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北京市西城區(qū)第14中學(xué)2025屆高三最后一模數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖,在正四棱柱中,,分別為的中點(diǎn),異面直線與所成角的余弦值為,則()A.直線與直線異面,且 B.直線與直線共面,且C.直線與直線異面,且 D.直線與直線共面,且2.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)利用暑假游玩某風(fēng)景名勝大峽谷,四人各自去景區(qū)的百里絕壁、千丈瀑布、原始森林、遠(yuǎn)古村寨四大景點(diǎn)中的一個(gè),每個(gè)景點(diǎn)去一人.已知:①甲不在遠(yuǎn)古村寨,也不在百里絕壁;②乙不在原始森林,也不在遠(yuǎn)古村寨;③“丙在遠(yuǎn)古村寨”是“甲在原始森林”的充分條件;④丁不在百里絕壁,也不在遠(yuǎn)古村寨.若以上語(yǔ)句都正確,則游玩千丈瀑布景點(diǎn)的同學(xué)是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的,則輸出的()A.9 B.31 C.15 D.634.已知雙曲線(,),以點(diǎn)()為圓心,為半徑作圓,圓與雙曲線的一條漸近線交于,兩點(diǎn),若,則的離心率為()A. B. C. D.5.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,過(guò)原點(diǎn)O作斜率為的直線交C的右支于點(diǎn)A,若|OA|=|OF|,則雙曲線的離心率為()A. B. C.2 D.+16.已知,,,則的最小值為()A. B. C. D.7.執(zhí)行程序框圖,則輸出的數(shù)值為()A. B. C. D.8.若變量,滿足,則的最大值為()A.3 B.2 C. D.109.當(dāng)輸入的實(shí)數(shù)時(shí),執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的不小于103的概率是()A. B. C. D.10.設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則a的值為()A. B.3 C.1 D.11.已知函數(shù),,若方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)根,則的取值范圍為()A. B.C. D.12.把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象.給出下列四個(gè)命題①的值域?yàn)棰诘囊粋€(gè)對(duì)稱軸是③的一個(gè)對(duì)稱中心是④存在兩條互相垂直的切線其中正確的命題個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在平面四邊形中,點(diǎn),是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,,記和的面積分別為,,則______.14.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則_________.15.已知關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________16.若函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像.則在區(qū)間上的最小值為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù)不存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為,,求的最小值.18.(12分)已知在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的焦點(diǎn)為為橢圓上任意一點(diǎn),且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線交橢圓于兩點(diǎn),且滿足(分別為直線的斜率),求的面積為時(shí)直線的方程.19.(12分)如圖,四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,在銳角中,E是邊PD上一點(diǎn),且.(1)求證:平面ACE;(2)當(dāng)PA的長(zhǎng)為何值時(shí),AC與平面PCD所成的角為?20.(12分)2018年反映社會(huì)現(xiàn)實(shí)的電影《我不是藥神》引起了很大的轟動(dòng),治療特種病的創(chuàng)新藥研發(fā)成了當(dāng)務(wù)之急.為此,某藥企加大了研發(fā)投入,市場(chǎng)上治療一類慢性病的特效藥品的研發(fā)費(fèi)用(百萬(wàn)元)和銷量(萬(wàn)盒)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:研發(fā)費(fèi)用(百萬(wàn)元)2361013151821銷量(萬(wàn)盒)1122.53.53.54.56(1)求與的相關(guān)系數(shù)精確到0.01,并判斷與的關(guān)系是否可用線性回歸方程模型擬合?(規(guī)定:時(shí),可用線性回歸方程模型擬合);(2)該藥企準(zhǔn)備生產(chǎn)藥品的三類不同的劑型,,,并對(duì)其進(jìn)行兩次檢測(cè),當(dāng)?shù)谝淮螜z測(cè)合格后,才能進(jìn)行第二次檢測(cè).第一次檢測(cè)時(shí),三類劑型,,合格的概率分別為,,,第二次檢測(cè)時(shí),三類劑型,,合格的概率分別為,,.兩次檢測(cè)過(guò)程相互獨(dú)立,設(shè)經(jīng)過(guò)兩次檢測(cè)后,,三類劑型合格的種類數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望.附:(1)相關(guān)系數(shù)(2),,,.21.(12分)已知分別是內(nèi)角的對(duì)邊,滿足(1)求內(nèi)角的大小(2)已知,設(shè)點(diǎn)是外一點(diǎn),且,求平面四邊形面積的最大值.22.(10分)如圖,點(diǎn)為圓:上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)分別作軸,軸的垂線,垂足分別為,,連接延長(zhǎng)至點(diǎn),使得,點(diǎn)的軌跡記為曲線.(1)求曲線的方程;(2)若點(diǎn),分別位于軸與軸的正半軸上,直線與曲線相交于,兩點(diǎn),且,試問(wèn)在曲線上是否存在點(diǎn),使得四邊形為平行四邊形,若存在,求出直線方程;若不存在,說(shuō)明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
連接,,,,由正四棱柱的特征可知,再由平面的基本性質(zhì)可知,直線與直線共面.,同理易得,由異面直線所成的角的定義可知,異面直線與所成角為,然后再利用余弦定理求解.【詳解】如圖所示:連接,,,,由正方體的特征得,所以直線與直線共面.由正四棱柱的特征得,所以異面直線與所成角為.設(shè),則,則,,,由余弦定理,得.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線的定義及所成的角和平面的基本性質(zhì),還考查了推理論證和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.2、D【解析】
根據(jù)演繹推理進(jìn)行判斷.【詳解】由①②④可知甲乙丁都不在遠(yuǎn)古村寨,必有丙同學(xué)去了遠(yuǎn)古村寨,由③可知必有甲去了原始森林,由④可知丁去了千丈瀑布,因此游玩千丈瀑布景點(diǎn)的同學(xué)是丁.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查演繹推理,掌握演繹推理的定義是解題基礎(chǔ).3、B【解析】
根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)的運(yùn)算,直至滿足條件退出循環(huán)體,即可得出結(jié)果.【詳解】執(zhí)行程序框;;;;;,滿足,退出循環(huán),因此輸出,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果,模擬程序運(yùn)行是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
求出雙曲線的一條漸近線方程,利用圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點(diǎn),且,則可根據(jù)圓心到漸近線距離為列出方程,求解離心率.【詳解】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線與圓交于,因?yàn)椋詧A心到的距離為:,即,因?yàn)?,所以解得.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,屬于中檔題.對(duì)于離心率求解問(wèn)題,關(guān)鍵是建立關(guān)于的齊次方程,主要有兩個(gè)思考方向,一方面,可以從幾何的角度,結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)以及題目中的幾何關(guān)系建立方程;另一方面,可以從代數(shù)的角度,結(jié)合曲線方程的性質(zhì)以及題目中的代數(shù)的關(guān)系建立方程.5、B【解析】
以為圓心,以為半徑的圓的方程為,聯(lián)立,可求出點(diǎn),則,整理計(jì)算可得離心率.【詳解】解:以為圓心,以為半徑的圓的方程為,聯(lián)立,取第一象限的解得,即,則,整理得,則(舍去),,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是中檔題.6、B【解析】,選B7、C【解析】
由題知:該程序框圖是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值,計(jì)算程序框圖的運(yùn)行結(jié)果即可得到答案.【詳解】,,,,,滿足條件,,,,,滿足條件,,,,,滿足條件,,,,,滿足條件,,,,,不滿足條件,輸出.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu),屬于簡(jiǎn)單題.8、D【解析】
畫出約束條件的可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解最大值即可.【詳解】解:畫出滿足條件的平面區(qū)域,如圖示:如圖點(diǎn)坐標(biāo)分別為,目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為,可行域內(nèi)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方,由圖可知到原點(diǎn)的距離最大,故.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.9、A【解析】
根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的運(yùn)行,直至不滿足條件退出循環(huán)體,求出的范圍,利用幾何概型概率公式,即可求出結(jié)論.【詳解】程序框圖共運(yùn)行3次,輸出的的范圍是,所以輸出的不小于103的概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果、幾何概型的概率,模擬程序運(yùn)行是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
整理復(fù)數(shù)為的形式,由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)可知實(shí)部為0,虛部不為0,即可求解.【詳解】由題,,因?yàn)榧兲摂?shù),所以,則,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)范圍,考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算.11、B【解析】
由題意可將方程轉(zhuǎn)化為,令,,進(jìn)而將方程轉(zhuǎn)化為,即或,再利用的單調(diào)性與最值即可得到結(jié)論.【詳解】由題意知方程在上恰有三個(gè)不相等的實(shí)根,即,①.因?yàn)椋偈絻蛇呁?,?所以方程有三個(gè)不等的正實(shí)根.記,,則上述方程轉(zhuǎn)化為.即,所以或.因?yàn)?,?dāng)時(shí),,所以在,上單調(diào)遞增,且時(shí),.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,且時(shí),.所以當(dāng)時(shí),取最大值,當(dāng),有一根.所以恰有兩個(gè)不相等的實(shí)根,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.12、C【解析】
由圖象變換的原則可得,由可求得值域;利用代入檢驗(yàn)法判斷②③;對(duì)求導(dǎo),并得到導(dǎo)函數(shù)的值域,即可判斷④.【詳解】由題,,則向右平移個(gè)單位可得,,的值域?yàn)?①錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,所以是函數(shù)的一條對(duì)稱軸,②正確;當(dāng)時(shí),,所以的一個(gè)對(duì)稱中心是,③正確;,則,使得,則在和處的切線互相垂直,④正確.即②③④正確,共3個(gè).故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖像變換,考查代入檢驗(yàn)法判斷余弦型函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心,考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義的應(yīng)用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
依題意易得A、B、C、D四點(diǎn)共圓且圓心在x軸上,然后設(shè)出圓心,由圓的方程與橢圓方程聯(lián)立得到B的橫坐標(biāo),進(jìn)一步得到D橫坐標(biāo),再由計(jì)算比值即可.【詳解】因?yàn)?,所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓,直徑為,又A、C關(guān)于x軸對(duì)稱,所以圓心E在x軸上,設(shè)圓心E為,則圓的方程為,聯(lián)立橢圓方程消y得,解得,故B的橫坐標(biāo)為,又B、D中點(diǎn)是E,所以D的橫坐標(biāo)為,故.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓中的四點(diǎn)共圓及三角形面積之比的問(wèn)題,考查學(xué)生基本計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想,本題關(guān)鍵是求出B、D橫坐標(biāo),是一道有區(qū)分度的壓軸填空題.14、.【解析】
利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則首先可得出,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】∵復(fù)數(shù)滿足,∴,∴,故而可得,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
先換元,令,將原方程轉(zhuǎn)化為,利用參變分離法轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)的圖像交點(diǎn),觀察圖像,即可求出.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)解,令,所以方程在上只有一解,即有,直線與在的圖像有一個(gè)交點(diǎn),由圖可知,實(shí)數(shù)的取值范圍是,但是當(dāng)時(shí),還有一個(gè)根,所以此時(shí)共有3個(gè)根.綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的能力,方程有解問(wèn)題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)的圖像有交點(diǎn)問(wèn)題,是常見的轉(zhuǎn)化方式.16、【解析】
注意平移是針對(duì)自變量x,所以,再利用整體換元法求值域(最值)即可.【詳解】由已知,,,又,故,,所以的最小值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題,涉及到圖象的平移變換、輔助角公式的應(yīng)用,是一道基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】分析:(1)先求導(dǎo),再令在上恒成立,得到上恒成立,利用基本不等式得到m的取值范圍.(2)先由得到,再求得,再構(gòu)造函數(shù)再利用導(dǎo)數(shù)求其最小值.詳解:(1)由函數(shù)有意義,則由且不存在單調(diào)遞減區(qū)間,則在上恒成立,上恒成立(2)由知,令,即由有兩個(gè)極值點(diǎn)故為方程的兩根,,,則由由,則上單調(diào)遞減,即由知綜上所述,的最小值為.點(diǎn)睛:(1)本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值,考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)本題的難點(diǎn)有兩個(gè),其一是求出,其二是構(gòu)造函數(shù)再利用導(dǎo)數(shù)求其最小值.18、(1)(2)或【解析】
(1)根據(jù)橢圓定義求得,得橢圓方程;(2)設(shè),由得,應(yīng)用韋達(dá)定理得,代入已知條件可得,再由橢圓中弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng),原點(diǎn)到直線的距離,得三角形面積,從而可求得,得直線方程.【詳解】解:(1)據(jù)題意設(shè)橢圓的方程為則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)據(jù)得設(shè),則又原點(diǎn)到直線的距離解得或所求直線的方程為或【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓相交問(wèn)題.解題時(shí)采取設(shè)而不求思想,即設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為,直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得,把這個(gè)結(jié)論代入題中條件求得參數(shù),用它求弦長(zhǎng)等等,從而解決問(wèn)題.19、(1)證明見解析;(2)當(dāng)時(shí),AC與平面PCD所成的角為.【解析】
(1)連接交于,由相似三角形可得,結(jié)合得出,故而平面;(2)過(guò)作,可證平面,根據(jù)計(jì)算,得出的大小,再計(jì)算的長(zhǎng).【詳解】(1)證明:連接BD交AC于點(diǎn)O,連接OE,,,又平面ACE,平面ACE,平面ACE.(2),,平面PAD作,F(xiàn)為垂足,連接CF平面PAD,平面PAD.,有,,平面就是AC與平面PCD所成的角,,,,,,時(shí),AC與平面PCD所成的角為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定,線面垂直的判定與線面角的計(jì)算,屬于中檔題.20、(1)0.98;可用線性回歸模型擬合.(2)【解析】
(1)根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)求出,代入相關(guān)系數(shù)公式求出,根據(jù)的大小來(lái)確定結(jié)果;(2)求出藥品的每類劑型經(jīng)過(guò)兩次檢測(cè)后合格的概率,發(fā)現(xiàn)它們相同,那么經(jīng)過(guò)兩次檢測(cè)后,,三類劑型合格的種類數(shù)為,服從二項(xiàng)分布,利用二項(xiàng)分布的期望公式求解即可.【詳解】解:(1)由
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