2024屆重慶某中學(xué)高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2024屆重慶實驗中學(xué)高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：木題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為()

A.16B.48C.96D.128

2.把函數(shù))，=sin(x+5)圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將圖象向右平移￡個單位，那么所

63

得圖象的一個對稱中心為()

A.(一,0)B.(一,0)C.(—,0)D.(0,0)

3412

3.AABC中，A8=3,BC=JF5,AC=4f則△ABC的面積是()

A?3、3B?-------Cz?3D?

4.己知函數(shù)/(x)=4sin(〃M+e)(A>O,0>O,[同<])的部分圖象如圖所示，且/(a+x)+/(a—x)=0,則同

的最小值為()

y

22

5.設(shè)K分別為雙曲線I一與二1（4>0,/>><））的左、右焦點,過點6作圓Y+），2=從的切線與雙曲線的左

ab~

支交于點P,若|空|=2|尸娟，則雙曲線的離心率為（）

A.V2B.&C.75D.76

6.要得到函數(shù)y=：cosx的圖象，只需將函數(shù)），=；sinf2x+g］的圖象上所有點的（）

A.橫坐標(biāo)縮短到原來的;（縱坐標(biāo)不變），再向左平移;個單位長度

B.橫坐標(biāo)縮短到原來的g（縱坐標(biāo)不變），再向右平移聿個單位長度

C.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移丁個單位長度

D.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移?個單位長度

7.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有芻費，下廣三丈，袤四丈，上妻二丈，

無廣，高二丈，問：積幾何?”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w，下底面寬3丈，長4丈，上棱長2丈，高

2丈，問：它的體積是多少?”已知I丈為10尺，該楔體的三視圖如圖所示，其中網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1,則該楔

體的體積為（〉

A.10000立方尺B.11000立方尺

C.12000立方尺D.13000立方尺

8.已知不重合的平面和直線/,貝代。//戶”的充分不必要條件是（）

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與夕平行B.ILa且“

C.且/，/D.a內(nèi)的任何直線都與萬平行

9.《九章算術(shù)》“少廣”算法中有這樣一個數(shù)的序列：列出“全步”（整數(shù)部分）及諸分子分母，以最下面的分母遍乘各

分子和“全步”，各自以分母去約其分子，將所得能通分之分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分約簡，又用最下面的分母去遍乘諸（未通者）

分子和以通之?dāng)?shù)，逐個照此同樣方法，直至全部為整數(shù)，例如：〃=2及〃=3時，如圖：

n=3

記3為每個序列中最后一列數(shù)之和，則§6為（）

A.147B.294C.882D.1764

10.若點（2,k倒直線5x?12y+6=0的距離是4,則k的值是（）

—17

A.1B.-3C.1或一D.?3或一

33

11.已知數(shù)列{q}是公差為"①工。）的等差數(shù)列，且4M3,4成等比數(shù)列，則}（）

A.4B.3C.2D.1

12.的展開式中的常數(shù)項為-12,則實數(shù)〃的值為（)

A.-2B.-3C.2D.3

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.己知集合U={135,9},A={1,3,9},B={1,9},則Cu（AUB）=.

14.已知復(fù)數(shù)z=（l+2，）（a+i）,其中i是虛數(shù)單位.若z的實部與虛部相等，則實數(shù)。的值為

15.在AA8C中，內(nèi)角A3,C所對的邊分別為。，Ac,

若2cos>4(Z>cosC+ccosB)=a=4\3,MBC的面積為，

貝,b+c=.

16.已知等比數(shù)列｛4｝的各項都是正數(shù)，且3%,g%,仞成等差數(shù)列，則例2（%+4）-例2（%+%）=?

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）在四棱錐P-ABCD中，底面48co是邊長為2的菱形，/BAD=120°,PA=2,PB=PC=PD,E是PB

的中點.

（1）證明：PAir^ABCD；

（2）設(shè)F是直線BC上的動點，當(dāng)點E到平面叩'距離最大時，求面QA尸與面E4C所成二面角的正弦值.

18.（12分）已知函數(shù)/（x）=e'-工+.

⑴若.丫產(chǎn)工2,且/（%）=/（￡），求證：/'

（2）若xwR時，恒有/（x）之;工2+〃（+力，求而+〃的最大值.

19.（12分）已知橢圓C:5+y2=i,點P5,光）為半圓/+），2=3（）,20）上一動點，若過尸作橢圓。的兩切線分

別交x軸于M、N兩點.

（1）求證：PMA.PN；

（2）當(dāng)/￡-1,1時，求的取值范圍.

20.（12分）在世界讀書日期間，某地區(qū)調(diào)查組對居民閱讀情況進(jìn)行了調(diào)查，獲得了一個容量為200的樣本，其中城

鎮(zhèn)居民140人，農(nóng)村居民60人.在這些居民中，經(jīng)常閱讀的城鎮(zhèn)居民有100人，農(nóng)村居民有30人.

（1）填寫下面列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān)？

城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計

經(jīng)常閱讀10030

不經(jīng)常閱讀

合計200

（2）調(diào)查組從該樣本的城鎮(zhèn)居民中按分層抽樣抽取出7人，參加一次閱讀交流活動，若活動主辦方從這7位居民中隨

機選取2人作交流發(fā)言，求被選中的2位居民都是經(jīng)常閱讀居民的概率.

n(ad-bc)2

附：K2=,其中〃=a+〃+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

21.（12分）已知函數(shù)=函數(shù)g（x）=-21+3.

（I）判斷函數(shù)/（x）=/（x）+g〃g（x）的單調(diào)性；

（U）若一24。工一1時，對任意與々￡[1，2],不等式區(qū)”氯X）-雙々）|恒成立，求實數(shù)，的最小值.

22.（10分）中國古建筑中的窗飾是藝術(shù)和技術(shù)的統(tǒng)一體，給人于美的享受.如圖（1）為一花窗；圖（2）所示是一

扇窗中的一格，呈長方形，長30cm,寬26cm,其內(nèi)部窗芯（不含長方形邊框）用一種條形木料做成，由兩個菱形和

六根支條構(gòu)成，整個窗芯關(guān)于長方形邊框的兩條對稱軸成軸對稱.設(shè)菱形的兩條對角線長分別為xcm和ycm,窗芯

所需條形木料的長度之和為L.

圖1

（1）試用x,y表示L；

（2）如果要求六根支條的長度均不小于2cm,每個菱形的面積為130cm2,那么做這樣一個窗芯至少需要多長的條形

木料（不計柳卯及其它損耗）？

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】

列出每一次循環(huán)，直到計數(shù)變量i滿足i>3退出循環(huán).

【詳解】

第一次循環(huán):S=2,(l+l)=4,/=2；第二次循環(huán)：5=4+22(1+2)=16,i=3；

第三次循環(huán)：5=16+23(1+3)=48,i=4,退出循環(huán)，輸出的S為48?

故選：B.

【點睛】

本題考杳由程序框圖求輸出的結(jié)果，要注意在哪一步退出循環(huán)，是一道容易題.

2、D

【解析】

試題分析：把函數(shù)>'=sin"+鄉(xiāng))圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，可得)，=sin(!x+[)的圖象;

再將圖象向右平移￡個單位，可得y=sin[《(x-g)+g]=sin《x的圖象，那么所得圖象的一個對稱中心為(0,0),

32362

故選D.

考點：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).

3、A

【解析】

由余弦定理求出角A,再由三角形面積公式計算即可.

【詳解】

+5"汨4ABZ+ACZ-BC21

由余弦定理得：cosA=----------------------=—,

2ABAC2

又萬)，所以得A=g,

故AABC的面積S=L-A8?AC?sin4=36.

2

故選：A

【點睛】

本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，三角形的面積公式，考查了學(xué)生的運算求解能力.

4、A

【解析】

。是函數(shù)fM的零點，根據(jù)五點法求出圖中零點及）'軸左邊第一個零點可得.

【詳解】

由題意?7=?一鄉(xiāng)，/=乃，?,?函數(shù)/（%）在）'軸右邊的第一個零點為[+￡=m，在y軸左邊第一個零點是

41266412

717171

-=9

6412

???時的最小值是名

故選：A.

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的周期性，考查函數(shù)的對稱性.函數(shù)/'Cv）=Asin（5+0）的零點就是其圖象對稱中心的橫坐標(biāo).

5、C

【解析】

設(shè)過點￡作圓/+>2=從的切線的切點為了，根據(jù)切線的性質(zhì)可得。7_LP/"且|。7|二〃，再由|P周=2|尸用和

雙曲線的定義可得|「￡|二2〃,|「6|二4〃，得出了為中點，則有。T//P6，得到尸即可求解.

【詳解】

設(shè)過點E作圓/+），2=/的切線的切點為了，

22

OT±/^,|FiT\=7lOF,I-b=a

|P周=2|「周,|P周一|尸￡|=2"明|=4,|尸耳|=2m

所以T是中點，...07〃P6，，P￡-LPK，

22

:]PF^+\PF2|=20a=|耳鳥|=4C2,

2

—=5,:.e=\[5?

cr

故選:C.

【點睛】

本題考查雙曲線的性質(zhì)、雙曲線定義、圓的切線性質(zhì)，意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計算能力，屬于中檔題.

6、C

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換與參數(shù)之間的關(guān)系，即可容易求得.

【詳解】

為得到gCOM=Esin冗

x+—

2)

將），二1sin+yI橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）,

故可得），=

再將），二:sin[x+g]向左平移J個單位長度，

2k3；6

出1.（7T\（乃）1

故可得3?=—sinx+—+—=—sinx+—\=—cosx.

2I36j2I2j2

故選：C.

【點睛】

本題考杳三角函數(shù)圖像的平移，涉及誘導(dǎo)公式的使用，屬基礎(chǔ)題.

7、A

【解析】

由題意，將楔體分割為三棱柱與兩個四棱錐的組合體，作出幾何體的直觀圖如圖所示:

沿上棱兩端向底面作垂面，且使垂面與上棱垂直,

則將幾何體分成兩個四棱錐和1個直三棱柱，

則三棱柱的洋氏二=6,

四棱錐的體積匚.=:乂/*二“二二二,

由三視圖可知兩個四棱錐大小相等，二二二一二二二位方丈=1%為立方尺.

故選A.

【點睛】本題考查三視圖及幾何體體積的計算，其中正確還原幾何體，利用方格數(shù)據(jù)分割與計算是解題的關(guān)鍵.

8、B

【解析】

根據(jù)充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，依次判斷每個選項得到答案.

【詳解】

A.。內(nèi)有無數(shù)條直線與月平行，則相交或排除；

B.lA_a且/JL〃，故當(dāng)不能得到/_La且/，夕，滿足；

C.aLy且/_L/?,alIpt則相交或a//〃，排除；

D.a內(nèi)的任何直線都與夕平行，故。//尸，若。///，則a內(nèi)的任何直線都與夕平行，充要條件，排除.

故選：B.

【點睛】

本題考查了充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.

9、A

【解析】

根據(jù)題目所給的步驟進(jìn)行計算，由此求得§6的值.

【詳解】

依題意列表如下：

上列乘6上列乘5上列乘2

163060

_1_

31530

2

2

21020

3

J_215

15

42~2

26

612

55

1_

1510

6

所以56=60+30+20+15+12+10=147.

故選：A

【點睛】

本小題主要考查合情推理，考查中國古代數(shù)學(xué)文化，屬于基礎(chǔ)題.

10、D

【解析】

|2x5-12Z+6|

由題得二4,解方程即得k的值.

對+(-⑵2

【詳解】

|2x5-12Z+6|17

由題得=4,解方程即得k=-3或k.

/2+(—12》3

故答案為：D

【點睛】

⑴本題主要考查點到直線的距離公式，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和計算推理能力.(2)點P[/,)b)到直線

/:Ar+8v+C=0的距離〃=包;”廣￡1.

y/A2+B2

11、A

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列公式直接計算得到答案.

【詳解】

由4，%，,成等比數(shù)列得城=4/6,即(q+2")2=q(q+5d),己知〃工0,解得號=4.

故選；z4.

【點睛】

本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的基本量的計算，意在考查學(xué)生的計算能力.

12、C

【解析】

先研究的展開式的通項，再分(產(chǎn)+〃)中，取/和“兩種情況求解.

【詳解】

因為1-1的展開式的通項為

57

所以(一+。)已一1)的展開式中的常數(shù)項為：X2(-1)3C^-2+^(-1)=-10-?=-12,

解得。=2,

故選：c.

【點睛】

本題主要考查二項式定理的通項公式，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、{5}

【解析】

易得AUB=A={1,3,9},則Cu(AUB)={5}.

14、-3

【解析】

直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡，結(jié)合已知條件即可求出實數(shù)。的值.

【詳解】

解：z=(l+2i)(a+i)=(a-2)+(1+%)i的實部與虛部相等，

所以“一2=1+2小計算得出3.

故答案為：-3

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的乘法運算和復(fù)數(shù)的概念.屬于基礎(chǔ)題.

15、-7

3

【解析】

(1)由已知及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得2cosAsinA=sinA,從而求得

cosA=l,結(jié)合范圍AE(O,")，即可得到答案

(2)運用余弦定理和三角形面積公式，結(jié)合完全平方公式，即可得到答案

【詳解】

(1)由已知及正弦定理可得

2cosA(sinBcosC+sinCcosB)=sinA,可得：2cosAsin(8+C)=sinA

解得2cosAsinA=sinA,即cosA=，

2

'/AG(0,%)，

3

（2）由面積公式可得：3>/3=-i/?c'sinA=~^~^cf即。。=12

由余弦定理可得：13=〃2+C2—2/MCOS4

即有13=（〃+—3bc=（b+c）2-36

解得〃+c=7

【點睛】

本題主要考查了運用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形，題目較為基礎(chǔ)，只要按照題意運用公式即可求出答案

16、-2

【解析】

根據(jù)等差中項性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列通項公式即可求得公比；代入表達(dá)式，結(jié)合對數(shù)式的化簡即可求解.

【詳解】

等比數(shù)列｛4｝的各項都是正數(shù)，且成等差數(shù)列，

則%=3%+4",

由等比數(shù)列通項公式可知〃闖2=3〃闖+4q,

所以g2_3q_4=0,

解得9=4或q=-l（舍），

所以由對數(shù)式運算性質(zhì)可得

bg式％+/）一/嗅（。4+。5）

4+%

聞31

=^2-%q4■+—54q■二/唯q一

,1C

=log2-=-2

故答案為：-2.

【點睛】

本題考查了等差數(shù)列通項公式的簡單應(yīng)用，等比數(shù)列通項公式的用法，對數(shù)式的化簡運算，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)證明見解析(2)巫

7

【解析】

(1)取BC中點用，連接根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)進(jìn)行證明即可；

(2)根據(jù)面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，可以確定點8到直線的距離即為點8到平面P4廠的距離，結(jié)合垂線

段的性質(zhì)可以確定點E到平面以b的距離最大，最大值為L

以A為坐標(biāo)原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-pz.利用空間向量夾角公式，結(jié)合同角

的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

(1)證明：取中點連接尸

因為四邊形A8CO為菱形且NBAD=120°.

所以AM_L4C,

因為PB=PC,所以PM_LAC,

又=

所以8CJ_平面因為B4u平面BAM,

所以以J_8C.

同理可證Q4J_￡>C,

因為￡>CIBC=C,

所以B4_L平面A8CQ.

(2)解：由(1)得PA_L平面ABCQ,

所以平面平面P4bc平面ABCQ=Ab.

所以點5到直線AF的距離即為點8到平面Q4F的距離.

過3作4戶的垂線段，在所有的垂線段中長度最大的為AB=2,此時A尸必過0c的中點，

因為E為心中點，所以此時，點E到平面PAF的距離最大,最大值為L

以A為坐標(biāo)原點，直線八反A尸分別為戈,)，二軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)--，z.

則A(0,0,0),C(73,l,0),E(OJJ),B(0,2,0)

所以AC=(6,1,0),AE=(0,1,1),AB=(0,2,0)

平面PAP'的一個法向量為AB=(0,2,0),

設(shè)平面的法向量為〃=（x,y,z）,

則[留〃二°，即!△+'=（），

[AE-n=0,1y+z=0,

取y=l,則〃=（—弓』,—i）,

?■V21

cos<n,AB>=-----------=-----,

\n\\AB\7

所以sin<〃,AB>=-cos2<小AB>=-,

所以面勿尸與面E4C所成二面角的正弦值為—.

7

【點睛】

本題考查了線面垂直的判定定理和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了二面角的向量求法，考查了推理論證能力和數(shù)學(xué)運算能力.

18、（1）見解析；（2）二.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)y=/（x）的單調(diào)性，并設(shè)內(nèi)<工2,則x<o,x2>o,將不等式/（工產(chǎn)）<。等價轉(zhuǎn)化為

證明玉十七<0,構(gòu)造函數(shù)”（x）=/（》）-〃r）,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)y=〃（x）在區(qū)間（-00,0）上的單調(diào)性，通過推

導(dǎo)出/?（4）<0來證得結(jié)論；

（2）構(gòu)造函數(shù)G（x）=，-x—ar,對實數(shù)。分。<-1、。=一1、a>-\,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)），=G（x）的單調(diào)性，

求出函數(shù)y=G（x）的最小值，再通過構(gòu)造新函數(shù)0（。二」—“Mr,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)），二°。）的最大值，可得出

ab+b的最大值.

【詳解】

x

（1）f\x）=e-\+x9r（x）=e'4-l>0,所以,函數(shù)>=/'（"單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)1<0時，/'（kVO,此時，函數(shù)y=〃x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x〉0時，Z（x）>0,此時，函數(shù)），=/（x）單調(diào)遞增.

/\

要證尸認(rèn)廣<0,即證玉+出《0.

不妨設(shè)王〈工2，則玉<0，x2>or

下證￡<一%，即證/(%)=/(/)</(一王)，

構(gòu)造函數(shù)，?(x)=/(x)—/(-，)=/_X+/r―'+x+—x2=e"—€x—2x(x<0),

hf(x)=+e-x-2>2ylexe-x-2=0,所以，函數(shù)y=〃("在區(qū)間(一%。)上單調(diào)遞增,

/./?(^)<0,即/4)一/(一%)<0,即/(W)=/(xJ</(rJ，

vx2>0,-x]>0且函數(shù)》=/(”在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以&<-%,即凡+七<0，故結(jié)論成立；

(2)由/(x)Ngx2+or+〃恒成立，得"一xNor+b恒成立，

令G(x)="-x-or,則G\x)=ex-\-a.

①當(dāng)av-1時，對任意的XER,G(X)>0,函數(shù))，=G(x)在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)x-—8時，G(X)->YO,不符合題意；

②當(dāng)。二一1時，ab+b=0；

③當(dāng)a>—1時，令G'(x)>0,得x>ln(a+l),此時，函數(shù)y=G(x)單調(diào)遞增；

令G’(x)<0,得x<ln(〃+l),此時，函數(shù)y=G(x)單調(diào)遞減.

???G(x"n=G0n(a+l))=(a+l)-(a+l)ln(a+l).

.,.(6Z+l)Z?<(t74-l)2-(67+l)2ln(〃+l).

令/=々+1〉0,設(shè)°(f)=/一『hn,則“(f)=f(l-21nr).

當(dāng)0<u〈五時，。(/)>0,此時函數(shù)y二°。)單調(diào)遞增；

當(dāng)時，d(/)<0,此時函數(shù))，二°。)單調(diào)遞減.

所以，函數(shù)p=0。)在f=&處取得最大值，即

因此，(〃+1?的最大值為

【點睛】

本題考杳利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，同時也考杳了利用導(dǎo)數(shù)求代數(shù)式的最值，構(gòu)造新函數(shù)是解答的關(guān)鍵，考杳推理能力,

屬于難題.

19、（1）見解析；（2）[26,2指].

【解析】

（1）分兩種情況討論：①兩切線~W、PN中有一條切線斜率不存在時，求出兩切線的方程，驗證結(jié)論成立；②兩

切線PM、PN的斜率都存在，可設(shè)切線的方程為），一%=%（不一/），將該直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，由△=（）

可得出關(guān)于〃的二次方程，利用韋達(dá)定理得出兩切線的斜率之積為-1，進(jìn)而可得出結(jié)論；

（2）求出點M、N的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式結(jié)合韋達(dá)定理得出附及=244

『。）!；玉）,換元

-1,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得|"N|的取值范圍.

/=2-^G[1,2],可得出|MN|=2

【詳解】

（1）由于點P在半圓丁+丁=3（），20）上，則片+$=3.

①當(dāng)兩切線PM、PN中有一條切線斜率不存在時，可求得兩切線方程為1=上，＞=1或x=-&，y=l，此時

PM±PN；

②當(dāng)兩切線PM、尸N的斜率都存在時，設(shè)切線的方程為了一%=%（工一%）（PM、PN的斜率分別為匕、卜）,

'L六2區(qū);+%=(1+2公卜2+4〃(％_丘0)克+2(%_米。)2-2=0

△二164'()，0-5)2-4(1+2左可2(%-依))2-2卜0,

21c二

伙占,網(wǎng)==^^二T，

.?.(X；_22_2%+()，；_1)=0,.?.:.PM1PN.

綜上所述，PMCN；

（、,，、

⑵根據(jù)題意得M/-工。、,飛-普,0,

\k\）\ki）

"iK?I|卜％—TP同

令f=2-x；w[l,2],則即|=型-j）"+l）=2汽；+（）

所以，當(dāng)六時.叫皿=26，當(dāng)；;時，|政%=2百.

因此，|MN|的取值范圍是[2j5,2jT|.

【點睛】

本題考查橢圓兩切線垂直的證明，同時也考查了弦長的取值范圍的計算，考查計算能力，屬于中等題.

20、（1）見解析，有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān).（2）￡

21

【解析】

（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)得到列聯(lián)表，然后計算出長2,與臨界值表中的數(shù)據(jù)對照后可得結(jié)論；（2）由題意得概率為古典概

型，根據(jù)古典概型概率公式計算可得所求.

【詳解】

（1）由題意可得:

城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計

經(jīng)常閱讀10030130

不經(jīng)常閱讀403070

合計14060200

則心迎蟋*~77〉6635,

所以有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān).

（2）在城鎮(zhèn)居民140人中，經(jīng)常閱讀的有100人，不經(jīng)常閱讀的有40人.

采取分層抽樣抽取7人，則其中經(jīng)常閱讀的有5人，記為A、4、C、。、E;

不經(jīng)常反讀的有2人，記為X、r.

從這7人中隨機選取2人作交流發(fā)言，所有可能的情況為A8,AC,AD,AE,AX,AY，BC,BD,BE,BX，

BY,CD,CE,CX,CYtDE,OX,DY,EX,EYfXY,共21種，

被選中的2位居民都是經(jīng)常閱讀居民的情況有10種，

.??所求概率為尸=空.

21

【點睛】

本題主要考查古典概型的概率計算，以及獨立性檢驗的應(yīng)用，利用列舉法是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計算能力.

對于古典概型，要求事件總數(shù)是可數(shù)的，滿足條件的事件個數(shù)可數(shù)，使得滿足條件的事件個數(shù)除以總的事件個數(shù)即可,

屬于中檔題.

21、⑴故函數(shù)），=/（外在（0,j上單調(diào)遞增，在上單詭遞減;（2）｝

【解析】

試題分析:

(I)根據(jù)題意得到尸(X)的解析式和定義域，求導(dǎo)后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷單調(diào)性.(II)分析題意可得

/(工2)+爾(占)</(%)+吆(內(nèi))對任意一2工。工一1,14%4/42恒成立,構(gòu)造函數(shù)

h(x)=f(x)+tg(x)=Inx-—cix2+(l-2r)x+3r,則有/7'(1)=1一以+(1-2，)40對任意々￡卜2,-1］,xe［l,2］

2x

恒成立，然后通過求函數(shù)的最值可得所求.

試題解析:

I13

(I)由題意得意(x)=/(x)+—?g(x)=lrw--ax2+(l-a)^+-a,XG(0,-KO),

“⑺」………(~)z=(…)(川)

XXX

當(dāng)“WO時，F(xiàn)(x)>0,函數(shù)y=b(x)在(o,+x)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時，令9(x)>0,解得0<x<,；令b'(x)eO,解得

aa

故函數(shù)y=b(x)在［。，51>

上單調(diào)遞增，在一,+8上單調(diào)遞減.

a7

綜上，當(dāng)時，函數(shù)了=/(力在(0,+o。)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時，函數(shù)>=尸(五)在［。,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.

(II)由題意知/NO.

\］1-CIX~+X+1

f(X)=——O￥+l=----------,

,XX

當(dāng)—1時，函數(shù))，=〃”單調(diào)遞增.

不妨設(shè)1<X.<x2<2,又函數(shù)y=g(x)單調(diào)遞減，

所以原問題等價于：當(dāng)一24〃4一1時，對任意1<%?當(dāng)工2,不等式“七)一〃百)《“g(xj-g(“2)］恒成立，

即+吆(工2)4/(%)+吆(X)對任意_2〈a<_l,1?斗恒成立.

記〃(x)=/(x)+r^(x)=\nx-^ax2

-(1-2r)x+3rt

由題意得力(工)在［1,2］上單調(diào)遞減.

所以〃'（力=己一"+（1-21）$0對任意《￡卜2,-1］,xe［l,2］恒成立.

令"（4）=_工〃