內(nèi)蒙古2020年高考理科數(shù)學(xué)模擬試題及答案

（滿分150分，考試時間120分鐘）一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分,在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）.已知全集U=R,集合A={x|2\＞4},B={x|（x-l）（x-3）＜0},則（"）0"（）A.(1,2)B.(1,2]C.A.(1,2)B.(1,2]C.(1,3)D.(to,2]A.30°B.60°C.150°A.6B.24C.1205.已知等差數(shù)列{Q〃}的前曾項(xiàng)和為％,且。A.30°B.60°C.150°A.6B.24C.1205.已知等差數(shù)列{Q〃}的前曾項(xiàng)和為％,且。2=4,。4=2,則$5=（）A.0B.10C.15D.30.已知復(fù)數(shù)z=m+D（i-1）（i為虛數(shù)單位）在更平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線＞=2x上，則實(shí)數(shù)。的值5=60。,則C等于（.AA5C的內(nèi)角的對邊分別為5=60。,則C等于（D.30?；?50。D.720.已知直線，：4》-3》+6=0和拋物線口y2=4x,P為C上的一點(diǎn)，且P到直線I的距離與P到C的焦點(diǎn)距離相等，那么這樣的點(diǎn)P有（）A.0個 B.1個 C.2個 D.無數(shù)個.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積

A.3rr+9+2V'3 B.3n+6+2^3C.4tt+6+2v3 D.47r+6+4（3.從2個不同的紅球，2個不同的黃球，2個不同的藍(lán)球中任取兩個，放入顏色分別為紅、黃、藍(lán)的三個袋子中，每個袋子中至多放入1個球，且球的顏色與袋子的顏色不同，那么不同的放法有（）A.46種 B.36種C.72種D.42種.已知雙曲線C：匚一二=1（。>0/>0）的左焦點(diǎn)為尸，第二象限的點(diǎn)〃在雙曲線crtrC的漸近線上，且|OM|=。，若直線M尸的斜率為2,則雙曲線的漸近線方程為（）aA.y=±x B.y=±2xC.y=±3x D.y=±4xTOC\o"1-5"\h\z2n_1 321.已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式是/= 其前幾項(xiàng)和配=”，則項(xiàng)數(shù)n=“2n 64A.13 B.10 C.9 D.6（i\.已知/（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在。+8）單調(diào)遞增，設(shè)〃?=/log2-〃?=/（7一°」）,p=/（log425）,則〃7,〃,〃的大小關(guān)系為（）A.m>p>n B.p>/?>m C.p>m>n D./?>p>m.已知函數(shù)=/—at—1在區(qū)皿-1,1）內(nèi)存在極值點(diǎn)，且〃x）<0恰好有唯一整數(shù)解，則。的取值范圍是（其中e為自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828…）C. U（eTe） D.（e-l,e）2e-e）一/二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）.（1+X—展開式中的/的系數(shù)為.若向量。=（2,刈/=（-2,1）不共線，且（a+〃）_1（“一方），則〃必=TOC\o"1-5"\h\zs s.設(shè)等比數(shù)列｛Qn｝的前篦項(xiàng)和是1,若/=3,則設(shè)= .53 56.己知點(diǎn)力（0,1）,拋物線C：y2=ax（a>o）的焦點(diǎn)為匕連接凡4,與拋物線C相交于點(diǎn)M,延長凡4,與拋物線C的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N,若/M|：|MN|=1：3,則實(shí)數(shù)a的值為.三、解答題（共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答。）（一）必考題（共60分）.（本題滿分12分）27rA/1BC的內(nèi)角力，B,C的對邊分別為a,b,,已知2bsi〃C=acosC+ccosA,B=—,c=^3.3（I）求角C；（2）若點(diǎn)E滿足庇=2反，求8E的長..（本題滿分12分）如圖，在三棱錐P-4BC中,P41底面4BC,48=2/0=4/84。=120°,。為BC的中點(diǎn)（1）求證：AD1PB-（2）若二面角力-PB-C的大小為45、求三棱錐P-4BC的體積..（本題滿分12分）某快遞公司收取快遞費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過的包裹收費(fèi)10元；重量超過Mg的包裹，除1kg收費(fèi)10元之外，超過1kg的部分，每超出1kg（不足1kg時按1kg計算）需再收5元.公司從承攬過的包裹中，隨機(jī)抽取100件，其重量統(tǒng)計如下：包黑重Jg《單位：上/(0,53,2k(2,3k(3,4k14,5k包熏件數(shù)"43d30，15a8a4。公司又隨機(jī)抽取了60天的攬件數(shù)，得到頻數(shù)分布表如卜.:攬件數(shù)小[0,100)d[100；200)[200,300)[300；400)[400,500]<天數(shù)F30f12^6Q以記錄的60天的攬件數(shù)的頻率作為各攬件數(shù)發(fā)生的概率（1）計算該公司3天中恰有2天攬件數(shù)在［100,400）的概率；（2）估計該公司對每件包裹收取的快遞費(fèi)的平均值：（3）公司將快遞費(fèi)的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的用做其他費(fèi)用，目前前臺有工作人員3人，每人每天攬件不超過150件，每人每天工資100元，公司正在考慮是否將前臺工作人員裁減1人，試計算裁員前后公司每口利潤的數(shù)學(xué)期望，并判斷裁員是否對提高公司利潤有利（同一組中的攬件數(shù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)值作代表）.（本題滿分12分）Jv2 泛已知橢圓C：”十3=1（。＞例的離心率為二左、右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)M是橢圓C上異于A,B的一點(diǎn)，直線AM與y軸交于點(diǎn)P.（1）若點(diǎn)P在橢圓C的內(nèi)部，求直線AM的斜率的取值范闈；（2）設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)Q在y軸上，且AQIIBM,求證：NPFQ為定值..（本題滿分12分）己知函數(shù)/（x）=xlnx-a￥+l（a（1）討論/（x）在（Lko）上的零點(diǎn)個數(shù)；（2）當(dāng)時，若存在xe（L+s）,使〃x）＜（e—1）（。一3）,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.（。為自然對數(shù)的底數(shù)，其值為......）（二）選考題（共1。分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。）.【選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建坐標(biāo)系，已知曲線C：psiM9=2acosd（a＞0）,已知過點(diǎn)。（一2,一4）的直線/的參數(shù)方程為Jx=-2+,直線/與曲線C分別交于M，N兩點(diǎn)、.y=-4+2r(1)寫出曲線C和直線/的普通方程；(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列，求。的值..［選修4-5：不等式選講］(10分)設(shè)不等式+|x+2|<4的解集為M.⑴求集合M：(2)已知a,b€M,求證：|a-b|<(l—ab).參考答案一、選擇題二、填空題13.30 14.-31613.30 14.-316請三、解答題(1)由題設(shè)及正弦定理得=sinAcosC+sECcos/l,又sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sin(n-B)=sinB,所以2si%Bsi〃C=sinB.由于工0,則siM.C=g.n又因?yàn)镺vCVq,JTT所以C=￡.6bc(2)由正弦定理易知一方=—7=2/，解得b=3.sinBsmC又因?yàn)轲?2戌?，所以4E=^C=|b,即4E=2.在A/1BC中，因?yàn)锽=y,C=g所以3 6 671所以在中，力=—,AB=^/3,AE=2由余弦定理得BE=AB2+AE2-2ABAEcos^=所以BE=L(1)在△/IBC中，由余弦定理得BC2=4+16—2x2x4xcos120o=28,則因?yàn)?。為BC的中點(diǎn)，則90=CD=丫7因?yàn)轲?1麻+砌，則疝2=1(AP+的2=會屆2+m2+2加.疝')=-(4+16+2x2x4xcos1200)=3,所以40=丫8.因?yàn)?/d2=4+3=7=B/）2,則力Bl/W.因?yàn)镻4J■底面4BC,則/MJ.71D,所以力DJ■平面P4B,從而4D1PB.（2）分別以直線/以AD9/P為“軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)P4=a,則點(diǎn)8（2。。），D（0淄,0）,P（0,0。），所以前=（-2,強(qiáng)0）,BP=（-2,0,a）.設(shè)平面PBC的法向量為m=（叼孫則修：器二;，即｛二?玄？秋二/，2 2/3?。?再，則y=2,z=—所以m=（板,2,-^-）.因?yàn)榘硕?L0）為平面P/1B的法向量,|m-n|_|m-n|_y/2

|m|?|川2則|cos〈皿?1〉|=cos45Q=—,即2_窗所以77豆一萬,解得.2=12,所以P/1=q=2技1+/所以VpfBc=-xSaabcxP71=-x-x2x4xsml200x2書=4.484（1）樣本中包裹件數(shù)在［100,400）內(nèi)的天數(shù)為48,頻率為壽=三，6054可估計概率為＜未來3天中，包裹件數(shù)在［100,400）間的天數(shù)X服從二項(xiàng)分布,即X?故所求概率為P=6@2；=^；（2）樣本中快遞費(fèi)用及包裹件數(shù)如下表：包惠重量（單位：kg）/2口3n5-p快遞費(fèi)（單位:元）Q1g15。2g25。30。包募件數(shù)〃43口3皿15d加故樣本中每件快遞收取的費(fèi)用的平均值為_1x=x（10x43+15x30+20x15+25x8+30x4）=15（元）,故該公司對每件快遞收取的費(fèi)用的平均值可估計為15元.1（3）根據(jù)題意及（2）,攬件數(shù)每增加1,可使前臺工資和公司利潤增加15x3=5（元）,

將題目中的天數(shù)轉(zhuǎn)化為頻率，得包稟件數(shù)范圍0~100口101200。201?300。301?400。401—500^包稟件數(shù)（近似處理〉。50C150^250P350小450^天數(shù)/6小6d3OP12盧頻率。0」。0.2。0.143若不裁員，則每天可攬件的上限為450件，公司每口攬件數(shù)情況如下:包稟件數(shù)（近似處理）P5ap15Qq250。350q450P實(shí)際攬件數(shù)F50p15Qq250。350q450P頻率。O.WO.W0.5。0.2^Q.1Q50x0.1-150x0.1-250x0.54-350x0.2-450x0.1=260^故公司平均每口利潤的期望值為260x5-3X100=1000（元）；若裁員1人，則每天可攬件的上限為300件，公司每口攬件數(shù)情況如下:包稟件數(shù)《近似處理）/5a150。250中350。450。實(shí)際攬件數(shù)z50〃150，25皿3004300~頻率。Q.1Qg。&0.P之50x0.1-150x0.1-250x0.5-300x0.2^300x0.1=235^故公司平均每口利潤的期望值為235x5-2x100=975（元）因975＜1000,故公司將前臺工作人員裁員1人對提高公司利潤不利.（I）由題意可得c?=a2-2, =￡-=2,c=隹，.■.橢圓的方程為+仁=1,TOC\o"1-5"\h\za2 4 2設(shè)P（0,m）,由點(diǎn)P在橢圓C的內(nèi)部，得-隹＜m＜隹，又???A（-2,0）,???直線AM的斜率kAM=?J=]￡（-y，y）,又M為橢圓C上異于A,B的一點(diǎn)，蝕 J2???IcamE（ ,o）u（o,—）,\o"CurrentDocument"2 2x22（n）由題意F（42,0）,M（Xo,yo）,其中Xo，±2,則-+，=1,4 2直線AM的方程為丫二二;（x+2）,令x=0,得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,口二），x0+2 %+2tkBM=Por=kAQ=Por,二直線AQ的方程為丫=—^二（X+2）,》0-2 x0-2 %-2TOC\o"1-5"\h\z2yo 2yo 2yo令x=0,得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0, -）,由而二（一避，——pn=（-d， -）＞%一/ %+/y x0-zFpIpQ,即NPFQ=90°,-- 4/2FpIpQ,即NPFQ=90°,-fpV（?=2+^--= -A—=°，々?4 %-4故NPFQ為定值21.(1)由/(x)=xlnx-o￥+l=0得4=lnx+1,令g(x)=lnx+」，X .\因此討論了(X)在(1，帝)上的零點(diǎn)個數(shù)，即是討論直線＞'=。與曲線y=g(x)的交點(diǎn)個數(shù),1IY_1「g'(x)= 『二,g'(x)＞。在(1，+°°)上恒成立，Xr廠故g(x)=lnx+)在(L+oo)上單調(diào)遞增,g(x)e(L+s),又g(x)連續(xù)不斷，所以當(dāng)時，/(x)在(L+8)上無零點(diǎn)；當(dāng)。＞1時，f(X)在(1,+8)上存在一個零點(diǎn).(2)當(dāng)。＞1時，由(1)得/(X)在(1,包)上存在一個零點(diǎn)，由/'(%)=山工+1—4=。得工=中-1,由(1)可得/(X)在(l,e"T)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以/(')』=/(產(chǎn))=1—又存在xe(L+s)，使f(x)＜(e—1)(。一3)成立，所以，只需l-e“T?e—l)(a—3)成立，即，一］+(e—l)(a—3)—1＞0不等式成立,令h(x)=e