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云南省騰沖市第八中學(xué)2025屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),關(guān)于的方程R)有四個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,且z1是實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)a等于()A. B. C.- D.-3.已知橢圓:的左,右焦點(diǎn)分別為,,過(guò)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),若,且的三邊長(zhǎng),,成等差數(shù)列,則的離心率為()A. B. C. D.4.已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為,點(diǎn)是雙曲線上與不重合的動(dòng)點(diǎn),若,則雙曲線的離心率為()A. B. C.4 D.25.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的結(jié)果為()A. B.4 C. D.6.的展開(kāi)式中的項(xiàng)的系數(shù)為()A.120 B.80 C.60 D.407.在中,為邊上的中點(diǎn),且,則()A. B. C. D.8.函數(shù)的大致圖像為()A. B.C. D.9.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù),又在上是增函數(shù)的是().A. B.C. D.10.如圖所示的莖葉圖為高三某班名學(xué)生的化學(xué)考試成績(jī),算法框圖中輸入的,,,,為莖葉圖中的學(xué)生成績(jī),則輸出的,分別是()A., B.,C., D.,11.已知函數(shù),其中表示不超過(guò)的最大正整數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.的值域是 B.是奇函數(shù)C.是周期函數(shù) D.是增函數(shù)12.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的,則輸入的整數(shù)的最大值為()A.7 B.15 C.31 D.63二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和,若,且,,成等差數(shù)列,則.14.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則______,的最大值是______.15.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為,粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為_(kāi)_______.16.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別是.若,,則__,面積的最大值為_(kāi)__.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖所示,在四棱錐中,∥,,點(diǎn)分別為的中點(diǎn).(1)證明:∥面;(2)若,且,面面,求二面角的余弦值.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin(θ+).(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l與曲線C交于M,N兩點(diǎn),求△MON的面積.19.(12分)已知函數(shù),其中為實(shí)常數(shù).(1)若存在,使得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,求的取值范圍;(2)當(dāng)時(shí),設(shè)直線與函數(shù)的圖象相交于不同的兩點(diǎn),,證明:.20.(12分)設(shè)函數(shù)().(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若關(guān)于x的方程有唯一的實(shí)數(shù)解,求a的取值范圍.21.(12分)已知.(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若時(shí)不等式成立,求的取值范圍.22.(10分)如圖所示,已知平面,,為等邊三角形,為邊上的中點(diǎn),且.(Ⅰ)求證:面;(Ⅱ)求證:平面平面;(Ⅲ)求該幾何體的體積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】=,當(dāng)時(shí)時(shí),單調(diào)遞減,時(shí),單調(diào)遞增,且當(dāng),當(dāng),
當(dāng)時(shí),恒成立,時(shí),單調(diào)遞增且,方程R)有四個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.令=則,,即.2、A【解析】分析:計(jì)算,由z1,是實(shí)數(shù)得,從而得解.詳解:復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,.所以z1,是實(shí)數(shù),所以,即.故選A.點(diǎn)睛:本題主要考查了復(fù)數(shù)共軛的概念,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè)出,,,利用勾股定理列方程,結(jié)合橢圓的定義,求得.再利用勾股定理建立的關(guān)系式,化簡(jiǎn)后求得離心率.【詳解】由已知,,成等差數(shù)列,設(shè),,.由于,據(jù)勾股定理有,即,化簡(jiǎn)得;由橢圓定義知的周長(zhǎng)為,有,所以,所以;在直角中,由勾股定理,,∴離心率.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓離心率的求法,考查橢圓的定義,考查等差數(shù)列的性質(zhì),屬于中檔題.4、D【解析】
設(shè),,,根據(jù)可得①,再根據(jù)又②,由①②可得,化簡(jiǎn)可得,即可求出離心率.【詳解】解:設(shè),,,∵,∴,即,①又,②,由①②可得,∵,∴,∴,∴,即,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì),考查了斜率的計(jì)算,離心率的求法,屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題.5、A【解析】
模擬執(zhí)行程序框圖,依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的的值,當(dāng),,退出循環(huán),輸出結(jié)果.【詳解】程序運(yùn)行過(guò)程如下:,;,;,;,;,;,;,,退出循環(huán),輸出結(jié)果為,故選:A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)程序框圖的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有判斷程序框圖輸出結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題目.6、A【解析】
化簡(jiǎn)得到,再利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)得到答案.【詳解】展開(kāi)式中的項(xiàng)為.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.7、A【解析】
由為邊上的中點(diǎn),表示出,然后用向量模的計(jì)算公式求模.【詳解】解:為邊上的中點(diǎn),,故選:A【點(diǎn)睛】在三角形中,考查中點(diǎn)向量公式和向量模的求法,是基礎(chǔ)題.8、D【解析】
通過(guò)取特殊值逐項(xiàng)排除即可得到正確結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,?dāng)時(shí),,排除B和C;當(dāng)時(shí),,排除A.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查圖象的判斷,取特殊值排除選項(xiàng)是基本手段,屬中檔題.9、B【解析】
奇函數(shù)滿足定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且,在上即可.【詳解】A:因?yàn)槎x域?yàn)?,所以不可能時(shí)奇函數(shù),錯(cuò)誤;B:定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且滿足奇函數(shù),又,所以在上,正確;C:定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且滿足奇函數(shù),,在上,因?yàn)?,所以在上不是增函?shù),錯(cuò)誤;D:定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且,滿足奇函數(shù),在上很明顯存在變號(hào)零點(diǎn),所以在上不是增函數(shù),錯(cuò)誤;故選:B【點(diǎn)睛】此題考查判斷函數(shù)奇偶性和單調(diào)性,注意奇偶性的前提定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,屬于簡(jiǎn)單題目.10、B【解析】
試題分析:由程序框圖可知,框圖統(tǒng)計(jì)的是成績(jī)不小于80和成績(jī)不小于60且小于80的人數(shù),由莖葉圖可知,成績(jī)不小于80的有12個(gè),成績(jī)不小于60且小于80的有26個(gè),故,.考點(diǎn):程序框圖、莖葉圖.11、C【解析】
根據(jù)表示不超過(guò)的最大正整數(shù),可構(gòu)建函數(shù)圖象,即可分別判斷值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性,進(jìn)而下結(jié)論.【詳解】由表示不超過(guò)的最大正整數(shù),其函數(shù)圖象為選項(xiàng)A,函數(shù),故錯(cuò)誤;選項(xiàng)B,函數(shù)為非奇非偶函數(shù),故錯(cuò)誤;選項(xiàng)C,函數(shù)是以1為周期的周期函數(shù),故正確;選項(xiàng)D,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),但在整個(gè)定義域范圍上不具備單調(diào)性,故錯(cuò)誤.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)題干的理解,屬于函數(shù)新定義問(wèn)題,可作出圖象分析性質(zhì),屬于較難題.12、B【解析】試題分析:由程序框圖可知:①,;②,;③,;④,;⑤,.第⑤步后輸出,此時(shí),則的最大值為15,故選B.考點(diǎn):程序框圖.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、.【解析】試題分析:∵,,成等差數(shù)列,∴,又∵等比數(shù)列,∴.考點(diǎn):等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質(zhì),屬于容易題,在解題過(guò)程中,需要建立關(guān)于等比數(shù)列基本量的方程即可求解,考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想與方程思想.14、【解析】
利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式,列出方程組,求出首項(xiàng)和公差的值,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,可求出的表達(dá)式,然后利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求出的最大值.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,解得,所以,數(shù)列的通項(xiàng)公式為;(2),,令,則且,,由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減,在時(shí)單調(diào)遞增,當(dāng)或時(shí),取得最大值為.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和的求法,考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.15、【解析】
根據(jù)三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體,結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的體積.【詳解】根據(jù)三視圖知,該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體,如圖所示:結(jié)合圖中數(shù)據(jù),計(jì)算它的體積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三視圖求簡(jiǎn)單組合體的體積應(yīng)用問(wèn)題,是基礎(chǔ)題.16、1【解析】
由正弦定理,結(jié)合,,可求出;由三角形面積公式以及角A的范圍,即可求出面積的最大值.【詳解】因?yàn)?,所以由正弦定理可得,所?所以,當(dāng),即時(shí),三角形面積最大.故答案為(1).1(2).【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形的問(wèn)題,熟記正弦定理以及三角形面積公式即可求解,屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)根據(jù)題意,連接交于,連接,利用三角形全等得,進(jìn)而可得結(jié)論;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量求得平面的法向量,進(jìn)而可得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:連接交于,連接,,≌,且,面面,面,(2)取中點(diǎn),連,.由,面面面,又由,以分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,,,為面的一個(gè)法向量,設(shè)面的法向量為,依題意,即,令,解得,所以,平面的法向量,,又因二面角為銳角,故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意中位線和向量法的合理運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.18、(1)直線l的普通方程為x+y-4=0.曲線C的直角坐標(biāo)方程是圓:(x-)2+(y-1)2=4.(2)4【解析】
(1)將直線l參數(shù)方程中的消去,即可得直線l的普通方程,對(duì)曲線C的極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以,利用可得曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)求出點(diǎn)到直線的距離,再求出的弦長(zhǎng),從而得出△MON的面積.【詳解】解:(1)由題意有,得,x+y=4,直線l的普通方程為x+y-4=0.因?yàn)棣眩?sin所以ρ=2sinθ+2cosθ,兩邊同時(shí)乘以得,ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ,因?yàn)椋詘2+y2=2y+2x,即(x-)2+(y-1)2=4,∴曲線C的直角坐標(biāo)方程是圓:(x-)2+(y-1)2=4.(2)∵原點(diǎn)O到直線l的距離直線l過(guò)圓C的圓心(,1),∴|MN|=2r=4,所以△MON的面積S=|MN|×d=4.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的極坐標(biāo)方程與普通方程、參數(shù)方程與普通方程的互化知識(shí),解題的關(guān)鍵是正確使用這一轉(zhuǎn)化公式,還考查了直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí).19、(1);(2)見(jiàn)解析.【解析】
(1)將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有解,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題;(2)將所證不等式轉(zhuǎn)化為,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為,然后再通過(guò)構(gòu)造加以證明即可.【詳解】(1),根據(jù)題意,在內(nèi)存在單調(diào)減區(qū)間,則不等式在上有解,由得,設(shè),則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,所以當(dāng)時(shí),,所以存在,使得成立,所以的取值范圍為。(2)當(dāng)時(shí),,則,從而所證不等式轉(zhuǎn)化為,不妨設(shè),則不等式轉(zhuǎn)化為,即,即,令,則不等式轉(zhuǎn)化為,因?yàn)椋瑒t,從而不等式化為,設(shè),則,所以在上單調(diào)遞增,所以即不等式成立,故原不等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,這里要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn),在證明不等式時(shí),通常是構(gòu)造函數(shù),將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值或最值來(lái)處理,本題是一道有高度的壓軸解答題.20、(1)當(dāng)時(shí),遞增區(qū)間時(shí),無(wú)遞減區(qū)間,當(dāng)時(shí),遞增區(qū)間時(shí),遞減區(qū)間時(shí);(2)或.【解析】
(1)求出,對(duì)分類討論,先考慮(或)恒成立的范圍,并以此作為的分類標(biāo)準(zhǔn),若不恒成立,求解,即可得出結(jié)論;(2)有解,即,令,轉(zhuǎn)化求函數(shù)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,根據(jù)(1)中的結(jié)論,即可求解.【詳解】(1),當(dāng)時(shí),恒成立,當(dāng)時(shí),,綜上,當(dāng)時(shí),遞增區(qū)間時(shí),無(wú)遞減區(qū)間,當(dāng)時(shí),遞增區(qū)間時(shí),遞減區(qū)間時(shí);(2),令,原方程只有一個(gè)解,只需只有一個(gè)解,即求只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí),的取值范圍,由(1)得當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增,且,函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),原方程只有一個(gè)解,當(dāng)時(shí),由(1)得在出取得極小值,也是最小值,當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),原方程只有一個(gè)解,當(dāng)且遞增區(qū)間時(shí),遞減區(qū)間時(shí);,當(dāng),有兩個(gè)零點(diǎn),即原方程有兩個(gè)解,不合題意,所以的取值范圍是或.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及到單調(diào)性、零點(diǎn)、極值最值,考查分類討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.21、(1);(2)【解析】分析:(1)將代入函數(shù)解析式,求得,利用零點(diǎn)分段將解析式化為,然后利用分段函數(shù),分情況討論求得不等式的解集為;(2)根據(jù)題中所給的,其中一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)可以去掉,不等式可以化為時(shí),分情況討論即可求得結(jié)果.詳解:(1)當(dāng)時(shí),,即故不等式的解集為.(2)當(dāng)時(shí)成立等價(jià)于當(dāng)時(shí)成立.若,則當(dāng)時(shí);若,的解集為,所以,故.綜上,的取值范圍為.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)絕對(duì)值不等式的解法,以及含參的絕對(duì)值的式子在某個(gè)區(qū)間上恒成立求參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題,在解題的過(guò)程中,需要會(huì)用零點(diǎn)分段法將其化為分段函數(shù),從而將不等式轉(zhuǎn)化為多個(gè)不等式組來(lái)解決,關(guān)于第二問(wèn)求參數(shù)的取值范圍時(shí),可以應(yīng)用題中所給的自變量的范圍,去掉一個(gè)絕對(duì)值符號(hào),
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