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河南省洛陽市名校2025屆高考數(shù)學(xué)全真模擬密押卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,,則等于().A. B. C. D.2.設(shè)則以線段為直徑的圓的方程是()A. B.C. D.3.已知直四棱柱的所有棱長(zhǎng)相等,,則直線與平面所成角的正切值等于()A. B. C. D.4.下列判斷錯(cuò)誤的是()A.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則B.已知直線平面,直線平面,則“”是“”的充分不必要條件C.若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布:,則D.是的充分不必要條件5.設(shè)遞增的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知,,則()A.9 B.27 C.81 D.6.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.已知函數(shù)與的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為的交點(diǎn),若函數(shù)的圖象的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋逗?,得到的函?shù)在有且僅有5個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是()A. B.C. D.8.已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a5=16,a3a4=﹣32,則S8=()A.﹣21 B.﹣24 C.85 D.﹣859.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則()A. B. C.7 D.210.曲線在點(diǎn)處的切線方程為,則()A. B. C.4 D.811.閱讀名著,品味人生,是中華民族的優(yōu)良傳統(tǒng).學(xué)生李華計(jì)劃在高一年級(jí)每周星期一至星期五的每天閱讀半個(gè)小時(shí)中國(guó)四大名著:《紅樓夢(mèng)》、《三國(guó)演義》、《水滸傳》及《西游記》,其中每天閱讀一種,每種至少閱讀一次,則每周不同的閱讀計(jì)劃共有()A.120種 B.240種 C.480種 D.600種12.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道算術(shù)題:“今有物不知其數(shù),三三數(shù)之余二,五五數(shù)之余三,問物幾何?”人們把此類題目稱為“中國(guó)剩余定理”,若正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為,則記為,例如.現(xiàn)將該問題以程序框圖的算法給出,執(zhí)行該程序框圖,則輸出的等于().A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.14.已知向量,且向量與的夾角為_______.15.在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,若,且,則面積的最大值為________.16.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,,,,,E,F(xiàn)分別為,的中點(diǎn),,則球O的體積為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)己知,函數(shù).(1)若,解不等式;(2)若函數(shù),且存在使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是菱形,∠,是邊長(zhǎng)為2的正三角形,,為線段的中點(diǎn).(1)求證:平面平面;(2)若為線段上一點(diǎn),當(dāng)二面角的余弦值為時(shí),求三棱錐的體積.19.(12分)某地為改善旅游環(huán)境進(jìn)行景點(diǎn)改造.如圖,將兩條平行觀光道l1和l2通過一段拋物線形狀的棧道AB連通(道路不計(jì)寬度),l1和l2所在直線的距離為0.5(百米),對(duì)岸堤岸線l3平行于觀光道且與l2相距1.5(百米)(其中A為拋物線的頂點(diǎn),拋物線的對(duì)稱軸垂直于l3,且交l3于M
),在堤岸線l3上的E,F(xiàn)兩處建造建筑物,其中E,F(xiàn)到M的距離為1
(百米),且F恰在B的正對(duì)岸(即BF⊥l3).(1)在圖②中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,并求棧道AB的方程;(2)游客(視為點(diǎn)P)在棧道AB的何處時(shí),觀測(cè)EF的視角(∠EPF)最大?請(qǐng)?jiān)冢?)的坐標(biāo)系中,寫出觀測(cè)點(diǎn)P的坐標(biāo).20.(12分)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,若(1)求角的大?。?)若,求的周長(zhǎng)21.(12分)如圖,在四邊形中,,,.(1)求的長(zhǎng);(2)若的面積為6,求的值.22.(10分)已知拋物線C:x24py(p為大于2的質(zhì)數(shù))的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F且斜率為k(k0)的直線交C于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線交y軸于點(diǎn)E,拋物線C在點(diǎn)A,B處的切線相交于點(diǎn)G.記四邊形AEBG的面積為S.(1)求點(diǎn)G的軌跡方程;(2)當(dāng)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí),S是否為整數(shù)?若是,請(qǐng)求出所有滿足條件的S的值;若不是,請(qǐng)說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
由已知條件利用誘導(dǎo)公式得,再利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和象限角的符號(hào),即可得到答案.【詳解】由題意得,又,所以,結(jié)合解得,所以,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及三角函數(shù)的符號(hào)與位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
計(jì)算的中點(diǎn)坐標(biāo)為,圓半徑為,得到圓方程.【詳解】的中點(diǎn)坐標(biāo)為:,圓半徑為,圓方程為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.3、D【解析】
以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為x軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.求解平面的法向量,利用線面角的向量公式即得解.【詳解】如圖所示的直四棱柱,,取中點(diǎn),以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為x軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè),則,.設(shè)平面的法向量為,則取,得.設(shè)直線與平面所成角為,則,,∴直線與平面所成角的正切值等于故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了向量法求解線面角,考查了學(xué)生空間想象,邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.4、D【解析】
根據(jù)正態(tài)分布、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項(xiàng)分布及不等式的性質(zhì)等知識(shí),依次對(duì)四個(gè)選項(xiàng)加以分析判斷,進(jìn)而可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng),若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性,有,故選項(xiàng)正確,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng),已知直線平面,直線平面,則當(dāng)時(shí)一定有,充分性成立,而當(dāng)時(shí),不一定有,故必要性不成立,所以“”是“”的充分不必要條件,故選項(xiàng)正確,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng),若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布:,則,故選項(xiàng)正確,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng),,僅當(dāng)時(shí)有,當(dāng)時(shí),不成立,故充分性不成立;若,僅當(dāng)時(shí)有,當(dāng)時(shí),不成立,故必要性不成立.因而是的既不充分也不必要條件,故選項(xiàng)不正確,符合題意.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項(xiàng)分布及不等式的性質(zhì)等知識(shí),考查理解辨析能力與運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
根據(jù)兩個(gè)已知條件求出數(shù)列的公比和首項(xiàng),即得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q.由,得,解得或.因?yàn)?且數(shù)列遞增,所以.又,解得,故.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.6、A【解析】
試題分析:由題意可得:.共軛復(fù)數(shù)為,故選A.考點(diǎn):1.復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算;2.以及復(fù)平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)的關(guān)系7、A【解析】
根據(jù)題意,,求出,所以,根據(jù)三角函數(shù)圖像平移伸縮,即可求出的取值范圍.【詳解】已知與的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為的交點(diǎn),則,,,,,若函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?,則,所以當(dāng)時(shí),,在有且僅有5個(gè)零點(diǎn),,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)、三角函數(shù)的平移伸縮以及零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.8、D【解析】
由等比數(shù)列的性質(zhì)求得a1q4=16,a12q5=﹣32,通過解該方程求得它們的值,求首項(xiàng)和公比,根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解答即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,∵a5=16,a3a4=﹣32,∴a1q4=16,a12q5=﹣32,∴q=﹣2,則,則,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,根據(jù)等比數(shù)列建立條件關(guān)系求出公比是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)并結(jié)合已知可求出,再利用等差數(shù)列性質(zhì)可得,即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?,所以,所以,故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
求函數(shù)導(dǎo)數(shù),利用切線斜率求出,根據(jù)切線過點(diǎn)求出即可.【詳解】因?yàn)?,所以,故,解得,又切線過點(diǎn),所以,解得,所以,故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,切線方程,屬于中檔題.11、B【解析】
首先將五天進(jìn)行分組,再對(duì)名著進(jìn)行分配,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果.【詳解】將周一至周五分為組,每組至少天,共有:種分組方法;將四大名著安排到組中,每組種名著,共有:種分配方法;由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的閱讀計(jì)劃共有:種本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查排列組合中的分組分配問題,涉及到分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,易錯(cuò)點(diǎn)是忽略分組中涉及到的平均分組問題.12、C【解析】從21開始,輸出的數(shù)是除以3余2,除以5余3,滿足條件的是23,故選C.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先求得與關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有交點(diǎn),即方程有解.對(duì)分成三種情況進(jìn)行分類討論,由此求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為,因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),所以與的圖象有交點(diǎn),方程有解.時(shí)符合題意.時(shí)轉(zhuǎn)化為有解,即,的圖象有交點(diǎn),是過定點(diǎn)的直線,其斜率為,若,則函數(shù)與的圖象必有交點(diǎn),滿足題意;若,設(shè),相切時(shí),切點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,解得,切線斜率為,由圖可知,當(dāng),即時(shí),,的圖象有交點(diǎn),此時(shí),與的圖象有交點(diǎn),函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),綜上可得,實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的零點(diǎn)以及對(duì)稱性,函數(shù)與方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生分析問題,解決問題的能力,推理與運(yùn)算求解能力,轉(zhuǎn)化與化歸思想和應(yīng)用意識(shí).14、1【解析】
根據(jù)向量數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】解:∵向量,且向量與的夾角為,∴||;所以:?()2cos2﹣2=1,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的定義,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
利用正弦定理將角化邊得到,再由余弦定理得到,根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系表示出,最后利用面積公式得到,由基本不等式求出的取值范圍,即可得到面積的最值;【詳解】解:∵在中,,∴,∴,∴,∴.∵,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,∴,∴面積的最大值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形,三角形面積公式的應(yīng)用,以及基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.16、【解析】
可證,則為的外心,又則平面即可求出,的值,再由勾股定理求出外接球的半徑,最后根據(jù)體積公式計(jì)算可得.【詳解】解:,,,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以為的外心,因?yàn)?,所以點(diǎn)在內(nèi)的投影為的外心,所以平面,平面,所以,所以,又球心在上,設(shè),則,所以,所以球O體積,.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球體積的求法,考查空間想象能力與思維能力,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)零點(diǎn)分段解不等式即可(2)等價(jià)于,由,得不等式即可求解【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),由,解得;當(dāng)時(shí),由,解得;當(dāng)時(shí),由,解得.綜上可知,原不等式的解集為.(2).存在使得成立,等價(jià)于.又因?yàn)?,所以,?解得,結(jié)合,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法,考查不等式恒成立及最值,考查轉(zhuǎn)化思想,是中檔題18、(1)見解析;(2).【解析】
(1)先證明,可證平面,再由可證平面,即得證;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè),求解面的法向量,面的法向量,利用二面角的余弦值為,可求解,轉(zhuǎn)化即得解.【詳解】(1)證明:因?yàn)槭钦切危瑸榫€段的中點(diǎn),所以.因?yàn)槭橇庑?,所以.因?yàn)?,所以是正三角形,所以,所以平面.又,所以平面.因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?)由(1)知平面,所以,.而,所以,.又,所以平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則.于是,,.設(shè)面的一個(gè)法向量,由得令,則,即.設(shè),易得,.設(shè)面的一個(gè)法向量,由得令,則,,即.依題意,即,令,則,即,即.所以.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量和立體幾何綜合,考查了面面垂直的判斷,二面角的向量求解,三棱錐的體積等知識(shí)點(diǎn),考查了學(xué)生空間想象,邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.19、(1)見解析,,x[0,1];(2)P(,)時(shí),視角∠EPF最大.【解析】
(1)以A為原點(diǎn),l1為x軸,拋物線的對(duì)稱軸為y軸建系,設(shè)出方程,通過點(diǎn)的坐標(biāo)可求方程;(2)設(shè)出的坐標(biāo),表示出,利用基本不等式求解的最大值,從而可得觀測(cè)點(diǎn)P的坐標(biāo).【詳解】(1)以A為原點(diǎn),l1為x軸,拋物線的對(duì)稱軸為y軸建系由題意知:B(1,0.5),設(shè)拋物線方程為代入點(diǎn)B得:p=1,故方程為,x[0,1];(2)設(shè)P(,),t[0,],作PQ⊥l3于Q,記∠EPQ=,∠FPQ=,,令,,則:,當(dāng)且僅當(dāng)即,即,即時(shí)取等號(hào);故P(,)時(shí)視角∠EPF最大,答:P(,)時(shí),視角∠EPF最大.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐曲線的實(shí)際應(yīng)用,理解題意,構(gòu)建合適的模型是求解的關(guān)鍵,涉及最值問題一般利用基本不等式或者導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行求解,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).20、(1)(2)11【解析】
(1)利用二倍角公式將式子化簡(jiǎn)成,再利用兩角和與差的余弦公式即可求解.(2)利用余弦定理可得,再將平方,利用向量數(shù)量積可得,從而可求周長(zhǎng).【詳解】由題解得,所以由余弦定理,,再由解得:所以故的周長(zhǎng)為【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理解三角形、兩角和與差的余弦公式、需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.21、(1)(2)【解析】
(1)利用余弦定理可得的長(zhǎng);(2)利用面積得出,結(jié)合正弦定理可得.
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