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河北省邯鄲市一中2025屆高考數(shù)學(xué)全真模擬密押卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.2.明代數(shù)學(xué)家程大位(1533~1606年),有感于當(dāng)時(shí)籌算方法的不便,用其畢生心血寫出《算法統(tǒng)宗》,可謂集成計(jì)算的鼻祖.如圖所示的程序框圖的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”問題.執(zhí)行該程序框圖,若輸出的的值為,則輸入的的值為()A. B. C. D.3.若函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.4.總體由編號(hào)01,,02,…,19,20的20個(gè)個(gè)體組成.利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體,選取方法是隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字,則選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
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8200
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A.08 B.07 C.02 D.015.已知符號(hào)函數(shù)sgnxf(x)是定義在R上的減函數(shù),g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),則()A.sgn[g(x)]=sgnx B.sgn[g(x)]=﹣sgnxC.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] D.sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)]6.已知非零向量,滿足,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解:7.如圖,在中,,是上一點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.8.如圖,設(shè)為內(nèi)一點(diǎn),且,則與的面積之比為A. B.C. D.9.做拋擲一枚骰子的試驗(yàn),當(dāng)出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)時(shí),就說這次試驗(yàn)成功,假設(shè)骰子是質(zhì)地均勻的.則在3次這樣的試驗(yàn)中成功次數(shù)X的期望為()A.13 B.110.若圓錐軸截面面積為,母線與底面所成角為60°,則體積為()A. B. C. D.11.設(shè),若函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.設(shè)a=log73,,c=30.7,則a,b,c的大小關(guān)系是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.拋物線上到其焦點(diǎn)距離為5的點(diǎn)有_______個(gè).14.已知的終邊過點(diǎn),若,則__________.15.某中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)班共有10人,分為甲、乙兩個(gè)小組,在一次階段測(cè)試中兩個(gè)小組成績(jī)的莖葉圖如圖所示,若甲組5名同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為81,乙組5名同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為73,則x-y的值為________.16.電影《厲害了,我的國(guó)》于2018年3月正式登陸全國(guó)院線,網(wǎng)友紛紛表示,看完電影熱血沸騰“我為我的國(guó)家驕傲,我為我是中國(guó)人驕傲!”《厲害了,我的國(guó)》正在召喚我們每一個(gè)人,不忘初心,用奮斗書寫無悔人生,小明想約甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厲害了,我的國(guó)》,并把標(biāo)識(shí)為的四張電影票放在編號(hào)分別為1,2,3,4的四個(gè)不同的盒子里,讓四位好朋友進(jìn)行猜測(cè):甲說:第1個(gè)盒子里放的是,第3個(gè)盒子里放的是乙說:第2個(gè)盒子里放的是,第3個(gè)盒子里放的是丙說:第4個(gè)盒子里放的是,第2個(gè)盒子里放的是丁說:第4個(gè)盒子里放的是,第3個(gè)盒子里放的是小明說:“四位朋友你們都只說對(duì)了一半”可以預(yù)測(cè),第4個(gè)盒子里放的電影票為_________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,點(diǎn)在橢圓上,且.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),與圓相交于、兩點(diǎn),求的取值范圍.18.(12分)數(shù)列滿足,且.(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.(12分)已知數(shù)列中,a1=1,其前n項(xiàng)和為,且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記,若數(shù)列為遞增數(shù)列,求λ的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù)f(x)=x-lnx,g(x)=x2-ax.(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1](t>0)上的最小值m(t);(2)令h(x)=g(x)-f(x),A(x1,h(x1)),B(x2,h(x2))(x1≠x2)是函數(shù)h(x)圖像上任意兩點(diǎn),且滿足>1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)若?x∈(0,1],使f(x)≥成立,求實(shí)數(shù)a的最大值.21.(12分)如圖,已知四邊形的直角梯形,∥BC,,,,為線段的中點(diǎn),平面,,為線段上一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合).(1)若,(?。┣笞C:PC∥平面;(ⅱ)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值;(2)否存在實(shí)數(shù)滿足,使得直線與平面所成的角的正弦值為,若存在,確定的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.22.(10分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性并指出相應(yīng)單調(diào)區(qū)間;(2)若,設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),若,且恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
求出導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,確定函數(shù)的最值,根據(jù)零點(diǎn)存在定理可確定參數(shù)范圍.【詳解】,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,∴在上只有一個(gè)極大值也是最大值,顯然時(shí),,時(shí),,因此要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),則,∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn),考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定參數(shù)范圍.2、C【解析】
根據(jù)程序框圖依次計(jì)算得到答案.【詳解】,;,;,;,;,此時(shí)不滿足,跳出循環(huán),輸出結(jié)果為,由題意,得.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的計(jì)算,意在考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力.3、B【解析】
求得的導(dǎo)函數(shù),由此構(gòu)造函數(shù),根據(jù)題意可知在上有變號(hào)零點(diǎn).由此令,利用分離常數(shù)法結(jié)合換元法,求得的取值范圍.【詳解】,設(shè),要使在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù),即在上有變號(hào)零點(diǎn),令,則,令,則問題即在上有零點(diǎn),由于在上遞增,所以的取值范圍是.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查方程零點(diǎn)問題的求解策略,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.4、D【解析】從第一行的第5列和第6列起由左向右讀數(shù)劃去大于20的數(shù)分別為:08,02,14,07,01,所以第5個(gè)個(gè)體是01,選D.考點(diǎn):此題主要考查抽樣方法的概念、抽樣方法中隨機(jī)數(shù)表法,考查學(xué)習(xí)能力和運(yùn)用能力.5、A【解析】
根據(jù)符號(hào)函數(shù)的解析式,結(jié)合f(x)的單調(diào)性分析即可得解.【詳解】根據(jù)題意,g(x)=f(x)﹣f(ax),而f(x)是R上的減函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),x<ax,則有f(x)>f(ax),則g(x)=f(x)﹣f(ax)>0,此時(shí)sgn[g(x)]=1,當(dāng)x=0時(shí),x=ax,則有f(x)=f(ax),則g(x)=f(x)﹣f(ax)=0,此時(shí)sgn[g(x)]=0,當(dāng)x<0時(shí),x>ax,則有f(x)<f(ax),則g(x)=f(x)﹣f(ax)<0,此時(shí)sgn[g(x)]=﹣1,綜合有:sgn[g(x)]=sgn(x);故選:A.【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)新定義問題,涉及函數(shù)單調(diào)性辨析,關(guān)鍵在于讀懂定義,根據(jù)自變量的取值范圍分類討論.6、C【解析】
根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算,由向量的關(guān)系,可得選項(xiàng).【詳解】,,∴等價(jià)于,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算和命題的充分、必要條件,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】
由題意,可根據(jù)向量運(yùn)算法則得到(1﹣m),從而由向量分解的唯一性得出關(guān)于t的方程,求出t的值.【詳解】由題意及圖,,又,,所以,∴(1﹣m),又t,所以,解得m,t,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理,根據(jù)分解的唯一性得到所求參數(shù)的方程是解答本題的關(guān)鍵,本題屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
作交于點(diǎn),根據(jù)向量比例,利用三角形面積公式,得出與的比例,再由與的比例,可得到結(jié)果.【詳解】如圖,作交于點(diǎn),則,由題意,,,且,所以又,所以,,即,所以本題答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)與向量的結(jié)合,三角形面積公式,屬基礎(chǔ)題,作出合適的輔助線是本題的關(guān)鍵.9、C【解析】
每一次成功的概率為p=26=【詳解】每一次成功的概率為p=26=13故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)分布求數(shù)學(xué)期望,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.10、D【解析】
設(shè)圓錐底面圓的半徑為,由軸截面面積為可得半徑,再利用圓錐體積公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為,由已知,,解得,所以圓錐的體積.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的體積的計(jì)算,涉及到圓錐的定義,是一道容易題.11、D【解析】令,可得.在坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象(如圖所示).當(dāng)時(shí),.由得.設(shè)過原點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象切于點(diǎn),則有,解得.所以當(dāng)直線與函數(shù)的圖象切時(shí).又當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),有,解得.結(jié)合圖象可得當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍是.即函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍是.選D.點(diǎn)睛:已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(方程根的個(gè)數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)的方法(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解,對(duì)于一些比較復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn)問題常用此方法求解.12、D【解析】
,,得解.【詳解】,,,所以,故選D【點(diǎn)睛】比較不同數(shù)的大小,找中間量作比較是一種常見的方法.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】
設(shè)符合條件的點(diǎn),由拋物線的定義可得,即可求解.【詳解】設(shè)符合條件的點(diǎn),則,所以符合條件的點(diǎn)有2個(gè).故答案為:2【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義的應(yīng)用,考查拋物線的焦半徑.14、【解析】
】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義,求得的值.【詳解】∵的終邊過點(diǎn),若,.即答案為-2.【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式,屬基礎(chǔ)題.15、【解析】
根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù),結(jié)合平均數(shù)與中位數(shù)的概念,求出x、y的值.【詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù),得:甲班5名同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為,解得;又乙班5名同學(xué)的中位數(shù)為73,則;.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖及根據(jù)莖葉圖計(jì)算中位數(shù)、平均數(shù),考查數(shù)據(jù)分析能力,屬于簡(jiǎn)單題.16、A或D【解析】
分別假設(shè)每一個(gè)人一半是對(duì)的,然后分別進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】解:假設(shè)甲說:第1個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的,則乙說:第3個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的,丙說:第2個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的,丁說:第4個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的,由此可知第4個(gè)盒子里面放的是;假設(shè)甲說:第3個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的,則丙說:第4個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的,乙說:第2個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的,丁說:第3個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的,由此可知第4個(gè)盒子里面放的是.故第4個(gè)盒子里面放的電影票為或.故答案為:或【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的合情推理,考查推理論證能力、分析判斷能力、歸納總結(jié)能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)利用勾股定理結(jié)合條件求得和,利用橢圓的定義求得的值,進(jìn)而可得出,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)、,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式求出,利用幾何法求得直線截圓所得弦長(zhǎng),可得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,利用不等式的性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】(Ⅰ)在橢圓上,,,,,,,又,,,,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)、,聯(lián)立消去,得,,則,,設(shè)圓的圓心到直線的距離為,則.,,,,的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解,同時(shí)也考查了橢圓中弦長(zhǎng)之積的取值范圍的求解,涉及韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.18、(1)證明見解析,;(2)【解析】
(1)利用,推出,然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,即可求解;(2)由(1)知,利用裂項(xiàng)法,即可求解數(shù)列的前n項(xiàng)和.【詳解】(1)由題意,數(shù)列滿足且可得,即,所以數(shù)列是公差,首項(xiàng)的等差數(shù)列,故,所以.(2)由(1)知,所以數(shù)列的前n項(xiàng)和:==【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,以及“裂項(xiàng)法”求解數(shù)列的前n項(xiàng)和,其中解答中熟記等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式,合理利用“裂項(xiàng)法”求和是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.19、(1)(2)【解析】
(1)項(xiàng)和轉(zhuǎn)換可得,繼而得到,可得解;(2)代入可得,由數(shù)列為遞增數(shù)列可得,,令,可證明為遞增數(shù)列,即,即得解【詳解】(1)∵,∴,∴,即,∴,∴,∴.(2).=2·-λ(2n+1).∵數(shù)列為遞增數(shù)列,∴,即.令,即.∴為遞增數(shù)列,∴,即的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列綜合問題,考查了項(xiàng)和轉(zhuǎn)換,數(shù)列的單調(diào)性,最值等知識(shí)點(diǎn),考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.20、(1)m(t)=(2)a≤2-2.(3)a≤2-2.【解析】
(1)是研究在動(dòng)區(qū)間上的最值問題,這類問題的研究方法就是通過討論函數(shù)的極值點(diǎn)與所研究的區(qū)間的大小關(guān)系來進(jìn)行求解.(2)注意到函數(shù)h(x)的圖像上任意不同兩點(diǎn)A,B連線的斜率總大于1,等價(jià)于h(x1)-h(huán)(x2)<x1-x2(x1<x2)恒成立,從而構(gòu)造函數(shù)F(x)=h(x)-x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,進(jìn)而等價(jià)于F′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立來加以研究.(3)用處理恒成立問題來處理有解問題,先分離變量轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)函數(shù)的最值,得到a≤,再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)M(x)=的最大值,這要用到二次求導(dǎo),才可確定函數(shù)單調(diào)性,進(jìn)而確定函數(shù)最值.【詳解】(1)f′(x)=1-,x>0,令f′(x)=0,則x=1.當(dāng)t≥1時(shí),f(x)在[t,t+1]上單調(diào)遞增,f(x)的最小值為f(t)=t-lnt;當(dāng)0<t<1時(shí),f(x)在區(qū)間(t,1)上為減函數(shù),在區(qū)間(1,t+1)上為增函數(shù),f(x)的最小值為f(1)=1.綜上,m(t)=(2)h(x)=x2-(a+1)x+lnx,不妨取0<x1<x2,則x1-x2<0,則由,可得h(x1)-h(huán)(x2)<x1-x2,變形得h(x1)-x1<h(x2)-x2恒成立.令F(x)=h(x)-x=x2-(a+2)x+lnx,x>0,則F(x)=x2-(a+2)x+lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故F′(x)=2x-(a+2)+≥0在(0,+∞)上恒成立,所以2x+≥a+2在(0,+∞)上恒成立.因?yàn)?x+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取“=”,所以a≤2-2.(3)因?yàn)閒(x)≥,所以a(x+1)≤2x2-xlnx.因?yàn)閤∈(0,1],則x+1∈(1,2],所以?x∈(0,1],使得a≤成立.令M(x)=,則M′(x)=.令y=2x2+3x-lnx-1,則由y′==0可得x=或x=-1(舍).當(dāng)x∈時(shí),y′<0,則函數(shù)y=2x2+3x-lnx-1在上單調(diào)遞減;當(dāng)x∈時(shí),y′>0,則函數(shù)y=2x2+3x-lnx-1在上單調(diào)遞增.所以y≥ln4->0,所以M′(x)>0在x∈(0,1]時(shí)恒成立,所以M(x)在(0,1]上單調(diào)遞增.所以只需a≤M(1),即a≤1.所以實(shí)數(shù)a的最大值為1.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化與劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于難題.21、(1)(?。┳C明見解析(ⅱ)(2)存在,【解析】
(1)(i)連接交于點(diǎn),連接,,依題意易證四邊形為平行四邊形,從而有,,由
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