2024-2025學年黑龍江省哈爾濱市高三上學期期中考試數(shù)學檢測試卷（含解析）

2024-2025學年黑龍江省哈爾濱市高三上學期期中考試數(shù)學檢測試卷第Ⅰ卷選擇題（68分）一、單項選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分，每小題只有1個選項符合題意。1．集合A=yy=x2,x∈RA．? B．R C．0,1 D．?2．已知復數(shù)z=2i1?iA．z=2 B．zC．z在復平面對應(yīng)的點位于第三象限 D．z3．設(shè)向量a=x+1,x,A．“x=?3”是“a⊥b”的必要條件 B．“x=?3”是“C．“x=0”是“a⊥b”的充分條件 D．“x=?1+34．設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足a1<0，S7=A．10 B．12 C．15 D．245．若tan(α+π4)=?3,tanA．?1 B．75 C．35 6．已知函數(shù)fx=ex?1exA．1,+∞ B．?∞,?2 C．?7．將函數(shù)fx=cosωx+φω>0,φ<π2的圖象向左平移πA．fx在區(qū)間2π3,πC．f12>f8．已知圓C的方程為(x?1)2+(y?1)2=2，點P在直線y=x+3上，線段AB為圓C的直徑，則A．2 B．52 C．3 D．9．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)=2x?1?1,0<x≤212A．?4 B．4 C．8 D．?4或810．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足f(x)+f(3?x)=4,f(x)的導函數(shù)為g(x)，函數(shù)y=g(1+3x)?1為奇函數(shù)，則f3A．?3 B．3 C．?1 D．1二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，每小題給出的4個選項中有多項符合題目要求。全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分。11．已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A．a(chǎn)2+bC．log2a+log12．等差數(shù)列an中，a1>0A．若a3+B．若S15>0，SC．若a1+a2D．若a8=S1013．窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為2，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．BGB．AD在AB向量上的投影向量為2C．若OA?FC=1+2D．若P在線段BC上，且AP=xAB+yAH第=2\*ROMANII卷非選擇題（82分）三、填空題：本題共3小題，每小題6分，共18分。14．函數(shù)f(x)=x3?2lnx15．設(shè)函數(shù)fx=sinωx+π6ω>016．設(shè)A,B,C是一個三角形的三個內(nèi)角，則cosA3sin四、解答題：本題共4小題，共64分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．（16分）已知向量m=3sinx2,sinx2(1)求常數(shù)a的值；(2)求函數(shù)fx18．（16分）已知函數(shù)f(x)=ln(1)討論fx(2)當a<0，證明：f(x)≤?219．（16分）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a，b，c，滿足1?sin(1)求證：A+2B=π(2)求a220．（16分）歐拉（1707-1783），他是數(shù)學史上最多產(chǎn)的數(shù)學家之一，他發(fā)現(xiàn)并證明了歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ，從而建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，若將其中的θ取作π就得到了歐拉恒等式eiπ+1=0，它是令人著迷的一個公式，它將數(shù)學里最重要的幾個量聯(lián)系起來，兩個超越數(shù)——自然對數(shù)的底數(shù)e，圓周率π(1)將復數(shù)eπ3i+eπi表示成(2)求eπ(3)若zn=1，則z=zkk=0,1,2,?,n?1，這里zk=cos2kπn+isin2kπ高三期中數(shù)學解析一、單選題1．集合A=yy=x2,x∈RA．? B．R C．0,1 D．?【正確答案】C【分析】化簡集合A,B，根據(jù)交集的定義計算A∩B．【詳解】因為集合A=y|y=化簡B=x|y=1?x,故選：C．2．已知復數(shù)z=2i1?A．z=2 B．zC．z在復平面對應(yīng)的點位于第三象限 D．z【正確答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則，化簡得到z=?1+i【詳解】由復數(shù)z=2對于A中，由z=對于B中，復數(shù)z=?1+i的虛部為1對于C中，復數(shù)z=?1+i在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z(?1,1)對于D中，復數(shù)z=?1+i的共軛復數(shù)為z故選：A.3．設(shè)向量a=x+1,x,A．“x=?3”是“a⊥b”的必要條件 B．“x=?3”是“C．“x=0”是“a⊥b”的充分條件 D．“x=?1+3【正確答案】C【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標表示即可得到方程，解出即可.【詳解】對A，當a⊥b時，則所以x?(x+1)+2x=0，解得x=0或?3，即必要性不成立，故A錯誤；對C，當x=0時，a=1,0,所以a⊥對B，當a//b時，則2(x+1)=x對D，當x=?1+3時，不滿足2(x+1)=x2故選：C.4．設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足a1<0，S7=A．10 B．12 C．15 D．24【正確答案】B【分析】根據(jù)前n項和的定義結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)可得a12+a【詳解】因為S7=S又因為數(shù)列an為等差數(shù)列，則a可得5a12+且a1<0，可知即當n≤12時，an<0；當n≥13時，所以當Sn取得最小值時，n故選：B.5．若tan(α+π4)=?3,tanA．?1 B．75 C．35 【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用和角的正切公式求出tanα【詳解】由tan(α+π4)=?3，得tanα+1所以cos(α?β)故選：B6．已知函數(shù)fx=ex?1exA．1,+∞ B．?∞,?2 C．?【正確答案】C【分析】先用定義法證明fx為奇函數(shù)，化簡f(x)解析式可知f(x)【詳解】因為f?x=e又因為fx所以fx為R因為fm2+f所以fm又fx為R上的增函數(shù)，所以m即m2+m?2>0，解得m<?2或所以實數(shù)m的取值范圍為?∞故選：C.7．將函數(shù)fx=cosωx+φω>0,φ<π2的圖象向左平移πA．fx在區(qū)間2π3,πC．f12>f【正確答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移變換原則可知gx=cosωx+π3ω+φ；根據(jù)圖象、gx的對稱軸和對稱中心可確定最小正周期T，從而得到ω；由gx【詳解】由題意知：gx由圖象可知：T4<π3，則∴T=4×0+π4∵gx為奇函數(shù)，∴解得：φ=?π6+kπk∈Z，又φ對于A，當x∈2π3,π時，2x?π對于B，fπ對于C，f12=∵y=cosx在0,π2上單調(diào)遞減，對于D，f?1=cos∵y=cosx在π2∴0>cos2+π6>故選：D.8．已知圓C的方程為(x?1)2+(y?1)2=2，點P在直線y=x+3上，線段ABA．2 B．52 C．3 D．【正確答案】B將PA?PB轉(zhuǎn)化為|PC|2【詳解】PA?PB=(PC+本小題主要考查向量的線性運算，考查點到直線距離公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.9．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)=2x?1?1,0<x≤212A．?4 B．4 C．8 D．?4或8【正確答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式作出函數(shù)在x≥0時圖象，換元f(x)=t解方程可得t=a或t=1，利用圖象求出交點對應(yīng)橫坐標，注意利用函數(shù)為奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，分t=a=12與【詳解】作出函數(shù)在x≥0時的圖象，如圖所示，

設(shè)f(x)=t，則關(guān)于x的方程[f(x)]2?(a+1)f(x)+a=0(a∈解得：t=a或t=1，如圖，

當t=1時，即f(x)=1對應(yīng)一個交點為x1（1）t=a=12，即f(x)=1此時4個實數(shù)根之和為8；（2）t=a=?12，即f(x)=?1此時4個實數(shù)根之和為?4.故選：D解決此類問題的關(guān)鍵有兩點，第一換元后對方程等價轉(zhuǎn)化求解t=a或t=1，第二結(jié)合函數(shù)圖象處理方程f(x)=t有四個根，即要轉(zhuǎn)化為數(shù)形結(jié)合，看圖象交點的個數(shù)及橫坐標即可求解.10．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足f(x)+f(3?x)=4,f(x)的導函數(shù)為g(x)，函數(shù)y=g(1+3x)?1為奇函數(shù)，則f32+gA．?3 B．3 C．?1 D．1【正確答案】B【分析】根據(jù)題意，利用賦值法分析f32的值，對f(x)+f(3?x)=4求導，結(jié)合g(x)的對稱性分析g(x)的周期，分析求出【詳解】根據(jù)題意，f(x)滿足f(x)+f(3?x)=4，令x=32可得：f3又由f(x)+f(3?x)=4，兩邊同時求導可得：f′(x)?f因為函數(shù)y=g(1+3x)?1為奇函數(shù)，所以g(1?3x)?1=?[g(1+3x)?1]=?g(1+3x)+1，即，g(1?3x)+g(1+3x)=2所以g(x)的圖象關(guān)于點(1,1)對稱，則有g(shù)(x)+g(2?x)=2②，且g(1)=1，聯(lián)立①②可得：g(3?x)+g(2?x)=2，變形可得g(x)+g(x+1)=2，則有g(shù)(x+1)+g(x+2)=2，綜合可得：g(x+2)=g(x)，即函數(shù)g(x)是周期為2的周期函數(shù)，所以g(2024)=g(2)=g(1)=1，故f3故選：B.關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)的奇偶性和對稱性，涉及導數(shù)的計算，解題的關(guān)鍵在于利用導數(shù)、奇偶性求解函數(shù)g(x)的周期.二、多選題11．已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A．a(chǎn)2+bC．log2a+log【正確答案】ABD【分析】根據(jù)a+b=1，結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識進行求解.【詳解】對于A，a2+b當且僅當a=b=1對于B，a?b=2a?1>?1，所以2a?b對于C，log2當且僅當a=b=1對于D，因為a+所以a+b≤故選：ABD本題主要考查不等式的性質(zhì)，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).12．等差數(shù)列an中，a1>0A．若a3+B．若S15>0，SC．若a1+a2D．若a8=S10【正確答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)、前n項和公式逐項分析判斷即得.【詳解】等差數(shù)列an中，a對于A，a3+a對于B，S15=15(a1則a8+a9<0，a對于C，a5+a對于D，設(shè)an的公差為d，由a8=S10則S9=9a故選：ACD13．窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為2，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．BGB．AD在AB向量上的投影向量為2C．若OA?FC=1+2D．若P在線段BC上，且AP=xAB+yAH【正確答案】BD【分析】以AE為y軸，GC為x軸建立直角坐標系，計算各點坐標，計算BG≠2AH，A錯誤，投影向量為22【詳解】如圖所示：以AE為y軸，GC為x軸建立直角坐標系，設(shè)OA=OB=OC=OD=OE=OF=OG=OH=a，則2=a2+A0,?aG?a,0，H?2對選項A：BG=?a?22a,對選項B：AD=D22AD?ABAB對選項C：OA?PA?OA?FC=1+2對選項D：AP=x0,yAP=xAB+y整理得到x+y=y0+aa?2故選：CD關(guān)鍵點睛：本題考查了向量的運算，投影向量，意在考查學生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中建立直角坐標系，將向量運算轉(zhuǎn)化為坐標運算，可以減少計算量，是解題的關(guān)鍵.三、填空題14．函數(shù)f(x)=x3?2lnx【正確答案】x?y=0【分析】根據(jù)題意，由導數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可知，f1=1，則切點為1,1，因為f′所以fx在點1,1處的切線斜率為1，則切線方程為y?1=1?x?1故x?y=015．設(shè)函數(shù)fx=sinωx+π6ω>0【正確答案】7【分析】利用正弦函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可.【詳解】x∈0,π，則f(x)在區(qū)間0,π恰有三個極值點，兩個零點，則5π解得73故7316．設(shè)A,B,C是一個三角形的三個內(nèi)角，則cosA3sin【正確答案】?【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦公式、輔助角公式、結(jié)合換元法得到ft【詳解】cos=cos令3+4cos所以cosA要想cosA3sinB+4sin于是有a2設(shè)fA因為cosA<0所以f令cosA=t?1<t<0，即當?1<t<?2536時，f′當?2536<t<0時，f因此當t=?2536時，函數(shù)ft所以fA的最小值為?此時cosA=?2536即存在tanθ=6712>1,θ∈π即cosA3sin故?關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用三角形內(nèi)角和定理把三個變量變成二個變量問題，最后利用輔助角公式就成一個變量，利用導數(shù)的性質(zhì)求最值.四、解答題17．已知向量m=3sinx2,sinx2(1)求常數(shù)a的值；(2)求函數(shù)fx【正確答案】(1)3(2)2π【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積運算、二倍角和輔助角公式可化簡fx，根據(jù)正弦型函數(shù)最大值可構(gòu)造方程求得a（2）采用整體代換的方式，構(gòu)造不等式π2【詳解】（1）∵m∴fx=2sinx?π6（2）由（1）知：fx令π2+2kπ∴fx的單調(diào)遞減區(qū)間為2π318．已知函數(shù)f(x)=ln(1)討論fx(2)當a<0，證明：f(x)≤?2【正確答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求導后對其導函數(shù)進行通分再對其分子因式分解，分類討論a≥0與a<0時f(x)的單調(diào)性即可.（2）求出f(x)max，將所證轉(zhuǎn)化為fx【詳解】（1）∵f(x)=lnx+ax則f′①當a≥0時，f′x>0，f②當a<0時，當x∈0,?1a時，f′x當x∈?1a,+∞時，f綜上，①當a≥0時，fx在0,+②當a<0時，fx在0,?1a上單調(diào)遞增，在（2）由（1）可得，當a<0時，f(x)要證fx只需證fx即證ln?令t=?1a，gt當t∈0,1時，g′t當t∈1,+∞時，g′∴gt的最大值為g1=0∴l(xiāng)n?∴原命題得證.即：當a<0時，fx≤?19．△ABC的內(nèi)