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文檔簡介
江西省贛州三中2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)的圖象可能為()A. B.C. D.2.要得到函數(shù)的圖像,只需把函數(shù)的圖像()A.向左平移個單位 B.向左平移個單位C.向右平移個單位 D.向右平移個單位3.函數(shù)的圖象如圖所示,則它的解析式可能是()A. B.C. D.4.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,線段B1D1上有兩個動點E、F且EF=,則下列結(jié)論中錯誤的是()A.AC⊥BE B.EF平面ABCDC.三棱錐A-BEF的體積為定值 D.異面直線AE,BF所成的角為定值5.已知,是函數(shù)圖像上不同的兩點,若曲線在點,處的切線重合,則實數(shù)的最小值是()A. B. C. D.16.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),當(dāng)x∈[﹣3,﹣2]時,f(x)=﹣x﹣2,則()A. B.f(sin3)<f(cos3)C. D.f(2020)>f(2019)7.記等差數(shù)列的公差為,前項和為.若,,則()A. B. C. D.8.給出下列四個命題:①若“且”為假命題,則﹑均為假命題;②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角;③若命題,,則命題,;④設(shè)集合,,則“”是“”的必要條件;其中正確命題的個數(shù)是()A. B. C. D.9.函數(shù)的大致圖象為()A. B.C. D.10.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一問題:“今有鱉臑(biēnaò),下廣五尺,無袤;上袤四尺,無廣;高七尺.問積幾何?”該幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體外接球的表面積為()A.平方尺 B.平方尺C.平方尺 D.平方尺11.若復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則的共軛復(fù)數(shù)的模為()A. B.4 C.2 D.12.計算等于()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列滿足:,,若對任意的正整數(shù)均有,則實數(shù)的最大值是_____.14.已知,,是平面向量,是單位向量.若,,且,則的取值范圍是________.15.已知等邊三角形的邊長為1.,點、分別為線段、上的動點,則取值的集合為__________.16.角α的頂點在坐標(biāo)原點,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊經(jīng)過點P(1,2),則sin(π﹣α)的值是_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若滿足,,,求.18.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為.且經(jīng)過點(1,),A,B分別為橢圓C的左、右頂點,過左焦點F的直線l交橢圓C于D,E兩點(其中D在x軸上方).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若△AEF與△BDF的面積之比為1:7,求直線l的方程.19.(12分)已知數(shù)列為公差為d的等差數(shù)列,,,且,,依次成等比數(shù)列,.(1)求數(shù)列的前n項和;(2)若,求數(shù)列的前n項和為.20.(12分)如圖,在四棱錐中,平面平面,.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)若銳二面角的余弦值為,求直線與平面所成的角.21.(12分)已知等差數(shù)列中,,數(shù)列的前項和.(1)求;(2)若,求的前項和.22.(10分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2–a–lnx,g(x)=,其中a∈R,e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù).(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;(Ⅱ)證明:當(dāng)x>1時,g(x)>0;(Ⅲ)確定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
先根據(jù)是奇函數(shù),排除A,B,再取特殊值驗證求解.【詳解】因為,所以是奇函數(shù),故排除A,B,又,故選:C【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
運用輔助角公式將兩個函數(shù)公式進行變形得以及,按四個選項分別對變形,整理后與對比,從而可選出正確答案.【詳解】解:.對于A:可得.故選:A.【點睛】本題考查了三角函數(shù)圖像平移變換,考查了輔助角公式.本題的易錯點有兩個,一個是混淆了已知函數(shù)和目標(biāo)函數(shù);二是在平移時,忘記乘了自變量前的系數(shù).3、B【解析】
根據(jù)定義域排除,求出的值,可以排除,考慮排除.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象得定義域為,所以不合題意;選項,計算,不符合函數(shù)圖象;對于選項,與函數(shù)圖象不一致;選項符合函數(shù)圖象特征.故選:B【點睛】此題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇合適的解析式,主要利用函數(shù)性質(zhì)分析,常見方法為排除法.4、D【解析】
A.通過線面的垂直關(guān)系可證真假;B.根據(jù)線面平行可證真假;C.根據(jù)三棱錐的體積計算的公式可證真假;D.根據(jù)列舉特殊情況可證真假.【詳解】A.因為,所以平面,又因為平面,所以,故正確;B.因為,所以,且平面,平面,所以平面,故正確;C.因為為定值,到平面的距離為,所以為定值,故正確;D.當(dāng),,取為,如下圖所示:因為,所以異面直線所成角為,且,當(dāng),,取為,如下圖所示:因為,所以四邊形是平行四邊形,所以,所以異面直線所成角為,且,由此可知:異面直線所成角不是定值,故錯誤.故選:D.【點睛】本題考查立體幾何中的綜合應(yīng)用,涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計算,難度較難.注意求解異面直線所成角時,將直線平移至同一平面內(nèi).5、B【解析】
先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出在兩點處的切線方程,再利用兩直線斜率相等且縱截距相等,列出關(guān)系樹,從而得出,令函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出最小值,即可選出正確答案.【詳解】解:當(dāng)時,,則;當(dāng)時,則.設(shè)為函數(shù)圖像上的兩點,當(dāng)或時,,不符合題意,故.則在處的切線方程為;在處的切線方程為.由兩切線重合可知,整理得.不妨設(shè)則,由可得則當(dāng)時,的最大值為.則在上單調(diào)遞減,則.故選:B.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查了推理論證能力,考查了函數(shù)與方程、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法.本題的難點是求出和的函數(shù)關(guān)系式.本題的易錯點是計算.6、B【解析】
根據(jù)函數(shù)的周期性以及x∈[﹣3,﹣2]的解析式,可作出函數(shù)f(x)在定義域上的圖象,由此結(jié)合選項判斷即可.【詳解】由f(x+2)=f(x),得f(x)是周期函數(shù)且周期為2,先作出f(x)在x∈[﹣3,﹣2]時的圖象,然后根據(jù)周期為2依次平移,并結(jié)合f(x)是偶函數(shù)作出f(x)在R上的圖象如下,選項A,,所以,選項A錯誤;選項B,因為,所以,所以f(sin3)<f(﹣cos3),即f(sin3)<f(cos3),選項B正確;選項C,,所以,即,選項C錯誤;選項D,,選項D錯誤.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運用,考查函數(shù)值的大小比較,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.7、C【解析】
由,和,可求得,從而求得和,再驗證選項.【詳解】因為,,所以解得,所以,所以,,,故選:C.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式、前項和公式,還考查運算求解能力,屬于中檔題.8、B【解析】
①利用真假表來判斷,②考慮內(nèi)角為,③利用特稱命題的否定是全稱命題判斷,④利用集合間的包含關(guān)系判斷.【詳解】若“且”為假命題,則﹑中至少有一個是假命題,故①錯誤;當(dāng)內(nèi)角為時,不是象限角,故②錯誤;由特稱命題的否定是全稱命題知③正確;因為,所以,所以“”是“”的必要條件,故④正確.故選:B.【點睛】本題考查命題真假的問題,涉及到“且”命題、特稱命題的否定、象限角、必要條件等知識,是一道基礎(chǔ)題.9、A【解析】
利用特殊點的坐標(biāo)代入,排除掉C,D;再由判斷A選項正確.【詳解】,排除掉C,D;,,,.故選:A.【點睛】本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問題,代入特殊點,采用排除法求解是解決這類問題的一種常用方法,屬于中檔題.10、A【解析】
根據(jù)三視圖得出原幾何體的立體圖是一個三棱錐,將三棱錐補充成一個長方體,此長方體的外接球就是該三棱錐的外接球,由球的表面積公式計算可得選項.【詳解】由三視圖可得,該幾何體是一個如圖所示的三棱錐,為三棱錐外接球的球心,此三棱錐的外接球也是此三棱錐所在的長方體的外接球,所以為的中點,設(shè)球半徑為,則,所以外接球的表面積,故選:A.【點睛】本題考查求幾何體的外接球的表面積,關(guān)鍵在于由幾何體的三視圖得出幾何體的立體圖,找出外接球的球心位置和半徑,屬于中檔題.11、D【解析】
由復(fù)數(shù)的綜合運算求出,再寫出其共軛復(fù)數(shù),然后由模的定義計算模.【詳解】,.故選:D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算,考查共軛復(fù)數(shù)與模的定義,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】
利用誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值,結(jié)合對數(shù)運算,求得所求表達式的值.【詳解】原式.故選:A【點睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式,考查對數(shù)運算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】
根據(jù)遞推公式可考慮分析,再累加求出關(guān)于關(guān)于參數(shù)的關(guān)系,根據(jù)表達式的取值分析出,再用數(shù)學(xué)歸納法證明滿足條件即可.【詳解】因為,累加可得.若,注意到當(dāng)時,,不滿足對任意的正整數(shù)均有.所以.當(dāng)時,證明:對任意的正整數(shù)都有.當(dāng)時,成立.假設(shè)當(dāng)時結(jié)論成立,即,則,即結(jié)論對也成立.由數(shù)學(xué)歸納法可知,對任意的正整數(shù)都有.綜上可知,所求實數(shù)的最大值是2.故答案為:2【點睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推公式求解參數(shù)最值的問題,需要根據(jù)遞推公式累加求解,同時注意結(jié)合參數(shù)的范圍問題進行分析.屬于難題.14、【解析】
先由題意設(shè)向量的坐標(biāo),再結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算及不等式可得解.【詳解】由是單位向量.若,,設(shè),則,,又,則,則,則,又,所以,(當(dāng)或時取等)即的取值范圍是,,故答案為:,.【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.15、【解析】
根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)三角形各點的坐標(biāo),依題意求出,,,的表達式,再進行數(shù)量積的運算,最后求和即可得出結(jié)果.【詳解】解:以的中點為坐標(biāo)原點,所在直線為軸,線段的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則,,,,則,,,設(shè),,,即點的坐標(biāo)為,則,,,所以故答案為:【點睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)表示和線性運算,以及平面向量基本定理和數(shù)量積的運算,是中檔題.16、【解析】
計算sinα,再利用誘導(dǎo)公式計算得到答案.【詳解】由題意可得x=1,y=2,r,∴sinα,∴sin(π﹣α)=sinα.故答案為:.【點睛】本題考查了三角函數(shù)定義,誘導(dǎo)公式,意在考查學(xué)生的計算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)化簡得到,取,解得答案.(2),解得,根據(jù)余弦定理得到,再用一次余弦定理解得答案.【詳解】(1).取,解得.(2),因為,故,.根據(jù)余弦定理:,..【點睛】本題考查了三角恒等變換,三角函數(shù)單調(diào)性,余弦定理,意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.18、(1)(2).【解析】
(1)利用離心率和橢圓經(jīng)過的點建立方程組,求解即可.(2)把面積之比轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)之間的關(guān)系,聯(lián)立方程結(jié)合韋達定理可求.【詳解】解:(1)設(shè)焦距為2c,由題意知:;解得,所以橢圓的方程為.(2)由(1)知:F(﹣1,0),設(shè)l:,D(,),E(,),<0<①,,,②;③;由①②得:,,代入③得:,又,故,因此,直線l的方程為.【點睛】本題主要考查橢圓方程的求解及橢圓中的面積問題,橢圓方程一般利用待定系數(shù)法,建立方程組進行求解,面積問題的合理轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).19、(1)(2)【解析】
(1)利用等差數(shù)列的通項公式以及等比中項求出公差,從而求出,再利用等比數(shù)列的前項和公式即可求解.(2)由(1)求出,再利用裂項求和法即可求解.【詳解】(1),且,,依次成等比數(shù)列,,即:,,,,,;(2),.【點睛】本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的前項和公式、裂項求和法,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.20、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由余弦定理解得,即可得到,由面面垂直的性質(zhì)可得平面,即可得到,從而得證;(Ⅱ)在平面中,過點作于點,則平面,如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),其中,利用空間向量法得到二面角的余弦,即可得到的關(guān)系,從而得解;【詳解】解:(Ⅰ)證明:在中,,解得,則,從而因為平面平面,平面平面所以平面,又因為平面,所以,因為,,平面,平面,所以平面;(Ⅱ)解:在平面中,過點作于點,則平面,如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),其中,則設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則又平面的一個法向量,則從而,故則直線與平面所成的角為,大小為.【點睛】本題考查線面垂直的判定,面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用,利用空間向量法解決立體幾何問題,屬于中檔題.21、(1),;(2).【解析】
(1)由條件得出方程組,可求得的通項,當(dāng)時,,可得,當(dāng)時,,得出是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,可求得的通項;(2)由(1)可知,,分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)分別求得.【詳解】(1)由條件知,,,當(dāng)時,,即,當(dāng)時,,是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,;(2)由(1)可知,,當(dāng)n為偶數(shù)時,當(dāng)n為奇數(shù)時,綜上,【點睛】本題考查等差數(shù)
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