2024-2025學(xué)年廣東省肇慶市德慶縣高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題(含解析)_第1頁
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2024-2025學(xué)年廣東省肇慶市德慶縣高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題一?選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合,集合,則等于()A.B.C.D.2.已知圓錐的底面半徑為,其側(cè)面展開圖為一個半圓,則該圓錐的母線長為()A. B. C. D.3.在△ABC中,點D在邊AB上,.記,則 ()A. B.C.D.4.已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù),在區(qū)間上單調(diào)遞增,且對任意,均有成立,則下列函數(shù)中符合條件的是()A. B. C.D.5.已知圓柱的高為2,側(cè)面積為,若該圓柱的上、下底面圓周都在某一球的球面上,則該球的體積為(

)A. B. C. D.6.已知是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列,且,則的最大值為()A.10B.20C.25D.507.已知,則(

)A. B. C. D.8.已知是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)時,,若函數(shù)是偶函數(shù),則下列結(jié)論不正確的為(

)A. B.的最小正周期C.有4個零點 D.二、多選題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.設(shè)為復(fù)數(shù),.下列命題中正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則10.如圖是函數(shù)(,,)的部分圖像,則(

)A.的最小正周期為B.是的函數(shù)的一條對稱軸C.將函數(shù)的圖像向右平移個單位后,得到的函數(shù)為奇函數(shù)D.若函數(shù)()在上有且僅有兩個零點,則11.如圖,在棱長為2的正方體中,M,N,P分別是,,的中點,Q是線段上的動點,則(

)A.存在點Q,使B,N,P,Q四點共面 B.存在點Q,使平面MBNC.三棱錐P-MBN的體積為D.經(jīng)過C,M,B,N四點的球的表面積為三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.記為等比數(shù)列的前項和,若,,則____13.曲線在x=1處的切線的傾斜角為α,則的值為__________14.已知若函數(shù)有兩個零點,則的取值范圍為________四、解答題:本題共5小題,共77分.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(本小題滿分13分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,滿足a=2cosB(bcosC+ccosB).(1)求B;(2)已知點D在邊AC上,且BD是∠ABC的平分線,BD=2,求a+c的最小值.16.(本小題滿分15分)如圖,在三棱柱中,側(cè)面是菱形,且.(1)證明:;(2)若,,求二面角的余弦值.17.(本小題滿分15分)已知函數(shù).(1)求的極值;(2)對任意,不等式恒成立,求的取值范圍.18.(本小題滿分17分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知Sn=2an-n+1.(1)證明:數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列;(2)若數(shù)列{bn}滿足b1=a2,bn+1=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an,n為奇數(shù),,an-bn,n為偶數(shù),)求數(shù)列{bn}的前項的和.19.(本小題滿分17分)記、分別為函數(shù),的導(dǎo)函數(shù).若存在滿足且,則稱為函數(shù)與的一個“S點”.(1)證明:函數(shù)與不存在“S點”;(2)若函數(shù)與存在“S點”,求實數(shù)的值(3)已知函數(shù),對任意,判斷是否存在,使得函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“S點”,并說明理由.數(shù)學(xué)答案一?選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.1.【正確答案】A解析:集合,則。2.【正確答案】B【詳解】設(shè)圓錐的母線長為,由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長,則,解得.3.【正確答案】D解析:因點D在邊AB上,,所以,即,所以.4.【正確答案】B【詳解】對于A:,故A錯誤;對于B:,又定義域為全體實數(shù),它關(guān)于原點對稱,且,即函數(shù)是定義域為的偶函數(shù),當(dāng)時,單調(diào)遞增,滿足題意.對于C:,故不是偶函數(shù),故C錯誤;對于D:,故D錯誤;5.【正確答案】A由圓柱側(cè)面積,解得,因為圓柱的上、下底面圓周都在某一球的球面上,所以球心在圓柱高的中點處,設(shè)球半徑為,則由,所以6.【正確答案】C解:由得,即,由基本不等式得,當(dāng)且時,等號成立。7.【正確答案】C【詳解】由,得,即,所以,所以,所以.8.【正確答案】D對于A:由題意可得:,解得,故A正確;對于B:∵是偶函數(shù),則,則,又∵為奇函數(shù),則,可得,∴fx+4=?fx+2=??fx=fx,則的最小正周期,故B正確;對C:令,則,注意到此時,分別作出的圖象,由圖象可知:有4個交點,故有4個零點,故C正確;對D:∵,則,可得,故D不正確.故選:D.二、多選題:本題共3小題,每小題6分,共18分.9.【正確答案】BC【詳解】由復(fù)數(shù)模的概念可知,不能得到,例如,A錯誤;由可得,因為,所以,即,B正確;因為,,而,所以,所以,C正確;取,顯然滿足,但,D錯誤.故選:BC10.【正確答案】AD【詳解】由圖像可知,,,即,故A正確;,此時,又在圖像上,,解得,,,,,當(dāng)是函數(shù)的一條對稱軸時,此時不符合題意,故B錯誤;將的圖象向右平移個單位后得到的圖象對應(yīng)的解析式為:不為奇函數(shù),故C錯誤;令,解得,當(dāng)時,,不合題意時,;時,;時,;又因為函數(shù)在上有且僅有兩個零點,解得,故D正確.故選:AD.11.【正確答案】ABC【詳解】如圖,在正方體中,連接,,因為N,P分別是,的中點,所以,又因為,所以,所以,B,N,P四點共面,即當(dāng)Q與重合時,B,N,P,Q四點共面,故選項A正確;連接PQ,,當(dāng)Q是的中點時,因為,,所以,因為平面BMN,平面BMN,所以平面BMN,故選項B正確;連接,,,因為,所以,故選項C正確;分別取,的中點E,F(xiàn),構(gòu)造長方體MADF-EBCN,則經(jīng)過C,M,B,N四點的球即為長方體MADF-EBCN的外接球,設(shè)所求外接球的直徑為2R,則長方體MADF-EBCN的體對角線即為所求的球的直徑,即,所以經(jīng)過C,M,B,N四點的球的表面積為,故選項D錯誤.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.答案:解析:設(shè)等比數(shù)列公比為,由已知得:,∴∴,所以13.答案:解析:依題意,y′=1x+2x2,所以tan所以cos2α+π2=-sin2α=-2sinα14.【正確答案】當(dāng)時,,則,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減.所以時,.當(dāng)時,,則,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減.所以時,.畫出函數(shù)的圖象如圖所示:因為函數(shù)有兩個零點,所以與的圖象有兩個交點,由圖可知或.所以的取值范圍為.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.解:(1)由正弦定理得........................1分sinA=2cosB(sinBcosC+sinCcosB)=2cosBsinA,.........................3分因為sinA≠0,所以cosB=eq\f(1,2),.............................................4分又B∈(0,π),所以B=eq\f(π,3)..............................................5分(2)因為BD是∠ABC的平分線,所以∠ABD=∠CBD=eq\f(π,6),.............................................6分又S△ABC=S△BCD+S△ABD,所以eq\f(1,2)acsineq\f(π,3)=eq\f(1,2)a·2·sineq\f(π,6)+eq\f(1,2)c·2·sineq\f(π,6),.............................................8分化簡得eq\f(\r(3),2)ac=a+c,所以eq\f(1,a)+eq\f(1,c)=eq\f(\r(3),2),............................................10分所以a+c=eq\f(2,\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)+\f(1,c))(a+c)=eq\f(2,\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(c,a)+\f(a,c)+1)≥eq\f(2,\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+1+2\r(\f(c,a)·\f(a,c))=eq\f(8\r(3),3)..............................12分當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(c,a)=eq\f(a,c)時,等號成立,即a+c的最小值為eq\f(8\r(3),3)..............................................13分16.解:(1)設(shè),連接.因為側(cè)面是菱形,所以,.............1分又因為,所以.....................2分又,.....................3分所以,.....................4分又,所以......................5分(2)因為,所以,由(1)知,則....................6分設(shè).如圖,以為原點,分別以方向為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,....................7分則,,,,因為,易得.,,....................10分(或者不求的坐標(biāo),利用也可得出的坐標(biāo))設(shè)是面的一個法向量,則即,可取...................12分設(shè)是面的一個法向量,則即,可取...................14分,所以二面角的余弦值為...................15分17.解:(1)的定義域為....................1分當(dāng)時,恒成立,此時單調(diào)遞增,無極值;...................2分當(dāng)時,令,得....................3分故當(dāng)時,單調(diào)遞減;當(dāng)時,單調(diào)遞增,...................5分此時在處取到極小值,無極大值....................6分(2)方法一:對任意時,恒成立,即恒成立....................7分令,則..................9分令,則,...................10分即在區(qū)間上單調(diào)遞減,又,...................11分所以當(dāng)時,,即,此時單調(diào)遞增;...................12分當(dāng)時,,即,此時單調(diào)遞減,...................13分所以....................14分所以,即的取值范圍為....................15分方法二:由(1)知,當(dāng)時,在區(qū)間上單調(diào)遞增....................7分因為,所以不符合題意;...................8分當(dāng)時,當(dāng)時單調(diào)遞減,當(dāng)時單調(diào)遞增.對任意時,恒成立,即,即....................10分令在區(qū)間上單調(diào)遞增.又所以;...................12分當(dāng)時,在區(qū)間上單調(diào)遞減...................13分所以,符合題意;...................14分綜上,的取值范圍為....................15分18.解析:(1)證明:當(dāng)n=1,得S1=a1=2a1-1+1,解得a1=0...................1分由題意Sn=2an-n+1①得:則Sn+1=2an+1-(n+1)+1②,...................2分②-①,得an+1=2an+1-2an-1,...................3分即an+1=2an+1,...................4分所以an+1+1=2(an+1),即eq\f(an+1+1,an+1)=2....................5分又因為a1+1=1,...................6分所以{an+1}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列....................7分(2)由(1)知an+1=2n-1,則an=2n-1-1,...................9分所以bn+1=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2n-1-1,n為奇數(shù),,2n-1-1-bn,n為偶數(shù),)...................10分且b1=a2=22-1-1=1,

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