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文檔簡介
2025屆湖南省校級聯(lián)考高三下學期聯(lián)合考試數(shù)學試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,且a?α,b?β,aβ,bα,則“ab“是“αβ”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.設為的兩個零點,且的最小值為1,則()A. B. C. D.3.已知,則下列關系正確的是()A. B. C. D.4.平行四邊形中,已知,,點、分別滿足,,且,則向量在上的投影為()A.2 B. C. D.5.設全集,集合,.則集合等于()A. B. C. D.6.已知為兩條不重合直線,為兩個不重合平面,下列條件中,的充分條件是()A.∥ B.∥C.∥∥ D.7.金庸先生的武俠小說《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié),“……洪七公道:肉只五種,但豬羊混咬是一般滋味,獐牛同嚼又是一般滋味,一共有幾般變化,我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉,任何兩種(含兩種)以上的肉混合后的滋味都不一樣,則混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為()A.20 B.24 C.25 D.268.已知四棱錐,底面ABCD是邊長為1的正方形,,平面平面ABCD,當點C到平面ABE的距離最大時,該四棱錐的體積為()A. B. C. D.19.已知,,分別是三個內(nèi)角,,的對邊,,則()A. B. C. D.10.已知集合,若,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.11.已知函數(shù)滿足,當時,,則()A.或 B.或C.或 D.或12.已知方程表示的曲線為的圖象,對于函數(shù)有如下結(jié)論:①在上單調(diào)遞減;②函數(shù)至少存在一個零點;③的最大值為;④若函數(shù)和圖象關于原點對稱,則由方程所確定;則正確命題序號為()A.①③ B.②③ C.①④ D.②④二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.根據(jù)如圖所示的偽代碼,若輸出的的值為,則輸入的的值為_______.14.在平面直角坐標系中,曲線在點處的切線與x軸相交于點A,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).若點,的面積為3,則的值是______.15.在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且,則________.16.在正方體中,分別為棱的中點,則直線與直線所成角的正切值為_________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)聯(lián)合國糧農(nóng)組織對某地區(qū)最近10年的糧食需求量部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:年份20102012201420162018需求量(萬噸)236246257276286(1)由所給數(shù)據(jù)可知,年需求量與年份之間具有線性相關關系,我們以“年份—2014”為橫坐標,“需求量”為縱坐標,請完成如下數(shù)據(jù)處理表格:年份—20140需求量—2570(2)根據(jù)回歸直線方程分析,2020年聯(lián)合國糧農(nóng)組織計劃向該地區(qū)投放糧食300萬噸,問是否能夠滿足該地區(qū)的糧食需求?參考公式:對于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:,.18.(12分)已知函數(shù)(1)若,求證:(2)若,恒有,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知{an}是一個公差大于0的等差數(shù)列,且滿足a3a5=45,a2+a6=1.(I)求{an}的通項公式;(Ⅱ)若數(shù)列{bn}滿足:…,求{bn}的前n項和.20.(12分)在如圖所示的多面體中,平面平面,四邊形是邊長為2的菱形,四邊形為直角梯形,四邊形為平行四邊形,且,,(1)若分別為,的中點,求證:平面;(2)若,與平面所成角的正弦值,求二面角的余弦值.21.(12分)已知數(shù)列滿足,,其前n項和為.(1)通過計算,,,猜想并證明數(shù)列的通項公式;(2)設數(shù)列滿足,,,若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列,求常數(shù)t的取值范圍.22.(10分)設函數(shù).(1)當時,求不等式的解集;(2)若存在,使得不等式對一切恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)面面平行的判定及性質(zhì)求解即可.【詳解】解:a?α,b?β,a∥β,b∥α,由a∥b,不一定有α∥β,α與β可能相交;反之,由α∥β,可得a∥b或a與b異面,∴a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,且a?α,b?β,a∥β,b∥α,則“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要條件.故選:D.【點睛】本題主要考查充分條件與必要條件的判斷,考查面面平行的判定與性質(zhì),屬于基礎題.2、A【解析】
先化簡已知得,再根據(jù)題意得出f(x)的最小值正周期T為1×2,再求出ω的值.【詳解】由題得,設x1,x2為f(x)=2sin(ωx﹣)(ω>0)的兩個零點,且的最小值為1,∴=1,解得T=2;∴=2,解得ω=π.故選A.【點睛】本題考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題,是基礎題.3、A【解析】
首先判斷和1的大小關系,再由換底公式和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷的大小即可.【詳解】因為,,,所以,綜上可得.故選:A【點睛】本題考查了換底公式和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎題.4、C【解析】
將用向量和表示,代入可求出,再利用投影公式可得答案.【詳解】解:,得,則向量在上的投影為.故選:C.【點睛】本題考查向量的幾何意義,考查向量的線性運算,將用向量和表示是關鍵,是基礎題.5、A【解析】
先算出集合,再與集合B求交集即可.【詳解】因為或.所以,又因為.所以.故選:A.【點睛】本題考查集合間的基本運算,涉及到解一元二次不等式、指數(shù)不等式,是一道容易題.6、D【解析】
根據(jù)面面垂直的判定定理,對選項中的命題進行分析、判斷正誤即可.【詳解】對于A,當,,時,則平面與平面可能相交,,,故不能作為的充分條件,故A錯誤;對于B,當,,時,則,故不能作為的充分條件,故B錯誤;對于C,當,,時,則平面與平面相交,,,故不能作為的充分條件,故C錯誤;對于D,當,,,則一定能得到,故D正確.故選:D.【點睛】本題考查了面面垂直的判斷問題,屬于基礎題.7、D【解析】
利用組合的意義可得混合后所有不同的滋味種數(shù)為,再利用組合數(shù)的計算公式可得所求的種數(shù).【詳解】混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為(種),故選:D.【點睛】本題考查組合的應用,此類問題注意實際問題的合理轉(zhuǎn)化,本題屬于容易題.8、B【解析】
過點E作,垂足為H,過H作,垂足為F,連接EF.因為平面ABE,所以點C到平面ABE的距離等于點H到平面ABE的距離.設,將表示成關于的函數(shù),再求函數(shù)的最值,即可得答案.【詳解】過點E作,垂足為H,過H作,垂足為F,連接EF.因為平面平面ABCD,所以平面ABCD,所以.因為底面ABCD是邊長為1的正方形,,所以.因為平面ABE,所以點C到平面ABE的距離等于點H到平面ABE的距離.易證平面平面ABE,所以點H到平面ABE的距離,即為H到EF的距離.不妨設,則,.因為,所以,所以,當時,等號成立.此時EH與ED重合,所以,.故選:B.【點睛】本題考查空間中點到面的距離的最值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查空間想象能力和運算求解能力,求解時注意輔助線及面面垂直的應用.9、C【解析】
原式由正弦定理化簡得,由于,可求的值.【詳解】解:由及正弦定理得.因為,所以代入上式化簡得.由于,所以.又,故.故選:C.【點睛】本題主要考查正弦定理解三角形,三角函數(shù)恒等變換等基礎知識;考查運算求解能力,推理論證能力,屬于中檔題.10、A【解析】
解一元二次不等式化簡集合的表示,求解函數(shù)的定義域化簡集合的表示,根據(jù)可以得到集合、之間的關系,結(jié)合數(shù)軸進行求解即可.【詳解】,.因為,所以有,因此有.故選:A【點睛】本題考查了已知集合運算的結(jié)果求參數(shù)取值范圍問題,考查了解一元二次不等式,考查了函數(shù)的定義域,考查了數(shù)學運算能力.11、C【解析】
簡單判斷可知函數(shù)關于對稱,然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,并計算,結(jié)合對稱性,可得結(jié)果.【詳解】由,可知函數(shù)關于對稱當時,,可知在單調(diào)遞增則又函數(shù)關于對稱,所以且在單調(diào)遞減,所以或,故或所以或故選:C【點睛】本題考查函數(shù)的對稱性以及單調(diào)性求解不等式,抽象函數(shù)給出式子的意義,比如:,,考驗分析能力,屬中檔題.12、C【解析】
分四類情況進行討論,然后畫出相對應的圖象,由圖象可以判斷所給命題的真假性.【詳解】(1)當時,,此時不存在圖象;(2)當時,,此時為實軸為軸的雙曲線一部分;(3)當時,,此時為實軸為軸的雙曲線一部分;(4)當時,,此時為圓心在原點,半徑為1的圓的一部分;畫出的圖象,由圖象可得:對于①,在上單調(diào)遞減,所以①正確;對于②,函數(shù)與的圖象沒有交點,即沒有零點,所以②錯誤;對于③,由函數(shù)圖象的對稱性可知③錯誤;對于④,函數(shù)和圖象關于原點對稱,則中用代替,用代替,可得,所以④正確.故選:C【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì),函數(shù)的圖象與性質(zhì),函數(shù)的零點概念,考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
算法的功能是求的值,根據(jù)輸出的值,分別求出當時和當時的值即可得解.【詳解】解:由程序語句知:算法的功能是求的值,當時,,可得:,或(舍去);當時,,可得:(舍去).綜上的值為:.故答案為:.【點睛】本題考查了選擇結(jié)構的程序語句,根據(jù)語句判斷算法的功能是解題的關鍵,屬于基礎題.14、【解析】
對求導,再根據(jù)點的坐標可得切線方程,令,可得點橫坐標,由的面積為3,求解即得.【詳解】由題,,切線斜率,則切線方程為,令,解得,又的面積為3,,解得.故答案為:【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的切線,難度不大.15、【解析】
利用正弦定理將邊化角,即可容易求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理可知,,即.故答案為:.【點睛】本題考查利用正弦定理實現(xiàn)邊角互化,屬基礎題.16、【解析】
由中位線定理和正方體性質(zhì)得,從而作出異面直線所成的角,在三角形中計算可得.【詳解】如圖,連接,,,∵分別為棱的中點,∴,又正方體中,即是平行四邊形,∴,∴,(或其補角)就是直線與直線所成角,是等邊三角形,∴=60°,其正切值為.故答案為:.【點睛】本題考查異面直線所成的角,解題關鍵是根據(jù)定義作出異面直線所成的角.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)能夠滿足.【解析】
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),結(jié)合以“年份—2014”為橫坐標,“需求量”為縱坐標的要求即可完成表格;(2)根據(jù)表中及所給公式可求得線性回歸方程,由線性回歸方程預測2020年的糧食需求量,即可作出判斷.【詳解】(1)由所給數(shù)據(jù)和已知條件,對數(shù)據(jù)處理表格如下:年份—2014024需求量—25701929(2)由題意可知,變量與之間具有線性相關關系,由(1)中表格可得,,,,.由上述計算結(jié)果可知,所求回歸直線方程為,利用回歸直線方程,可預測2020年的糧食需求量為:(萬噸),因為,故能夠滿足該地區(qū)的糧食需求.【點睛】本題考查了線性回歸直線的求法及預測應用,屬于基礎題.18、(1)見解析;(2)(﹣∞,0]【解析】
(1)利用導數(shù)求x<0時,f(x)的極大值為,即證(2)等價于k≤,x>0,令g(x)=,x>0,再求函數(shù)g(x)的最小值得解.【詳解】(1)∵函數(shù)f(x)=x2e3x,∴f′(x)=2xe3x+3x2e3x=x(3x+2)e3x.由f′(x)>0,得x<﹣或x>0;由f′(x)<0,得,∴f(x)在(﹣∞,﹣)內(nèi)遞增,在(﹣,0)內(nèi)遞減,在(0,+∞)內(nèi)遞增,∴f(x)的極大值為,∴當x<0時,f(x)≤(2)∵x2e3x≥(k+3)x+2lnx+1,∴k≤,x>0,令g(x)=,x>0,則g′(x),令h(x)=x2(1+3x)e3x+2lnx﹣1,則h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且x→0+時,h(x)→﹣∞,h(1)=4e3﹣1>0,∴存在x0∈(0,1),使得h(x0)=0,∴當x∈(0,x0)時,g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,當x∈(x0,+∞)時,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,∴g(x)在(0,+∞)上的最小值是g(x0)=,∵h(x0)=+2lnx0﹣1=0,所以,令,令所以=1,,∴g(x0)∴實數(shù)k的取值范圍是(﹣∞,0].【點睛】本題主要考查利用證明不等式,考查利用導數(shù)求最值和解答不等式的恒成立問題,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.19、(I);(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)設等差數(shù)列的公差為,則依題設.由,可得.由,得,可得.所以.可得.(Ⅱ)設,則.即,可得,且.所以,可知.所以,所以數(shù)列是首項為4,公比為2的等比數(shù)列.所以前項和.考點:等差數(shù)列通項公式、用數(shù)列前項和求數(shù)列通項公式.20、(1)見解析(2)【解析】試題分析:(1)第(1)問,轉(zhuǎn)化成證明平面,再轉(zhuǎn)化成證明和.(2)第(2)問,先利用幾何法找到與平面所成角,再根據(jù)與平面所成角的正弦值為求出再建立空間直角坐標系,求出二面角的余弦值.試題解析:(1)連接,因為四邊形為菱形,所以.因為平面平面,平面平面,平面,,所以平面.又平面,所以.因為,所以.因為,所以平面.因為分別為,的中點,所以,所以平面(2)設,由(1)得平面.由,,得,.過點作,與的延長線交于點,取的中點,連接,,如圖所示,又,所以為等邊三角形,所以,又平面平面,平面平面,平面,故平面.因為為平行四邊形,所以,所以平面.又因為,所以平面.因為,所以平面平面.由(1),得平面,所以平面,所以.因為,所以平面,所以是與平面所成角.因為,,所以平面,平面,因為,所以平面平
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