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文檔簡介
2025屆福建省漳州市東山第二中學(xué)高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,則,,的大小關(guān)系為()A. B.C. D.2.已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為,點(diǎn)是雙曲線上與不重合的動(dòng)點(diǎn),若,則雙曲線的離心率為()A. B. C.4 D.23.集合的子集的個(gè)數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.84.已知函數(shù),,其中為自然對數(shù)的底數(shù),若存在實(shí)數(shù),使成立,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.5.已知不同直線、與不同平面、,且,,則下列說法中正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則6.某個(gè)命題與自然數(shù)有關(guān),且已證得“假設(shè)時(shí)該命題成立,則時(shí)該命題也成立”.現(xiàn)已知當(dāng)時(shí),該命題不成立,那么()A.當(dāng)時(shí),該命題不成立 B.當(dāng)時(shí),該命題成立C.當(dāng)時(shí),該命題不成立 D.當(dāng)時(shí),該命題成立7.如圖,在平面四邊形中,滿足,且,沿著把折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置,且使,則三棱錐體積的最大值為()A.12 B. C. D.8.已知,則()A. B. C. D.9.國務(wù)院發(fā)布《關(guān)于進(jìn)一步調(diào)整優(yōu)化結(jié)構(gòu)、提高教育經(jīng)費(fèi)使用效益的意見》中提出,要優(yōu)先落實(shí)教育投入.某研究機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了年至年國家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)投入情況及其在中的占比數(shù)據(jù),并將其繪制成下表,由下表可知下列敘述錯(cuò)誤的是()A.隨著文化教育重視程度的不斷提高,國在財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)的支出持續(xù)增長B.年以來,國家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)的支出占比例持續(xù)年保持在以上C.從年至年,中國的總值最少增加萬億D.從年到年,國家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)的支出增長最多的年份是年10.函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.11.已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),,若不等式有解,則的取值范圍是()A. B.C. D.12.設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),曲線與直線相交,若存在相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為,則可取到的最大值為__________.14.在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)在拋物線上,則實(shí)數(shù)的值為________.15.在中,內(nèi)角的對邊長分別為,已知,且,則_________.16.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,,且,成等差數(shù)列,則___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列,其前項(xiàng)和為,且為與的等差中項(xiàng).(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;(2)設(shè),求的前100項(xiàng)和.18.(12分)在世界讀書日期間,某地區(qū)調(diào)查組對居民閱讀情況進(jìn)行了調(diào)查,獲得了一個(gè)容量為200的樣本,其中城鎮(zhèn)居民140人,農(nóng)村居民60人.在這些居民中,經(jīng)常閱讀的城鎮(zhèn)居民有100人,農(nóng)村居民有30人.(1)填寫下面列聯(lián)表,并判斷能否有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān)?城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計(jì)經(jīng)常閱讀10030不經(jīng)常閱讀合計(jì)200(2)從該地區(qū)城鎮(zhèn)居民中,隨機(jī)抽取5位居民參加一次閱讀交流活動(dòng),記這5位居民中經(jīng)常閱讀的人數(shù)為,若用樣本的頻率作為概率,求隨機(jī)變量的期望.附:,其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819.(12分)設(shè),,其中.(1)當(dāng)時(shí),求的值;(2)對,證明:恒為定值.20.(12分)已知函數(shù),它的導(dǎo)函數(shù)為.(1)當(dāng)時(shí),求的零點(diǎn);(2)當(dāng)時(shí),證明:.21.(12分)已知,分別是橢圓:的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,且拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).(1)求,的值:(2)過點(diǎn)作不與軸重合的直線,設(shè)與圓相交于A,B兩點(diǎn),且與橢圓相交于C,D兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),求△的面積.22.(10分)已知橢圓:,不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于,兩點(diǎn).(Ⅰ)若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,求直線的方程;(Ⅱ)若直線過點(diǎn),點(diǎn)滿足(,分別為直線,的斜率),求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)題意,得,,則為減函數(shù),從而得出函數(shù)的單調(diào)性,可比較和,而,比較,即可比較.【詳解】因?yàn)?,且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,所以,,所以函數(shù)為減函數(shù),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又因?yàn)椋?,又,,則|,即,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,還考查化簡能力和轉(zhuǎn)化思想.2、D【解析】
設(shè),,,根據(jù)可得①,再根據(jù)又②,由①②可得,化簡可得,即可求出離心率.【詳解】解:設(shè),,,∵,∴,即,①又,②,由①②可得,∵,∴,∴,∴,即,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì),考查了斜率的計(jì)算,離心率的求法,屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題.3、D【解析】
先確定集合中元素的個(gè)數(shù),再得子集個(gè)數(shù).【詳解】由題意,有三個(gè)元素,其子集有8個(gè).故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查子集的個(gè)數(shù)問題,含有個(gè)元素的集合其子集有個(gè),其中真子集有個(gè).4、A【解析】令f(x)﹣g(x)=x+ex﹣a﹣1n(x+1)+4ea﹣x,令y=x﹣ln(x+1),y′=1﹣=,故y=x﹣ln(x+1)在(﹣1,﹣1)上是減函數(shù),(﹣1,+∞)上是增函數(shù),故當(dāng)x=﹣1時(shí),y有最小值﹣1﹣0=﹣1,而ex﹣a+4ea﹣x≥4,(當(dāng)且僅當(dāng)ex﹣a=4ea﹣x,即x=a+ln1時(shí),等號成立);故f(x)﹣g(x)≥3(當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柾瑫r(shí)成立時(shí),等號成立);故x=a+ln1=﹣1,即a=﹣1﹣ln1.故選:A.5、C【解析】
根據(jù)空間中平行關(guān)系、垂直關(guān)系的相關(guān)判定和性質(zhì)可依次判斷各個(gè)選項(xiàng)得到結(jié)果.【詳解】對于,若,則可能為平行或異面直線,錯(cuò)誤;對于,若,則可能為平行、相交或異面直線,錯(cuò)誤;對于,若,且,由面面垂直的判定定理可知,正確;對于,若,只有當(dāng)垂直于的交線時(shí)才有,錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查空間中線面關(guān)系、面面關(guān)系相關(guān)命題的辨析,關(guān)鍵是熟練掌握空間中的平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相關(guān)命題.6、C【解析】
寫出命題“假設(shè)時(shí)該命題成立,則時(shí)該命題也成立”的逆否命題,結(jié)合原命題與逆否命題的真假性一致進(jìn)行判斷.【詳解】由逆否命題可知,命題“假設(shè)時(shí)該命題成立,則時(shí)該命題也成立”的逆否命題為“假設(shè)當(dāng)時(shí)該命題不成立,則當(dāng)時(shí)該命題也不成立”,由于當(dāng)時(shí),該命題不成立,則當(dāng)時(shí),該命題也不成立,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查逆否命題與原命題等價(jià)性的應(yīng)用,解題時(shí)要寫出原命題的逆否命題,結(jié)合逆否命題的等價(jià)性進(jìn)行判斷,考查邏輯推理能力,屬于中等題.7、C【解析】
過作于,連接,易知,,從而可證平面,進(jìn)而可知,當(dāng)最大時(shí),取得最大值,取的中點(diǎn),可得,再由,求出的最大值即可.【詳解】在和中,,所以,則,過作于,連接,顯然,則,且,又因?yàn)?,所以平面,所以,?dāng)最大時(shí),取得最大值,取的中點(diǎn),則,所以,因?yàn)?,所以點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上(不在左右頂點(diǎn)),其中長軸長為10,焦距長為8,所以的最大值為橢圓的短軸長的一半,故最大值為,所以最大值為,故的最大值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐體積的最大值,考查學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算求解能力,屬于中檔題.8、D【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,即當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)單調(diào)遞增,當(dāng)?shù)讛?shù)大于零小于1時(shí)單調(diào)遞減,對選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可得到正確答案.【詳解】因?yàn)?,所以,所以是減函數(shù),又因?yàn)?,所以,,所以,,所以A,B兩項(xiàng)均錯(cuò);又,所以,所以C錯(cuò);對于D,,所以,故選D.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查的是應(yīng)用不等式的性質(zhì)和指對函數(shù)的單調(diào)性比較大小,兩個(gè)式子比較大小的常用方法有:做差和0比,作商和1比,或者直接利用不等式的性質(zhì)得到大小關(guān)系,有時(shí)可以代入一些特殊的數(shù)據(jù)得到具體值,進(jìn)而得到大小關(guān)系.9、C【解析】
觀察圖表,判斷四個(gè)選項(xiàng)是否正確.【詳解】由表易知、、項(xiàng)均正確,年中國為萬億元,年中國為萬億元,則從年至年,中國的總值大約增加萬億,故C項(xiàng)錯(cuò)誤.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表,正確認(rèn)識圖表是解題基礎(chǔ).10、C【解析】
顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),由的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),則,即可求解.【詳解】由題,顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),因?yàn)榈囊粋€(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),所以,即,解得,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
先求導(dǎo)得(),由于函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),,轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根,根據(jù),,,求出的取值范圍,而有解,通過分裂參數(shù)法和構(gòu)造新函數(shù),通過利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、最值,即可得出的取值范圍.【詳解】由題可得:(),因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),,所以方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根,于是有解得.若不等式有解,所以因?yàn)?設(shè),,故在上單調(diào)遞增,故,所以,所以的取值范圍是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值來求參數(shù)取值范圍,以及運(yùn)用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)法,還考查分析和計(jì)算能力,有一定的難度.12、C【解析】
在A中,與相交或平行;在B中,或;在C中,由線面垂直的判定定理得;在D中,與平行或.【詳解】設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,則:在A中,若,,則與相交或平行,故A錯(cuò)誤;在B中,若,,則或,故B錯(cuò)誤;在C中,若,,則由線面垂直的判定定理得,故C正確;在D中,若,,則與平行或,故D錯(cuò)誤.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,是中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、4【解析】
由于曲線與直線相交,存在相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為,所以函數(shù)的周期,可得到的取值范圍,再由解出的兩類不同的值,然后列方程求出,再結(jié)合的取值范圍可得的最大值.【詳解】,可得,由,則或,即或,由題意得,所以,則或,所以可取到的最大值為4.故答案為:4【點(diǎn)睛】此題考查正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)的應(yīng)用及三角方程的求解,熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,考查了推理能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.14、【解析】
求出雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)坐標(biāo),并將該交點(diǎn)代入拋物線的方程,即可求出實(shí)數(shù)的方程.【詳解】雙曲線的半焦距為,則雙曲線的右準(zhǔn)線方程為,漸近線方程為,所以,該雙曲線右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)為.由題意得,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用拋物線上的點(diǎn)求參數(shù),涉及到雙曲線的準(zhǔn)線與漸近線方程的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.15、4【解析】∵∴根據(jù)正弦定理與余弦定理可得:,即∵∴∵∴故答案為416、【解析】
利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)和等比數(shù)列通項(xiàng)公式得到關(guān)于的方程,解方程求出代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可.【詳解】因?yàn)?,成等差?shù)列,所以,由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得,,所以,解得或,因?yàn)?,所以,所以等比?shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)和等比數(shù)列通項(xiàng)公式;考查運(yùn)算求解能力和知識綜合運(yùn)用能力;熟練掌握等差中項(xiàng)和等比數(shù)列通項(xiàng)公式是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)利用已知條件化簡出,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),再利用進(jìn)行化簡,得出,即可證明出為等差數(shù)列;(2)根據(jù)(1)中,求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,再化簡出,可直接求出的前100項(xiàng)和.【詳解】解:(1)由題意知,即,①當(dāng)時(shí),由①式可得;又時(shí),有,代入①式得,整理得,∴是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.(2)由(1)可得,∵是各項(xiàng)都為正數(shù),∴,∴,又,∴,則,,即:.∴的前100項(xiàng)和.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用,通項(xiàng)公式的求法以及裂項(xiàng)相消法求和,考查分析解題能力和計(jì)算能力.18、(1)見解析,有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān).(2)【解析】
(1)根據(jù)題意填寫列聯(lián)表,利用公式求出,比較與6.635的大小得結(jié)論;(2)由樣本數(shù)據(jù)可得經(jīng)常閱讀的人的概率是,則,根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算可得;【詳解】解:(1)由題意可得:城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計(jì)經(jīng)常閱讀10030130不經(jīng)常閱讀403070合計(jì)14060200則,所以有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān).(2)根據(jù)樣本估計(jì),從該地區(qū)城鎮(zhèn)居民中隨機(jī)抽取1人,抽到經(jīng)常閱讀的人的概率是,且,所以隨機(jī)變量的期望為.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用,考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)1(2)1【解析】分析:(1)當(dāng)時(shí)可得,可得.(2)先得到關(guān)系式,累乘可得,從而可得,即為定值.詳解:(1)當(dāng)時(shí),,又,所以.(2)即,由累乘可得,又,所以.即恒為定值1.點(diǎn)睛:本題考查組合數(shù)的有關(guān)運(yùn)算,解題時(shí)要注意所給出的的定義,并結(jié)合組合數(shù)公式求解.由于運(yùn)算量較大,解題時(shí)要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性,避免出現(xiàn)錯(cuò)誤.20、(1)見解析;(2)證明見解析.【解析】
當(dāng)時(shí),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,計(jì)算即為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),分類討論x的范圍,可令新函數(shù),計(jì)算新函數(shù)的最值可證明.【詳解】(1)的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),,,易知為上的增函數(shù),又,所以是的唯一零點(diǎn);(2)
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