開的通項公式，屬基礎題．6、A【解析】

函數(shù)的零點就是方程的解，設，方程可化為，即或，求出的導數(shù)，利用導數(shù)得出函數(shù)的單調性和最值，由此可根據(jù)方程解的個數(shù)得出的范圍．【詳解】由題意得有四個大于的不等實根，記，則上述方程轉化為，即，所以或．因為，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；所以在處取得最小值，最小值為．因為，所以有兩個符合條件的實數(shù)解，故在區(qū)間上恰有四個不相等的零點，需且．故選：A．【點睛】本題考查復合函數(shù)的零點．考查轉化與化歸思想，函數(shù)零點轉化為方程的解，方程的解再轉化為研究函數(shù)的性質，本題考查了學生分析問題解決問題的能力．7、C【解析】

方法一：設，利用拋物線的定義判斷出是的中點，結合等腰三角形的性質求得點的橫坐標，根據(jù)拋物線的定義求得，進而求得.方法二：設出兩點的橫坐標，由拋物線的定義，結合求得的關系式，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，寫出韋達定理，由此求得，進而求得.【詳解】方法一：由題意得拋物線的準線方程為，直線恒過定點，過分別作于，于，連接，由，則，所以點為的中點，又點是的中點，則，所以，又所以由等腰三角形三線合一得點的橫坐標為，所以，所以．方法二：拋物線的準線方程為，直線由題意設兩點橫坐標分別為，則由拋物線定義得又①②由①②得.故選：C【點睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查直線和拋物線的位置關系，屬于中檔題.8、C【解析】

根據(jù)程序圖，當x<0時結束對x的計算，可得y值．【詳解】由題x=3，x=x-2=3-1，此時x>0繼續(xù)運行，x=1-2=-1<0，程序運行結束，得，故選C．【點睛】本題考查程序框圖，是基礎題．9、B【解析】

間接法求解，兩盆錦紫蘇不相鄰，被另3盆隔開有，扣除郁金香在兩邊有，即可求出結論.【詳解】使用插空法，先排盆虞美人、盆郁金香有種，然后將盆錦紫蘇放入到4個位置中有種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有，扣除郁金香在兩邊，排盆虞美人、盆郁金香有種，再將盆錦紫蘇放入到3個位置中有，根據(jù)分步計數(shù)原理有，所以共有種.故選:B.【點睛】本題考查排列應用問題、分步乘法計數(shù)原理，不相鄰問題插空法是解題的關鍵，屬于中檔題.10、A【解析】

先求出平移后的函數(shù)解析式，結合圖像的對稱性和得到A和.【詳解】因為關于軸對稱，所以，所以，的最小值是.，則，所以.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換及性質.平移圖像時需注意x的系數(shù)和平移量之間的關系.11、B【解析】

采用排除法：通過判斷函數(shù)的奇偶性排除選項A；通過判斷特殊點的函數(shù)值符號排除選項D和選項C即可求解.【詳解】對于選項A:由題意知,函數(shù)的定義域為，其關于原點對稱，因為,所以函數(shù)為奇函數(shù),其圖象關于原點對稱，故選A排除；對于選項D:因為,故選項D排除;對于選項C:因為,故選項C排除;故選:B【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和特殊點函數(shù)值符號判斷函數(shù)圖象;考查運算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點并判斷其函數(shù)值符號是求解本題的關鍵;屬于中檔題、?？碱}型.12、D【解析】

由題可知，可轉化為曲線與有兩個公共點，可轉化為方程有兩解，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)單調性，分析即得解【詳解】函數(shù)的圖象上兩點，關于直線的對稱點在上，即曲線與有兩個公共點，即方程有兩解，即有兩解，令，則，則當時，；當時，，故時取得極大值，也即為最大值，當時，；當時，，所以滿足條件．故選：D【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的零點，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)形結合，數(shù)學運算的能力，屬于較難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用余弦定理計算，然后根據(jù)平方關系以及三角形面積公式，可得結果.【詳解】設由題可知：由，，，所以化簡可得：則或，即或由，所以所以故答案為：【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形，仔細觀察，細心計算，屬基礎題.14、【解析】

先根據(jù)弦長，半徑，弦心距之間的關系列式求得，代入整理得，利用基本不等式求得最值.【詳解】解：圓的圓心為，則到直線的距離為，由直線截圓所得的弦長為可得，整理得，解得或(舍去)，令，又，當且僅當時,等號成立,則.故答案為：.【點睛】本題考查直線和圓的位置關系，考核基本不等式求最值，關鍵是對目標式進行變形，變成能用基本不等式求最值的形式，也可用換元法進行變形，是中檔題.15、【解析】

求導得到，討論和兩種情況，計算時，函數(shù)在上單調遞減，故，不符合，排除，得到答案?！驹斀狻恳驗椋?，因為，所以.當，即時，，則在上單調遞增，從而，故符合題意；當，即時，因為在上單調遞增，且，所以存在唯一的，使得.令，得，則在上單調遞減，從而，故不符合題意.綜上，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查了不等式恒成立問題，轉化為函數(shù)的最值問題是解題的關鍵.16、-1【解析】

由向量垂直得向量的數(shù)量積為0，根據(jù)數(shù)量積的坐標運算可得結論．【詳解】由已知，∵，∴，．故答案為：－1．【點睛】本題考查向量垂直的坐標運算．掌握向量垂直與數(shù)量積的關系是解題關鍵．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)首先求得導函數(shù)，然后結合導函數(shù)的解析式分類討論函數(shù)的單調性即可；(Ⅱ)將原問題進行等價轉化為，，恒成立，然后構造新函數(shù)，結合函數(shù)的性質確定實數(shù)的取值范圍即可．【詳解】解：(Ⅰ)當時，，當時，在上恒成立，函數(shù)在上單調遞減；當時，由得：；由得：．∴當時，函數(shù)的單調遞減區(qū)間是，無單調遞增區(qū)間：當時，函數(shù)的單調遞減區(qū)間是，函數(shù)的單調遞增區(qū)間是．(Ⅱ)對任意的和，恒成立等價于：，，恒成立．即，，恒成立．令：，，，則得，由此可得：在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，∴當時，，即又∵，∴實數(shù)的取值范圍是：．【點睛】本題主要考查導函數(shù)研究函數(shù)的單調性和恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學思想，等價轉化的數(shù)學思想等知識，屬于中等題．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析【解析】

（Ⅰ）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解即可.（Ⅱ）求導分析函數(shù)的單調性,并構造函數(shù)根據(jù)單調性分析可得只能在處取得最小值求解即可.（Ⅲ）根據(jù)（Ⅰ）（Ⅱ）的結論可知,在上恒成立,再分別設的解為、.再根據(jù)不等式的性質證明即可.【詳解】（Ⅰ）由題,故.且.故在點處的切線方程為.（Ⅱ）設恒成立,故.設函數(shù)則,故在上單調遞減且,又在上單調遞增.又,即且,故只能在處取得最小值,當時，此時,且在上,單調遞減.在上,單調遞增.故,滿足題意；當時，此時有解,且在上單調遞減,與矛盾；當時，此時有解,且在上單調遞減,與矛盾；故（Ⅲ）.由（Ⅰ）,在上單調遞減且,又在上單調遞增,故最多一根.又因為,,故設的解為,因為,故.所以在遞減,在遞增.因為方程有兩個實數(shù)根,故.結合（Ⅰ）（Ⅱ）有,在上恒成立.設的解為,則；設的解為,則.故,.故,得證.【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義以及根據(jù)函數(shù)的單調性與最值求解參數(shù)值的問題.同時也考查了構造函數(shù)結合前問的結論證明不等式的方法.屬于難題.19、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）利用導數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調性與極值，結合零點存在定理可得出結論；（2）設函數(shù)的極大值點和極小值點分別為、，由（1）知，，且滿足，，于是得出，由得，利用正切函數(shù)的單調性推導出，再利用正弦函數(shù)的單調性可得出結論.【詳解】（1），，，當時，，，，則函數(shù)在上單調遞增；當時，，，，則函數(shù)在上單調遞減；當時，，，，則函數(shù)在上單調遞增.，，，，.所以，函數(shù)在與不存在零點，在區(qū)間和上各存在一個零點.綜上所述，函數(shù)在區(qū)間上的零點的個數(shù)為；（2），.由（1）得，在區(qū)間與上存在零點，所以，函數(shù)在區(qū)間與上各存在一個極值點、，且，，且滿足即，，，又，即，，，，，由在上單調遞增，得，再由在上單調遞減，得，即.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點個數(shù)問題，同時也考查了利用導數(shù)證明不等式，考查分析問題和解決問題的能力，屬于難題.20、（1）；（2）【解析】

（1）利用正弦定理，轉化為，分析運算即得解；（2）由為的重心，得到，平方可得解c,由面積公式即得解.【詳解】（1）由，由正弦定理得C，即∴∵∴，又∵∴（2）由于為的重心故，∴解得或舍∴的面積為.【點睛】本題