現(xiàn)代控制理論-第二章-控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

現(xiàn)代控制理論ModernControlTheory講授：徐德剛Email:dgxu@中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系1DgXu第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

2.1基本概念2.2狀態(tài)空間表達(dá)式的建立2.3傳遞函數(shù)(矩陣)2.4組合系統(tǒng)

2.5(非奇異)線性變換2.6離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系2DgXu

2.1.3狀態(tài)空間表達(dá)式的狀態(tài)變量圖中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系3DgXu繪制步驟：（1） 繪制積分器

（2） 畫出加法器和放大器

（3） 用線連接各元件，并用箭頭 示出信號(hào)傳遞的方向。例2.1.1設(shè)一階系統(tǒng)狀態(tài)方程為則其狀態(tài)圖為中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系4DgXu例2.1.2設(shè)三階系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系5DgXu則其狀態(tài)圖為中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系6DgXu2.1.4由狀態(tài)空間描述求傳遞函數(shù)矩陣第j個(gè)輸入到第i個(gè)輸出之間的傳遞函數(shù)

設(shè)系統(tǒng)的初始條件為零拉氏變換第i個(gè)輸出第j個(gè)輸入系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣

有理分式為嚴(yán)格真的或真的

中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系7DgXu定理對(duì)于具有r維輸入m維輸出的n階線性定常系統(tǒng)，其狀態(tài)空間描述為它的傳遞函數(shù)矩陣可表示為證明輸入—狀態(tài)傳遞函數(shù)矩陣狀態(tài)—輸出傳遞函數(shù)矩陣中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系8DgXu取拉氏變換對(duì)式則得命題得證中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系9DgXu已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為例2.1.3試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：首先計(jì)算中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系10DgXu中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系11DgXu2.3.

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立建立狀態(tài)空間表達(dá)式的方法主要有兩種：一是直接根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)理建立相應(yīng)的微分方程或差分方程，繼而選擇有關(guān)的物理量作為狀態(tài)變量，從而導(dǎo)出其狀態(tài)空間表達(dá)式；二是由已知的系統(tǒng)其它數(shù)學(xué)模型經(jīng)過轉(zhuǎn)化而得到狀態(tài)達(dá)式。由于微分方程和傳遞函數(shù)是描述線性定常連續(xù)系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)模型，故我們將介紹已知

n

階系統(tǒng)微分方程或傳遞函數(shù)時(shí)導(dǎo)出狀態(tài)空間表達(dá)式的一般方法，以便建立統(tǒng)一的研究理論，揭示系統(tǒng)內(nèi)部固有的重要結(jié)構(gòu)特性。中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系12DgXu2.2.1.由物理機(jī)理直接建立狀態(tài)空間表達(dá)式：例2.2.1系統(tǒng)如圖所示選擇狀態(tài)變量：中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系13DgXu整理得：中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系14DgXu狀態(tài)方程為：輸出方程為：中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系15DgXu

寫成矩陣形式中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系16DgXu例2.2.4系統(tǒng)如圖取狀態(tài)變量:中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系17DgXu得：系統(tǒng)輸出方程為：中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系18DgXu寫成矩陣形式的狀態(tài)空間表達(dá)式為：中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系19DgXu2.2.2

由系統(tǒng)微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式按系統(tǒng)輸入量中是否含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)來分別研究。

1)系統(tǒng)輸入量中不含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。這種單輸入

單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)微分方程的一般形式為：式中，y，u

分別為系統(tǒng)的輸出、輸入量；a0,a1,…，an

1,

0

是由系統(tǒng)特性確定的常系數(shù)。由于給定

n

個(gè)初值：及

t≥0

的

u(t)

時(shí),

可惟一確定

t

>0

時(shí)系統(tǒng)的行為，可選取

n

個(gè)狀態(tài)變量為：，故式可化為：

中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系20DgXu

(2.3.4)其向量-矩陣形式為：

(2.3.5)

式中：中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系21DgXu例2.2.5已知系統(tǒng)輸入-輸出描述為試求其狀態(tài)空間描述。解：選取寫成向量形式中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系22DgXu

2)系統(tǒng)輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。這種單輸入-單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)微分方程的一般形式為：

(2.3.12)一般輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的次數(shù)小于或等于系統(tǒng)的階數(shù)n。首先研究

bn

0

的情況。為了避免在狀態(tài)方程中出現(xiàn)輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，可按如下規(guī)則選擇一組狀態(tài)變量，設(shè)：(2.3.13)其展開式為：中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系23DgXu

(2.3.14)式中

h0,h1,h2,…,hn-1是

n

個(gè)待定常數(shù)。由式(2.3.14)的第一個(gè)方程可得輸出方程：中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系24DgXu其余可得(n

1)個(gè)狀態(tài)方程：對(duì)

xn

求導(dǎo)數(shù)并考慮式

(2.3.12)

有：將均以

xi

及

u

的各階導(dǎo)數(shù)表示，經(jīng)整理可得：中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系25DgXu令上式中

u

的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為零，可確定各

h

值：中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系26DgXu記：則式

(2.3.12)

的向量-矩陣形式的動(dòng)態(tài)方程為：式中：中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系27DgXu當(dāng)bn=

0時(shí)，我們可以令上述公式中的

h0=0

得到所需要的結(jié)果，也可按如下規(guī)則選擇另一組狀態(tài)變量。設(shè)：

(2.315)其展開式為：中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系28DgXu故有

(n-1)

個(gè)狀態(tài)方程：對(duì)xl求導(dǎo)數(shù)且考慮式(2.3.12)，經(jīng)整理有：則式

(2.3.12)bn=0時(shí)的動(dòng)態(tài)方程為：

(2.3.16)式中：中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系29DgXu中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系30DgXu3)化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述由輸入-輸出描述求狀態(tài)空間描述的問題稱為實(shí)現(xiàn)問題而一切的代數(shù)上的等價(jià)系統(tǒng)具有相同的輸入輸出關(guān)系，所以其狀態(tài)空間描述不是唯一的。僅對(duì)實(shí)現(xiàn)單輸入-單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(A，B，C，D)具有代表性的方法。單輸入-單輸出線性定常系統(tǒng)，輸出和輸入之間的因果關(guān)系可用高階微分方程來描述

y：輸出變量，u：輸入變量傳遞函數(shù)來描述中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系31DgXu狀態(tài)空間描述因此由輸入-輸出描述求取狀態(tài)空間描述的問題，就歸結(jié)為適當(dāng)?shù)剡x取一組狀態(tài)變量和確定相應(yīng)的系數(shù)矩陣A，B，C，D的問題能觀型實(shí)現(xiàn)A：n×n矩陣B：m×1矩陣C：1×n矩陣D：標(biāo)量不包含輸入函數(shù)導(dǎo)數(shù)高階微分方程中，不包含輸入函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)則求狀態(tài)方程和輸出方程的步驟1.選取狀態(tài)變量可選為系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系32DgXu2.化高階微分方程為的一階微分方程組系統(tǒng)的輸出表達(dá)式為3.將方程組改寫為向量形式令狀態(tài)方程輸出方程中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系33DgXu包含輔入函數(shù)導(dǎo)數(shù)

則求狀態(tài)方程和輸出方程的步驟1.選取狀態(tài)變量通?？蛇x取輸出變量y和輸入變量u各階導(dǎo)數(shù)的適當(dāng)組合中間變量待定系數(shù)

中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系34DgXu對(duì)比等式的系數(shù)中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系35DgXu2.導(dǎo)出狀態(tài)變量的一階微分方程組和輸出表達(dá)式3.向量形式中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系36DgXu實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)變量圖中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系37DgXu例2.2.6解：已知系統(tǒng)輸入-輸出描述為試求其狀態(tài)空間描述。選取狀態(tài)方程和輸出方程中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系38DgXu實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)變量圖中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系39DgXu能控型實(shí)現(xiàn)式中令定義變量中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系40DgXu狀態(tài)變量其余n-1個(gè)狀態(tài)變量選為中南大學(xué)信息學(xué)院自動(dòng)化系41DgXu寫成矩陣形式矩陣A的最下面