2025屆廣西蒙山縣一中高三第三次測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆廣西蒙山縣一中高三第三次測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在三棱錐中，，，P在底面ABC內(nèi)的射影D位于直線AC上，且，.設(shè)三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球Q的球面上，則球Q的半徑為（）A． B． C． D．2．已知全集，函數(shù)的定義域?yàn)?，集合，則下列結(jié)論正確的是A． B．C． D．3．已知函數(shù)在區(qū)間上恰有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．函數(shù)的圖象大致是()A． B．C． D．5．函數(shù)的圖象為C，以下結(jié)論中正確的是（）①圖象C關(guān)于直線對(duì)稱；②圖象C關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；③由y=2sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到圖象C.A．① B．①② C．②③ D．①②③6．關(guān)于函數(shù)，有下述三個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的一個(gè)周期為；②函數(shù)在上單調(diào)遞增；③函數(shù)的值域?yàn)?其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．①② B．② C．②③ D．③7．若為虛數(shù)單位，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)表示復(fù)數(shù)，則表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是（）A．E B．F C．G D．H8．已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)（），則函數(shù)與函數(shù)的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（）A．2 B．4 C．5 D．69．閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的結(jié)果為（）A． B．6 C． D．10．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為（）A． B． C． D．11．木匠師傅對(duì)一個(gè)圓錐形木件進(jìn)行加工后得到一個(gè)三視圖如圖所示的新木件，則該木件的體積（）A． B． C． D．12．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則()A．9 B．12 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的焦距為，若過右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與兩條漸近線圍成的三角形面積為，則雙曲線的離心率為____________.14．在的展開式中，的系數(shù)為________．15．四面體中，底面，，，則四面體的外接球的表面積為______16．已知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，等差數(shù)列滿足，（1）分別求出，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為證明：．18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線與曲線的交點(diǎn)為，求的值.19．（12分）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和為；（Ⅱ）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)的和，求證：.20．（12分）已知函數(shù)，函數(shù)（）.（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.（3）證明：當(dāng)時(shí)，.21．（12分）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，（1）若，求不等式的解集；（2）證明：對(duì)任意的，恒有.22．（10分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)，試討論的單調(diào)性；（2）若，，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

設(shè)的中點(diǎn)為O先求出外接圓的半徑，設(shè)，利用平面ABC，得，在及中利用勾股定理構(gòu)造方程求得球的半徑即可【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為O,因?yàn)?，所以外接圓的圓心M在BO上.設(shè)此圓的半徑為r.因?yàn)?，所以，解?因?yàn)?，所?設(shè)，易知平面ABC，則.因?yàn)?，所以，即，解?所以球Q的半徑.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查球的組合體，考查空間想象能力，考查計(jì)算求解能力，是中檔題2、A【解析】

求函數(shù)定義域得集合M，N后，再判斷．【詳解】由題意，，∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是確定集合中的元素．確定集合的元素時(shí)要注意代表元形式，集合是函數(shù)的定義域，還是函數(shù)的值域，是不等式的解集還是曲線上的點(diǎn)集，都由代表元決定．3、A【解析】

函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的解，設(shè)，方程可化為，即或，求出的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性和最值，由此可根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)得出的范圍．【詳解】由題意得有四個(gè)大于的不等實(shí)根，記，則上述方程轉(zhuǎn)化為，即，所以或．因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以在處取得最小值，最小值為．因?yàn)?，所以有兩個(gè)符合條件的實(shí)數(shù)解，故在區(qū)間上恰有四個(gè)不相等的零點(diǎn)，需且．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)．考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的解，方程的解再轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì)，本題考查了學(xué)生分析問題解決問題的能力．4、B【解析】

根據(jù)函數(shù)表達(dá)式,把分母設(shè)為新函數(shù),首先計(jì)算函數(shù)定義域,然后求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性,對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像得到答案.【詳解】設(shè)，，則的定義域?yàn)?，當(dāng)，，單增，當(dāng)，，單減，則.則在上單增，上單減，.選B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的判斷,用到了換元的思想,簡(jiǎn)化了運(yùn)算,同學(xué)們還可以用特殊值法等方法進(jìn)行判斷.5、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心和圖象變換的知識(shí)，判斷出正確的結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，又，所以①正確.，所以②正確.將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，所以③錯(cuò)誤.所以①②正確，③錯(cuò)誤.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心，考查三角函數(shù)圖象變換，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

①用周期函數(shù)的定義驗(yàn)證.②當(dāng)時(shí)，，，再利用單調(diào)性判斷.③根據(jù)平移變換，函數(shù)的值域等價(jià)于函數(shù)的值域，而，當(dāng)時(shí)，再求值域.【詳解】因?yàn)椋盛馘e(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增，故②正確；函數(shù)的值域等價(jià)于函數(shù)的值域，易知，故當(dāng)時(shí)，，故③正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于中檔題.7、C【解析】

由于在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，然后將代入化簡(jiǎn)后可找到其對(duì)應(yīng)的點(diǎn).【詳解】由，所以，對(duì)應(yīng)點(diǎn).故選：C【點(diǎn)睛】此題考查的是復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)就關(guān)系，復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

由函數(shù)的性質(zhì)可得：的圖像關(guān)于直線對(duì)稱且關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)（）的圖像也關(guān)于對(duì)稱，由函數(shù)圖像的作法可知兩個(gè)圖像有四個(gè)交點(diǎn)，且兩兩關(guān)于直線對(duì)稱，則與的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4得解.【詳解】由偶函數(shù)滿足，可得的圖像關(guān)于直線對(duì)稱且關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)（）的圖像也關(guān)于對(duì)稱，函數(shù)的圖像與函數(shù)（）的圖像的位置關(guān)系如圖所示，可知兩個(gè)圖像有四個(gè)交點(diǎn)，且兩兩關(guān)于直線對(duì)稱，則與的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.9、D【解析】

用列舉法，通過循環(huán)過程直接得出與的值，得到時(shí)退出循環(huán),即可求得.【詳解】執(zhí)行程序框圖，可得，，滿足條件，，，滿足條件，，，滿足條件，，，由題意，此時(shí)應(yīng)該不滿足條件，退出循環(huán)，輸出S的值為.故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用,正確依次寫出每次循環(huán)得到的與的值是解題的關(guān)鍵,難度較易.10、B【解析】

由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，由此求出四棱錐的體積．【詳解】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，畫出四棱錐的直觀圖，如圖所示：則該四棱錐的體積為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用三視圖求幾何體體積的問題，是基礎(chǔ)題．11、C【解析】

由三視圖知幾何體是一個(gè)從圓錐中截出來的錐體,圓錐底面半徑為,圓錐的高,截去的底面劣弧的圓心角為，底面剩余部分的面積為,利用錐體的體積公式即可求得.【詳解】由已知中的三視圖知圓錐底面半徑為，圓錐的高，圓錐母線，截去的底面弧的圓心角為120°，底面剩余部分的面積為，故幾何體的體積為：.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖還原幾何體及體積求解問題,考查了學(xué)生空間想象,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,難度一般.12、A【解析】

由，可得以及，而，代入即可得到答案.【詳解】設(shè)公差為d，則解得，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，考查學(xué)生運(yùn)算求解能力，是一道基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用即可建立關(guān)于的方程.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，過右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，則，，由已知，，即，所以，離心率.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，做此類題的關(guān)鍵是建立的方程或不等式，是一道容易題.14、【解析】

根據(jù)二項(xiàng)展開式定理，求出含的系數(shù)和含的系數(shù)，相乘即可.【詳解】的展開式中，所求項(xiàng)為：，的系數(shù)為.

故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

由題意畫出圖形，補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，求其對(duì)角線長(zhǎng)，可得四面體外接球的半徑，則表面積可求．【詳解】解：如圖，在四面體中，底面，，，可得，補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，則過一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為1，1，，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，則三棱錐的外接球的半徑為1．其表面積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，補(bǔ)形是關(guān)鍵，屬于中檔題．16、【解析】

由偶函數(shù)的性質(zhì)直接求解即可【詳解】.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)（2）證明見解析【解析】

（1）因?yàn)?，所以，所以，即，又因?yàn)?，所以?shù)列為等差數(shù)列，且公差為1，首項(xiàng)為1，則，即.設(shè)的公差為，則，所以（），則（），所以，因此，綜上，．（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則兩式相減得，所以，設(shè)則，所以.18、（1）（2）【解析】

（1）由公式可化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；（2）把點(diǎn)極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，直線的參數(shù)方程是過定點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)形式，因此直接把參數(shù)方程代入曲線的方程，利用參數(shù)的幾何意義求解．【詳解】解：（1），則，∴，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，即（2）點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，易知.設(shè)對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為將與聯(lián)立得【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，考查直線參數(shù)方程，解題時(shí)可利用利用參數(shù)方程的幾何意義求直線上兩點(diǎn)間距離問題．19、（Ⅰ），（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列公式直接計(jì)算得到答案.（Ⅱ），根據(jù)裂項(xiàng)求和法計(jì)算得到得到證明.【詳解】（Ⅰ）等差數(shù)列的公差為，由，得，，即，，解得，.∴，.（Ⅱ），∴，∴，即.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的基本量的計(jì)算，裂項(xiàng)求和，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的靈活運(yùn)用.20、（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】

（1）求出的定義域，導(dǎo)函數(shù)，對(duì)參數(shù)、分類討論得到答案.（2）設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可得證.（3）由（1）可知，可得，即又即可得證.【詳解】（1）解：的定義域?yàn)?，，?dāng)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明：設(shè)函數(shù)，則.因?yàn)椋?，，則，從而在上單調(diào)遞減，所以，即.（3）證明：當(dāng)時(shí)，.由（1）知，，所以，即.當(dāng)時(shí)，，，則，即，又，所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于難題.21、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）求出的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性解函數(shù)型不等式；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷在區(qū)間上單調(diào)遞減，結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】（1）若，則.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以所以在上單調(diào)遞增，又，所以不等式的解集為.（2）設(shè)，再令，，在上單調(diào)遞減，又，，，，，.即【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性來解決不等式問題，屬于較難題.22、（1）答案不唯一，具體見解析（2）【解析】

（1）由于函數(shù)，得出，分類討論當(dāng)和時(shí)，的正負(fù)，進(jìn)而得出的單調(diào)性；（2）求出，令，得，設(shè)，通過導(dǎo)函數(shù)，可得出在上的單調(diào)性和值域，再分類討論和時(shí)，的單調(diào)性，再結(jié)合，恒成