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文檔簡介
江西省南城縣二中2025屆高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,且,,成等差數(shù)列,則公比的值為(
)A. B. C.或 D.或2.已知不等式組表示的平面區(qū)域的面積為9,若點(diǎn),則的最大值為()A.3 B.6 C.9 D.123.在直角坐標(biāo)平面上,點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程,點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程則的取值范圍是()A. B. C. D.4.在展開式中的常數(shù)項(xiàng)為A.1 B.2 C.3 D.75.已知函數(shù),若關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.6.一個(gè)封閉的棱長為2的正方體容器,當(dāng)水平放置時(shí),如圖,水面的高度正好為棱長的一半.若將該正方體繞下底面(底面與水平面平行)的某條棱任意旋轉(zhuǎn),則容器里水面的最大高度為()A. B. C. D.7.已知盒中有3個(gè)紅球,3個(gè)黃球,3個(gè)白球,且每種顏色的三個(gè)球均按,,編號(hào),現(xiàn)從中摸出3個(gè)球(除顏色與編號(hào)外球沒有區(qū)別),則恰好不同時(shí)包含字母,,的概率為()A. B. C. D.8.若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足,則公比()A.1 B.2 C.3 D.49.已知為拋物線的準(zhǔn)線,拋物線上的點(diǎn)到的距離為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,則的最小值是()A. B.4 C.2 D.10.如圖所示,三國時(shí)代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖,給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直角三角形及一個(gè)小正方形(陰影),設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲500顆米粒(米粒大小忽略不計(jì),取),則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為()A.134 B.67 C.182 D.10811.如圖,在四邊形中,,,,,,則的長度為()A. B.C. D.12.已知我市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖和如圖所示,為了解該小區(qū)戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度,用分層抽樣的方法抽取的戶主進(jìn)行調(diào)查,則樣本容量和抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)分別為A.240,18 B.200,20C.240,20 D.200,18二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.現(xiàn)有5人要排成一排照相,其中甲與乙兩人不相鄰,且甲不站在兩端,則不同的排法有____種.(用數(shù)字作答)14.已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,若,則的最小值為________.15.若點(diǎn)在直線上,則的值等于______________.16.點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)且在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自△PBC內(nèi)的概率是____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知.(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若,,證明:.18.(12分)已知在中,a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊,且.(1)求角A的值;(2)若,設(shè)角,周長為y,求的最大值.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,曲線C的方程為.以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出曲線C的極坐標(biāo)方程,并求出直線l與曲線C的交點(diǎn)M,N的極坐標(biāo);(2)設(shè)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求面積的最大值.20.(12分)已知函數(shù),,使得對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù),都有恒成立.(1)求的解析式;(2)若方程有兩個(gè)實(shí)根,且,求證:.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn),為定點(diǎn),點(diǎn)為的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,且,設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)過點(diǎn)的直線交曲線于,兩點(diǎn),為曲線上異于,的任意一點(diǎn),直線,分別交直線于,兩點(diǎn).問是否為定值?若是,求的值;若不是,請(qǐng)說明理由.22.(10分)如圖,已知正方形所在平面與梯形所在平面垂直,BM∥AN,,,.(1)證明:平面;(2)求點(diǎn)N到平面CDM的距離.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
由成等差數(shù)列得,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式展開即可得到公比q的方程.【詳解】由題意,∴2aq2=aq+a,∴2q2=q+1,∴q=1或q=故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等差等比數(shù)列的綜合,利用等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程求q是解題的關(guān)鍵,對(duì)于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式也要熟練.2、C【解析】
分析:先畫出滿足約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用平面區(qū)域的面積為9求出,然后分析平面區(qū)域多邊形的各個(gè)頂點(diǎn),即求出邊界線的交點(diǎn)坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)求得最大值.詳解:作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示:則,所以平面區(qū)域的面積,解得,此時(shí),由圖可得當(dāng)過點(diǎn)時(shí),取得最大值9,故選C.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題,在求解的過程中,首先需要正確畫出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域,之后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的形式,判斷z的幾何意義,之后畫出一條直線,上下平移,判斷哪個(gè)點(diǎn)是最優(yōu)解,從而聯(lián)立方程組,求得最優(yōu)解的坐標(biāo),代入求值,要明確目標(biāo)函數(shù)的形式大體上有三種:斜率型、截距型、距離型;根據(jù)不同的形式,應(yīng)用相應(yīng)的方法求解.3、B【解析】
由點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程,可得在圓上,由坐標(biāo)滿足方程,可得在圓上,則求出兩圓內(nèi)公切線的斜率,利用數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程,在圓上,在坐標(biāo)滿足方程,在圓上,則作出兩圓的圖象如圖,設(shè)兩圓內(nèi)公切線為與,由圖可知,設(shè)兩圓內(nèi)公切線方程為,則,圓心在內(nèi)公切線兩側(cè),,可得,,化為,,即,,的取值范圍,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的斜率、直線與圓的位置關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于綜合題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法,尤其在解決選擇題、填空題時(shí)發(fā)揮著奇特功效,大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是正確作出曲線圖象,充分利用數(shù)形結(jié)合的思想方法能夠使問題化難為簡,并迎刃而解.4、D【解析】
求出展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)及含的項(xiàng),問題得解。【詳解】展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)及含的項(xiàng)分別為:,,所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為:.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理中展開式的通項(xiàng)公式及轉(zhuǎn)化思想,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題。5、C【解析】
求導(dǎo),先求出在單增,在單減,且知設(shè),則方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,再利用一元二次方程根的分布條件列不等式組求解可得.【詳解】依題意,,令,解得,,故當(dāng)時(shí),,當(dāng),,且,故方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,故,解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查確定函數(shù)零點(diǎn)或方程根個(gè)數(shù).其方法:(1)構(gòu)造法:構(gòu)造函數(shù)(易求,可解),轉(zhuǎn)化為確定的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題求解,利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值,并確定定義區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)(或變化趨勢(shì))等,畫出的圖象草圖,數(shù)形結(jié)合求解;(2)定理法:先用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn),然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值符號(hào),進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).6、B【解析】
根據(jù)已知可知水面的最大高度為正方體面對(duì)角線長的一半,由此得到結(jié)論.【詳解】正方體的面對(duì)角線長為,又水的體積是正方體體積的一半,且正方體繞下底面(底面與水平面平行)的某條棱任意旋轉(zhuǎn),所以容器里水面的最大高度為面對(duì)角線長的一半,即最大水面高度為,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的幾何特征,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
首先求出基本事件總數(shù),則事件“恰好不同時(shí)包含字母,,”的對(duì)立事件為“取出的3個(gè)球的編號(hào)恰好為字母,,”,記事件“恰好不同時(shí)包含字母,,”為,利用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算可得;【詳解】解:從9個(gè)球中摸出3個(gè)球,則基本事件總數(shù)為(個(gè)),則事件“恰好不同時(shí)包含字母,,”的對(duì)立事件為“取出的3個(gè)球的編號(hào)恰好為字母,,”記事件“恰好不同時(shí)包含字母,,”為,則.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式,考查了排列組合的知識(shí),解答的關(guān)鍵在于正確理解題意,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
由正項(xiàng)等比數(shù)列滿足,即,又,即,運(yùn)算即可得解.【詳解】解:因?yàn)?,所以,又,所以,又,解?故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列基本量的求法,屬基礎(chǔ)題.9、B【解析】
設(shè)拋物線焦點(diǎn)為,由題意利用拋物線的定義可得,當(dāng)共線時(shí),取得最小值,由此求得答案.【詳解】解:拋物線焦點(diǎn),準(zhǔn)線,過作交于點(diǎn),連接由拋物線定義,
,
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),取“=”號(hào),∴的最小值為.
故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.10、B【解析】
根據(jù)幾何概型的概率公式求出對(duì)應(yīng)面積之比即可得到結(jié)論.【詳解】解:設(shè)大正方形的邊長為1,則小直角三角形的邊長為,
則小正方形的邊長為,小正方形的面積,
則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為,
故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型的概率的應(yīng)用,求出對(duì)應(yīng)的面積之比是解決本題的關(guān)鍵.11、D【解析】
設(shè),在中,由余弦定理得,從而求得,再由由正弦定理得,求得,然后在中,用余弦定理求解.【詳解】設(shè),在中,由余弦定理得,則,從而,由正弦定理得,即,從而,在中,由余弦定理得:,則.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.12、A【解析】
利用統(tǒng)計(jì)圖結(jié)合分層抽樣性質(zhì)能求出樣本容量,利用條形圖能求出抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù).【詳解】樣本容量為:(150+250+400)×30%=240,∴抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)為:故選A.【點(diǎn)睛】本題考查樣本容量和抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意統(tǒng)計(jì)圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、36【解析】
先優(yōu)先考慮甲、乙兩人不相鄰的排法,在此條件下,計(jì)算甲不排在兩端的排法,最后相減即可得到結(jié)果.【詳解】由題意得5人排成一排,甲、乙兩人不相鄰,有種排法,其中甲排在兩端,有種排法,則6人排成一排,甲、乙兩人不相鄰,且甲不排在兩端,共有(種)排法.所以本題答案為36.【點(diǎn)睛】排列、組合問題由于其思想方法獨(dú)特,計(jì)算量龐大,對(duì)結(jié)果的檢驗(yàn)困難,所以在解決這類問題時(shí)就要遵循一定的解題原則,如特殊元素、位置優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等,只有這樣我們才能有明確的解題方向.同時(shí)解答組合問題時(shí)必須心思細(xì)膩、考慮周全,這樣才能做到不重不漏,正確解題.14、40【解析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為,根據(jù),可得,因?yàn)?,根?jù)均值不等式,即可求得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,,,等比數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù),,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取得最小值.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求數(shù)列值的最值問題,解題關(guān)鍵是掌握等比數(shù)列通項(xiàng)公式和靈活使用均值不等式,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.15、【解析】
根據(jù)題意可得,再由,即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,得,又,解得,當(dāng)時(shí),則,此時(shí);當(dāng)時(shí),則,此時(shí),綜上,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式和同角的三角函數(shù)的關(guān)系,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
設(shè)是中點(diǎn),根據(jù)已知條件判斷出三點(diǎn)共線且是線段靠近的三等分點(diǎn),由此求得,結(jié)合幾何概型求得點(diǎn)取自三角形的概率.【詳解】設(shè)是中點(diǎn),因?yàn)?,所以,所以三點(diǎn)共線且點(diǎn)是線段靠近的三等分點(diǎn),故,所以此點(diǎn)取自內(nèi)的概率是.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查三點(diǎn)共線的向量表示,考查幾何概型概率計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)見證明【解析】
(1)利用零點(diǎn)分段法討論去掉絕對(duì)值求解;(2)利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明.【詳解】(1)解:當(dāng)時(shí),不等式可化為.當(dāng)時(shí),,,所以;當(dāng)時(shí),,.所以不等式的解集是.(2)證明:由,,得,,,又,所以,即.【點(diǎn)睛】本題主要考查含有絕對(duì)值不等式問題的求解,含有絕對(duì)值不等式的解法一般是使用零點(diǎn)分段討論法.18、(1);(2).【解析】
(1)利用正弦定理,結(jié)合題中條件,可以得到,之后應(yīng)用余弦定理即可求得;(2)利用正弦定理求得,求出三角形的周長,利用三角函數(shù)的最值求解即可.【詳解】(1)由已知可得,結(jié)合正弦定理可得,∴,又,∴.(2)由,及正弦定理得,∴,,故,即,由,得,∴當(dāng),即時(shí),.【點(diǎn)睛】該題主要考查的是有關(guān)解三角形的問題,解題的關(guān)鍵是掌握正余弦定理,屬于簡單題目.19、(1),,;(2).【解析】
(1)利用公式即可求得曲線的極坐標(biāo)方程;聯(lián)立直線和曲線的極坐標(biāo)方程,即可求得交點(diǎn)坐標(biāo);(2)設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)的參數(shù)形式,將問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值的問題即可求得.【詳解】(1)曲線的極坐標(biāo)方程:聯(lián)立,得,又因?yàn)槎紳M足兩方程,故兩曲線的交點(diǎn)為,.(2)易知,直線.設(shè)點(diǎn),則點(diǎn)到直線的距離(其中).面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的相互轉(zhuǎn)化,涉及利用橢圓的參數(shù)方程求面積的最值問題,屬綜合中檔題.20、(1);(2)證明見解析.【解析】
(1)根據(jù)題意,在上單調(diào)遞減,求導(dǎo)得,分類討論的單調(diào)性,結(jié)合題意,得出的解析式;(2)由為方程的兩個(gè)實(shí)根,得出,,兩式相減,分別算出和,利用換元法令和構(gòu)造函數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,求出,即可證出結(jié)論.【詳解】(1)根據(jù)題意,對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù),都有恒成立.則在上單調(diào)遞減,因?yàn)?,?dāng)時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞減.,當(dāng)時(shí),由,有,此時(shí),當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,綜上,,所以.(2)由為方程的兩個(gè)實(shí)根,得,兩式相減,可得,因此,令,由,得,則,構(gòu)造函數(shù).則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,故,即,可知,故,命題得證.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的解析式、以及利用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式,考查轉(zhuǎn)化思想、解題分析
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