上海市虹口區(qū)2023-2024學年高一上學期期終學生學習能力診斷測試數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1上海市虹口區(qū)2023-2024學年高一上學期期終學生學習能力診斷測試數(shù)學試卷【注意】本試卷分A、B組題，請答題者務(wù)必看清自己應(yīng)答的試題．一、填空題（本大題滿分36分.）1.函數(shù)的定義域為__________．【答案】【解析】由題意函數(shù)有意義，當且僅當，解得，即函數(shù)的定義域為.故答案為：.2.若集合，則__________．【答案】【解析】由解得，即，所以.故答案為：.3.若一元二次不等式的解集為，則實數(shù)__________．【答案】【解析】根據(jù)題意可知方程的兩根分別為，根據(jù)韋達定理可知，.故答案為：.4.若扇形的圓心角是，其所在圓的半徑是2，則該扇形的面積為__________．【答案】【解析】由題意可得：該扇形的面積為.故答案為：.5.函數(shù)在區(qū)間上的最小值是__________．【答案】【解析】由于關(guān)于在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，關(guān)于在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值是.故答案為：.6.若實數(shù)和滿足，則__________．【答案】1【解析】因為，則，可得，所以.故答案為：1.7.已知，，若是的充分條件，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】由可得，則，解得，即，若是的充分條件，則是的子集，可得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.8.設(shè)，若冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，且在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，則實數(shù)__________．【答案】【解析】，若冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，則，又冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，則.故答案為：.9.（A組）若存在實數(shù)使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】因為，當且僅當時，等號成立，由題意可得，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.10.（B組）若表示不大于的最大整數(shù)，比如，則不等式的解集為__________．【答案】【解析】因為，所以，且，又因為表示不大于的最大整數(shù)，所以，所以不等式的解集為.故答案：.11.（A組）若表示不大于的最大整數(shù)，比如，則__________．【答案】3【解析】因為表示不大于的最大整數(shù)，所以，故答案為：3.12.（B組）已知定義在上的奇函數(shù)在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)．若對于任意的，總有成立，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】由題意定義在上的奇函數(shù)在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)，所以上嚴格單調(diào)遞減，所以，由題意若對于任意的，恒有成立，則恒成立，當時，有，滿足題意，當時，恒成立，此時，解得，滿足題意，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.13.（A組）設(shè)，若，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】因為在單調(diào)遞增，且，所以，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14.（B組）設(shè)，若實數(shù)滿足：，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】作出圖象，如圖所示：令，由圖可知：，且，解得，則，因為，則，可得，所以的取值范圍是.故答案為：.15.設(shè)，則函數(shù)的所有零點之和為__________．【答案】【解析】由一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知函數(shù)的圖象如圖所示：根據(jù)圖象可知共有個零點，且個零點關(guān)于對稱，所以零點之和為.故答案為：.二、選擇題（本大題滿分14分.）16.下列函數(shù)中與函數(shù)相同的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】選項A，，當時，，解析式與不同，A不正確；選項B，的定義域為，解析式為，定義域和解析式與相同，B正確；選項C，，該函數(shù)的定義域為，與函數(shù)的定義域不同，C不正確；選項D，，該函數(shù)的定義域為，與函數(shù)的定義域不同，D不正確.故選：B.17.若是任意實數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】結(jié)合題意：.故選：C.18.（A組）若在用二分法尋找函數(shù)零點的過程中，依次確定了零點所在區(qū)間為，則實數(shù)和分別等于（）A. B.2，3 C. D.【答案】A【解析】由函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在至多有一個零點，又由依次確定了零點所在區(qū)間為，可得，即，解得.故選：A.19.（B組）對于以下兩個結(jié)論，說法正確的是（）結(jié)論①：若函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則的充要條件是；結(jié)論②：若定義在上的函數(shù)滿足，則該函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)．A.①對②對 B.①對②錯 C.①錯②對 D.①錯②錯【答案】B【解析】結(jié)論①：若函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，當時，可以推出，當時，可以推出，故的充要條件是，①對；結(jié)論②：若定義在上的函數(shù)滿足，則，故不一定恒成立，也不一定恒成立，如函數(shù)，②錯.故選：B.20.對于以下兩個結(jié)論，說法正確的是（）結(jié)論①：設(shè)，若任取，且，則必有；結(jié)論②：設(shè)，則有對恒成立．A.①對②對 B.①對②錯 C.①錯②對 D.①錯②錯【答案】B【解析】對于①，因為在上是增函數(shù)，且在上也是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，則任取，且，必有，①正確；對于②，，②錯誤.故選：B.三、解答題（本大題滿分50分.）21.已知為實數(shù)，設(shè)集合．（1）當時，用區(qū)間表示集合；（2）設(shè)集合，若，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）當時，由，解得：，即.（2）由集合，可得，因為，且，所以，即，解得：.22.已知角的頂點在原點，始邊在軸的非負半軸．（1）若角的終邊過點，求的值；（2）若，求的值．解：（1）由三角函數(shù)的定義可得，若角的終邊過點，則.（2），，即，.23.（A組）某工廠為確定2024年A產(chǎn)品的生產(chǎn)總產(chǎn)量，調(diào)取了2020年至2023年近四年的A產(chǎn)品生產(chǎn)總產(chǎn)量萬件與其所需總成本萬元之間的對應(yīng)關(guān)系（如下表所示），以作為建立與之間函數(shù)關(guān)系的依據(jù)，進而實現(xiàn)估算預(yù)測．工廠稱此函數(shù)為“參照函數(shù)”．A產(chǎn)品生產(chǎn)總產(chǎn)量x（萬件）1234總成本y（萬元）12172532該工廠擬用如下三個函數(shù)解析式：①；②；③作為“參照函數(shù)”的備選．（1）該工廠應(yīng)選擇哪個函數(shù)解析式為“參照函數(shù)”最為合理？請說明理由：（2）根據(jù)（1）所選的“參照函數(shù)”，當該工廠預(yù)計2024年生產(chǎn)多少萬件A產(chǎn)品時，其單位成本（即總成本除以總產(chǎn)量）最低？并求出此最低單位成本．解：（1）由題意當時，和25比較近，但當時，和32相差很大，故排除③，通過表格發(fā)現(xiàn)當時，與的值分別相等，但當時，，當時，，通過比較發(fā)現(xiàn)，當時，函數(shù)模擬實際效果最好，綜上所述，工廠應(yīng)選擇②為“參照函數(shù)”最為合理.（2）由題意單位成本表達式為，由基本不等式得，當且僅當時，等號成立，此時單位成本最低為，即預(yù)計2024年生產(chǎn)3萬件A產(chǎn)品時，單位成本最低為8萬元.24.（B組）已知，其中是常數(shù)，．（1）判斷函數(shù)的奇偶性，請說明理由；（2）若對任意，均有，求所有滿足條件的實數(shù)的值．解：（1）依題意，函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，因為，，，由，得，即，所以，解得；由，得，即，所以，解得；所以當時，函數(shù)為奇函數(shù)；當時，函數(shù)為偶函數(shù)；當且時，函數(shù)為非奇非偶函數(shù).（2）因，所以可轉(zhuǎn)化為，即，又因為，所以，則：當時，，則由可得，又因為當時，，所以，即；當時，則由可得，故；當時，，則由可得，又因為當時，，所以，即；綜上所述，若對任意，均有，則滿足條件的實數(shù)的值為.25.（A組）已知，其中是常數(shù)，．（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求實數(shù)的值；（2）若對任意實數(shù)，均有，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）因為函數(shù)為奇函數(shù)，可得，即，解得，經(jīng)檢驗：當時，，滿足，所以當時，函數(shù)為奇函數(shù)，所以實數(shù)的值為.（2）由對任意實數(shù)，均有，即時，恒成立，即在上恒成立，令，設(shè)函數(shù)，因，當時，即時，的最大值為，可得，所以實數(shù)數(shù)的取值范圍為．26.（B組）若函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值的集合恰為，則稱區(qū)間為的一個“區(qū)間”．設(shè)．（1）試判斷區(qū)間是否為函數(shù)的一個“區(qū)間”，并說明理由；（2）求函數(shù)在內(nèi)的“區(qū)間”；（3）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的所有“區(qū)間”的并集記為．是否存在實數(shù)，使關(guān)于的方程在上恰有2個不同的實數(shù)解．若存在，試求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．解：（1）結(jié)合題意可得：，當時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以當時，，當或時，，故此時函數(shù)的值域為，而此時所以區(qū)間不是函數(shù)的一個“區(qū)間”.（2）設(shè)的“區(qū)間”為，則的值域為，此時在單調(diào)遞減，則，解得，所以的“區(qū)間”為.（3）由（2）知在上的“區(qū)間”為，當時，則，而函數(shù)在上的值域為，所以在上不存在這樣的區(qū)間，所以在上滿足條件的區(qū)間為，由，可得函數(shù)為奇函數(shù)，同理易得：當，的“區(qū)間”為，所以，要使關(guān)于的方程在上恰有2個不同的實數(shù)解，則當，，即且在單調(diào)遞減；當，，即，因為，所以不存在實數(shù)，使關(guān)于的方程在上恰有2個不同的實數(shù)解.27.若函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值的集合恰為，則稱區(qū)間為的一個“區(qū)間”．設(shè)．（1）若函數(shù)在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，請直接寫出區(qū)間（一個即可）；（2）試判斷區(qū)間是否為函數(shù)的一個“區(qū)