2025屆湖南省邵東縣第三中學(xué)高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆湖南省邵東縣第三中學(xué)高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知某口袋中有3個(gè)白球和個(gè)黑球（），現(xiàn)從中隨機(jī)取出一球，再換回一個(gè)不同顏色的球（即若取出的是白球，則放回一個(gè)黑球；若取出的是黑球，則放回一個(gè)白球），記換好球后袋中白球的個(gè)數(shù)是．若，則=()A． B．1 C． D．22．已知，，若，則實(shí)數(shù)的值是（）A．-1 B．7 C．1 D．1或73．已知四棱錐中，平面，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．4．已知數(shù)列滿足,且,則的值是()A． B． C．4 D．5．是虛數(shù)單位，則（）A．1 B．2 C． D．6．若，則的值為（）A． B． C． D．7．已知命題：，，則為()A．， B．，C．， D．，8．若為虛數(shù)單位，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)表示復(fù)數(shù)，則表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是（）A．E B．F C．G D．H9．若2m＞2n＞1，則（）A． B．πm﹣n＞1C．ln（m﹣n）＞0 D．10．如圖，圓是邊長(zhǎng)為的等邊三角形的內(nèi)切圓，其與邊相切于點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，，則的最大值為（）A． B． C．2 D．11．著名的斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…，滿足，，，若，則()A．2020 B．4038 C．4039 D．404012．設(shè)，是非零向量，若對(duì)于任意的，都有成立，則A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則____.14．已知，且，則__________．15．記復(fù)數(shù)z＝a+bi（i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為，已知z＝2+i，則_____．16．設(shè)函數(shù)，若在上的最大值為，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在等比數(shù)列中，已知，.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，（，）.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）是否存在等差數(shù)列，使得對(duì)任意，都有？若存在，求出所有符合題意的等差數(shù)列；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．（12分）如圖所示，在四面體中，，平面平面，，且.（1）證明：平面；（2）設(shè)為棱的中點(diǎn)，當(dāng)四面體的體積取得最大值時(shí)，求二面角的余弦值.19．（12分）已知在中，角、、的對(duì)邊分別為，，，，.（1）若，求的值；（2）若，求的面積.20．（12分）記函數(shù)的最小值為.（1）求的值；（2）若正數(shù)，，滿足，證明：.21．（12分）已知數(shù)列和，前項(xiàng)和為，且，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．22．（10分）在△ABC中，角所對(duì)的邊分別為向量，向量，且.（1）求角的大?。唬?）求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由題意或4，則，故選B．2、C【解析】

根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，化簡(jiǎn)即可求得的值.【詳解】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，代入化簡(jiǎn)可得.∴解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

由題意建立空間直角坐標(biāo)系，表示出各點(diǎn)坐標(biāo)后，利用即可得解.【詳解】平面，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意：，，，，，為的中點(diǎn)，.，，，異面直線與所成角的余弦值為即為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的應(yīng)用，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】由，可得，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，則，則，故選B.點(diǎn)睛：本題考查了等比數(shù)列的概念，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，試題有一定的技巧，屬于中檔試題，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，等比數(shù)列的性質(zhì)和在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)該要分類(lèi)討論，有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.5、C【解析】

由復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則求出，再由模長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】由.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法和模，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

根據(jù)，再根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋远?xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，令，所以，因此有.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力7、C【解析】

根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，即得答案.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，且命題：，，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查含有一個(gè)量詞的命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

由于在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，然后將代入化簡(jiǎn)后可找到其對(duì)應(yīng)的點(diǎn).【詳解】由，所以，對(duì)應(yīng)點(diǎn).故選：C【點(diǎn)睛】此題考查的是復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)就關(guān)系，復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊值進(jìn)行辨析.【詳解】若2m＞2n＞1＝20，∴m＞n＞0，∴πm﹣n＞π0＝1，故B正確；而當(dāng)m，n時(shí)，檢驗(yàn)可得，A、C、D都不正確，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)指數(shù)冪的大小關(guān)系判斷參數(shù)的大小，根據(jù)參數(shù)的大小判定指數(shù)冪或?qū)?shù)的大小關(guān)系，需要熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合特值法得出選項(xiàng).10、C【解析】

建立坐標(biāo)系，寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)，得到的表達(dá)式，進(jìn)而得到最大值.【詳解】以D點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立坐標(biāo)系，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為1，以（0，1）為圓心，1為半徑的圓；根據(jù)三角形面積公式得到，可得到內(nèi)切圓的半徑為可得到點(diǎn)的坐標(biāo)為：故得到故得到，故最大值為：2.故答案為C.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了向量標(biāo)化的應(yīng)用，以及參數(shù)方程的應(yīng)用，以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類(lèi)綜合問(wèn)題.通過(guò)向量的運(yùn)算，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類(lèi)問(wèn)題的一般方法.11、D【解析】

計(jì)算，代入等式，根據(jù)化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】，，，故，，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了斐波那契數(shù)列，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.12、D【解析】

畫(huà)出，，根據(jù)向量的加減法，分別畫(huà)出的幾種情況，由數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】由題意，得向量是所有向量中模長(zhǎng)最小的向量，如圖，當(dāng)，即時(shí)，最小，滿足，對(duì)于任意的，所以本題答案為D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量的加減法，以及點(diǎn)到直線的距離最短問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于用有向線段正確表示向量，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由，得出，根據(jù)兩角和與差的正弦公式和余弦公式化簡(jiǎn)，再利用齊次式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，利用二倍角正切公式、兩角和與差的正弦公式和余弦公式，以及運(yùn)用齊次式求值，屬于對(duì)公式的考查以及對(duì)計(jì)算能力的考查.14、【解析】試題分析：因,故,所以，,應(yīng)填.考點(diǎn)：三角變換及運(yùn)用．15、3﹣4i【解析】

計(jì)算得到z2＝（2+i）2＝3+4i，再計(jì)算得到答案.【詳解】∵z＝2+i，∴z2＝（2+i）2＝3+4i，則．故答案為：3﹣4i．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16、【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由在上，可得在上單調(diào)遞增，則函數(shù)最大值為，即可求出參數(shù)的值.【詳解】解：定義域?yàn)?，在上單調(diào)遞增，故在上的最大值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）見(jiàn)解析（3）存在唯一的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為，滿足題設(shè)【解析】

（1）由，可得公比，即得；（2）由（1）和可得數(shù)列的遞推公式，即可知結(jié)果為常數(shù)，即得證；（3）由（2）可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，，設(shè)出等差數(shù)列，再根據(jù)不等關(guān)系來(lái)算出的首項(xiàng)和公差即可.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)?，，所以，解?所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.（2）由（1）得，當(dāng)，時(shí)，可得①，②②①得，，則有，即，，.因?yàn)椋散俚?，，所以，所以?所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.（3）由（2）得，所以，.假設(shè)存在等差數(shù)列，其通項(xiàng)，使得對(duì)任意，都有，即對(duì)任意，都有.③首先證明滿足③的.若不然，，則，或.（i）若，則當(dāng)，時(shí)，，這與矛盾.（ii）若，則當(dāng)，時(shí)，.而，，所以.故，這與矛盾.所以.其次證明：當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)，時(shí)，.再次證明.（iii）若時(shí)，則當(dāng)，，，，這與③矛盾.（iv）若時(shí)，同（i）可得矛盾.所以.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以?duì)任意，都有.所以，.綜上，存在唯一的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為，滿足題設(shè).【點(diǎn)睛】本題考查求等比數(shù)列通項(xiàng)公式，證明等差數(shù)列，以及數(shù)列中的探索性問(wèn)題，是一道數(shù)列綜合題，考查學(xué)生的分析，推理能力.18、（1）見(jiàn)證明；（2）【解析】

（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，從而得到，利用勾股定理得到，利用線面垂直的判定定理證得平面；（2）設(shè)，利用椎體的體積公式求得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得時(shí)，四面體的體積取得最大值，之后利用空間向量求得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，平面平面，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋云矫?（2）解：設(shè)，則，四面體的體積.，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí)，四面體的體積取得最大值.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，同理可得平面的一個(gè)法向量為，則.由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定，椎體的體積，二面角的求法，在解題的過(guò)程中，注意巧用導(dǎo)數(shù)求解體積的最大值.19、（1）7（2）14【解析】

（1）在中，，可得，結(jié)合正弦定理，即可求得答案；（2）根據(jù)余弦定理和三角形面積公式，即可求得答案.【詳解】（1）在中，，，，，，.（2），，，解得，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理解三角形，解題關(guān)鍵是掌握正弦定理邊化角，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.20、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)或利用絕對(duì)值三角不等式進(jìn)行求解；（2）利用基本不等式或柯西不等式證明即可.【詳解】解法一：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，所以解法二：（1）如圖當(dāng)時(shí)，解法三：（1）當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)時(shí)解法一：（2）由題意可知，，因?yàn)?，，，所以要證明不等式，只需證明，因?yàn)槌闪?，所以原不等式成?解法二：（2）因?yàn)椋?，，所以，，又因?yàn)?，所以，所以，原不等式得證.補(bǔ)充：解法三：（2）由題意可知，，因?yàn)椋?，，所以要證明不等式，只需證明，由柯西不等式得：成立，所以原不等式成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值函數(shù)的最值求解，不等式的證明，絕對(duì)值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解能力.21、（1），；（2）.【解析】

（1）令求出的值，然后由，得出，然后檢驗(yàn)是否符合在時(shí)的表達(dá)式，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并設(shè)數(shù)列的公比為，根據(jù)題意列出和的方程組，解出這兩個(gè)量，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出；（2）求出數(shù)列的前項(xiàng)和，然后利用分組求和法可求出.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.也適合上式