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文檔簡介
吉林省長春市重點名校2025屆高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)a=log73,,c=30.7,則a,b,c的大小關(guān)系是()A. B. C. D.2.設(shè)一個正三棱柱,每條棱長都相等,一只螞蟻從上底面的某頂點出發(fā),每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點,算一次爬行,若它選擇三個方向爬行的概率相等,若螞蟻爬行10次,仍然在上底面的概率為,則為()A. B.C. D.3.函數(shù)()的圖像可以是()A. B.C. D.4.一個四面體所有棱長都是4,四個頂點在同一個球上,則球的表面積為()A. B. C. D.5.已知集合M={y|y=2x,x>0},N={x|y=lg(2x-xA.(1,+∞) B.(1,2) C.[2,+∞) D.[1,+∞)6.三國時代吳國數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文,弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形,其面積稱為弦實.圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形,分別涂成紅(朱)色及黃色,其面積稱為朱實、黃實,利用,化簡,得.設(shè)勾股形中勾股比為,若向弦圖內(nèi)隨機拋擲顆圖釘(大小忽略不計),則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為()A. B. C. D.7.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體中的最長棱長為()A. B. C. D.8.某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護士共8人組成兩個醫(yī)療分隊,平均分到甲、乙兩個村進行義務(wù)巡診,其中每個分隊都必須有內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護士,則不同的分配方案有A.72種 B.36種 C.24種 D.18種9.馬林●梅森是17世紀法國著名的數(shù)學(xué)家和修道士,也是當(dāng)時歐洲科學(xué)界一位獨特的中心人物,梅森在歐幾里得、費馬等人研究的基礎(chǔ)上對2p﹣1作了大量的計算、驗證工作,人們?yōu)榱思o念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻,將形如2P﹣1(其中p是素數(shù))的素數(shù),稱為梅森素數(shù).若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是()A.3 B.4 C.5 D.610.已知圓與拋物線的準線相切,則的值為()A.1 B.2 C. D.411.已知函數(shù)的圖象如圖所示,則可以為()A. B. C. D.12.()A. B. C.1 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若x,y均為正數(shù),且,則的最小值為________.14.若函數(shù)(a>0且a≠1)在定義域[m,n]上的值域是[m2,n2](1<m<n),則a的取值范圍是_______.15.(5分)有一道描述有關(guān)等差與等比數(shù)列的問題:有四個和尚在做法事之前按身高從低到高站成一列,已知前三個和尚的身高依次成等差數(shù)列,后三個和尚的身高依次成等比數(shù)列,且前三個和尚的身高之和為cm,中間兩個和尚的身高之和為cm,則最高的和尚的身高是____________cm.16.若函數(shù)的圖像上存在點,滿足約束條件,則實數(shù)的最大值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)己知點,分別是橢圓的上頂點和左焦點,若與圓相切于點,且點是線段靠近點的三等分點.求橢圓的標準方程;直線與橢圓只有一個公共點,且點在第二象限,過坐標原點且與垂直的直線與圓相交于,兩點,求面積的取值范圍.18.(12分)在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,圓C的極坐標方程為.(1)求直線l的普通方程和圓C的直角坐標方程;(2)直線l與圓C交于A,B兩點,點P(2,1),求|PA|?|PB|的值.19.(12分)已知橢圓:的長半軸長為,點(為橢圓的離心率)在橢圓上.(1)求橢圓的標準方程;(2)如圖,為直線上任一點,過點橢圓上點處的切線為,,切點分別,,直線與直線,分別交于,兩點,點,的縱坐標分別為,,求的值.20.(12分)已知a>0,b>0,a+b=2.(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ)證明:21.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)已知,若,,,求的面積.22.(10分)已知函數(shù),(Ⅰ)當(dāng)時,證明;(Ⅱ)已知點,點,設(shè)函數(shù),當(dāng)時,試判斷的零點個數(shù).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
,,得解.【詳解】,,,所以,故選D【點睛】比較不同數(shù)的大小,找中間量作比較是一種常見的方法.2、D【解析】
由題意,設(shè)第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有兩條路,其概率為;②若上一步在下面,則第步不在上面的概率是.如果爬上來,其概率是,兩種事件又是互斥的,可得,根據(jù)求數(shù)列的通項知識可得選項.【詳解】由題意,設(shè)第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有兩條路,其概率為;②若上一步在下面,則第步不在上面的概率是.如果爬上來,其概率是,兩種事件又是互斥的,∴,即,∴,∴數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列,而,所以,∴當(dāng)時,,故選:D.【點睛】本題考查幾何體中的概率問題,關(guān)鍵在于運用遞推的知識,得出相鄰的項的關(guān)系,這是常用的方法,屬于難度題.3、B【解析】
根據(jù),可排除,然后采用導(dǎo)數(shù),判斷原函數(shù)的單調(diào)性,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,所以當(dāng)時,,又,令,則令,則所以函數(shù)在單調(diào)遞減在單調(diào)遞增,故選:B【點睛】本題考查函數(shù)的圖像,可從以下指標進行觀察:(1)定義域;(2)奇偶性;(3)特殊值;(4)單調(diào)性;(5)值域,屬基礎(chǔ)題.4、A【解析】
將正四面體補成正方體,通過正方體的對角線與球的半徑關(guān)系,求解即可.【詳解】解:如圖,將正四面體補形成一個正方體,正四面體的外接球與正方體的外接球相同,∵四面體所有棱長都是4,∴正方體的棱長為,設(shè)球的半徑為,則,解得,所以,故選:A.【點睛】本題主要考查多面體外接球問題,解決本題的關(guān)鍵在于,巧妙構(gòu)造正方體,利用正方體的外接球的直徑為正方體的對角線,從而將問題巧妙轉(zhuǎn)化,屬于中檔題.5、B【解析】M=y|y=N==x|∴M∩N=(1,2).故選B.6、A【解析】分析:設(shè)三角形的直角邊分別為1,,利用幾何概型得出圖釘落在小正方形內(nèi)的概率即可得出結(jié)論.解析:設(shè)三角形的直角邊分別為1,,則弦為2,故而大正方形的面積為4,小正方形的面積為.圖釘落在黃色圖形內(nèi)的概率為.落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為.故選:A.點睛:應(yīng)用幾何概型求概率的方法建立相應(yīng)的幾何概型,將試驗構(gòu)成的總區(qū)域和所求事件構(gòu)成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖形,并加以度量.(1)一般地,一個連續(xù)變量可建立與長度有關(guān)的幾何概型,只需把這個變量放在數(shù)軸上即可;(2)若一個隨機事件需要用兩個變量來描述,則可用這兩個變量的有序?qū)崝?shù)對來表示它的基本事件,然后利用平面直角坐標系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型;(3)若一個隨機事件需要用三個連續(xù)變量來描述,則可用這三個變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件,利用空間直角坐標系即可建立與體積有關(guān)的幾何概型.7、C【解析】
根據(jù)三視圖,可得該幾何體是一個三棱錐,并且平面SAC平面ABC,,過S作,連接BD,,再求得其它的棱長比較下結(jié)論.【詳解】如圖所示:由三視圖得:該幾何體是一個三棱錐,且平面SAC平面ABC,,過S作,連接BD,則,所以,,,,該幾何體中的最長棱長為.故選:C【點睛】本題主要考查三視圖還原幾何體,還考查了空間想象和運算求解的能力,屬于中檔題.8、B【解析】
根據(jù)條件2名內(nèi)科醫(yī)生,每個村一名,3名外科醫(yī)生和3名護士,平均分成兩組,則分1名外科,2名護士和2名外科醫(yī)生和1名護士,根據(jù)排列組合進行計算即可.【詳解】2名內(nèi)科醫(yī)生,每個村一名,有2種方法,3名外科醫(yī)生和3名護士,平均分成兩組,要求外科醫(yī)生和護士都有,則分1名外科,2名護士和2名外科醫(yī)生和1名護士,若甲村有1外科,2名護士,則有C3若甲村有2外科,1名護士,則有C3則總共的分配方案為2×(9+9)=2×18=36種,故選:B.【點睛】本題主要考查了分組分配問題,解決這類問題的關(guān)鍵是先分組再分配,屬于??碱}型.9、C【解析】
模擬程序的運行即可求出答案.【詳解】解:模擬程序的運行,可得:p=1,S=1,輸出S的值為1,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=3,S=7,輸出S的值為7,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=5,S=31,輸出S的值為31,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=7,S=127,輸出S的值為127,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=9,S=511,輸出S的值為511,此時,不滿足條件p≤7,退出循環(huán),結(jié)束,故若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是5,故選:C.【點睛】本題主要考查程序框圖,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
因為圓與拋物線的準線相切,則圓心為(3,0),半徑為4,根據(jù)相切可知,圓心到直線的距離等于半徑,可知的值為2,選B.【詳解】請在此輸入詳解!11、A【解析】
根據(jù)圖象可知,函數(shù)為奇函數(shù),以及函數(shù)在上單調(diào)遞增,且有一個零點,即可對選項逐個驗證即可得出.【詳解】首先對4個選項進行奇偶性判斷,可知,為偶函數(shù),不符合題意,排除B;其次,在剩下的3個選項,對其在上的零點個數(shù)進行判斷,在上無零點,不符合題意,排除D;然后,對剩下的2個選項,進行單調(diào)性判斷,在上單調(diào)遞減,不符合題意,排除C.故選:A.【點睛】本題主要考查圖象的識別和函數(shù)性質(zhì)的判斷,意在考查學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力,屬于容易題.12、A【解析】
利用復(fù)數(shù)的乘方和除法法則將復(fù)數(shù)化為一般形式,結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】,,因此,.故選:A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)模長的計算,同時也考查了復(fù)數(shù)的乘方和除法法則的應(yīng)用,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、4【解析】
由基本不等式可得,則,即可解得.【詳解】方法一:,當(dāng)且僅當(dāng)時取等.方法二:因為,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等.故答案為:.【點睛】本題考查基本不等式在求最小值中的應(yīng)用,考查學(xué)生對基本不等式的靈活使用,難度較易.14、(1,)【解析】
在定義域[m,n]上的值域是[m2,n2],等價轉(zhuǎn)化為與的圖像在(1,)上恰有兩個交點,考慮相切狀態(tài)可求a的取值范圍.【詳解】由題意知:與的圖像在(1,)上恰有兩個交點考查臨界情形:與切于,.故答案為:.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,把已知條件進行等價轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).15、【解析】
依題意設(shè)前三個和尚的身高依次為,第四個(最高)和尚的身高為,則,解得,又,解得,又因為成等比數(shù)列,則公比,故.16、1【解析】由題知x>0,且滿足約束條件的圖象為由圖可知當(dāng)與交于點B(2,1),當(dāng)直線過B點時,m取得最大值為1.點睛:線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化,即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是:一、準確無誤地作出可行域;二、畫標準函數(shù)所對應(yīng)的直線時,要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較,避免出錯;三、一般情況下,目標函數(shù)的最大或最小會在可行域的端點或邊界上取得.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、;.【解析】
連接,由三角形相似得,,進而得出,,寫出橢圓的標準方程;由得,,因為直線與橢圓相切于點,,解得,,因為點在第二象限,所以,,所以,設(shè)直線與垂直交于點,則是點到直線的距離,設(shè)直線的方程為,則,求出面積的取值范圍.【詳解】解:連接,由可得,,,橢圓的標準方程;由得,,因為直線與橢圓相切于點,所以,即,解得,,即點的坐標為,因為點在第二象限,所以,,所以,所以點的坐標為,設(shè)直線與垂直交于點,則是點到直線的距離,設(shè)直線的方程為,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時,有最大值,所以,即面積的取值范圍為.【點睛】本題考查直線和橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,利用基本不等式,屬于難題.18、(1)直線的普通方程,圓的直角坐標方程:.(2)【解析】
(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應(yīng)用,把參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉(zhuǎn)換.(2)將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標方程,利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式即可求解.【詳解】(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為x+y﹣3=0.圓C的極坐標方程為ρ2﹣4ρcosθ=3,轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為x2+y2﹣4x﹣3=0.(2)把直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入圓的直角坐標方程x2+y2﹣4x﹣3=0,得到,所以|PA||PB|=|t1t2|=6.【點睛】本題考查參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間的轉(zhuǎn)換,一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題型.19、(1);(2).【解析】
(1)因為點在橢圓上,所以,然后,利用,,得出,進而求解即可(2)設(shè)點的坐標為,直線的方程為,直線的方程為,分別聯(lián)立方程:和,利用韋達定理,再利用,,即可求出的值【詳解】(1)由橢圓的長半軸長為,得.因為點在橢圓上,所以.又因為,,所以,所以(舍)或.故橢圓的標準方程為.(2)設(shè)點的坐標為,直線的方程為,直線的方程為.據(jù)得.據(jù)題意,得,得,同理,得,所以.又可求,得,,所以.【點睛】本題考查橢圓標準方程的求解以及聯(lián)立方程求定值的問題,聯(lián)立方程求定值的關(guān)鍵在于利用韋達定理進行消參,屬于中檔題20、(Ⅰ)最小值為;(Ⅱ)見解析【解析】
(1)根據(jù)題意構(gòu)造平均值不等式,結(jié)合均值不等式可得結(jié)果;(2)利用分析法證明,結(jié)合常用不等式和均值不等式即可證明.【詳解】(Ⅰ)則當(dāng)且僅當(dāng),即,時,所以的最小值為.(Ⅱ)要證明:,只需證:
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