高中數(shù)學(xué)知識點精講精析-中心投影與平行投影

1.1.3中心投影與平行投影1.投影是光線通過物體,向選定的面投射,并在該面上得到圖形的方法.這里的光線稱為投影線，被選定的面稱為投影面.2.常見的兩種投影方式：平行投影與中心投影平行投影：投影線互相平行的投影稱為平行投影.中心投影：投影線交于一點的投影稱為中心投影.平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點.平行投影的分類：按投影方向是否正對著投影面,可以把平行投影分為正投影與斜投影.3.點的平行投影：已知圖形，直線與平面相交，過上任何一點作直線平行于，交平面于，則叫做在平面內(nèi)關(guān)于直線的平行投影.4.圖形的平行投影：如果圖形的所有點在平面內(nèi)關(guān)于直線得到平行投影構(gòu)成圖形，則叫做圖形在平面內(nèi)關(guān)于直線的平行投影.平面叫做投射面，叫做投射線.5.平行投影的性質(zhì)：當圖形中的直線或線段不平行于投射線時，平行投影都具有以下性質(zhì)：①直線或線段的平行投影仍是直線或線段；②平行直線的平行投影是平行或重合的直線；③平行于投射面的線段，它的投影與這條線段平行且等長；④與投射面平行的平面圖形，它的圖形與這個圖形全等；⑤在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影長度的比等于這兩條線段長度之比.2.空間幾何體的三視圖將物體按正投影向投影面投影所得到的圖形，稱為視圖.光線自物體的前面向后投射所得的投影稱為主視圖或正視圖，自上向下的稱為俯視圖，自左向右的稱為側(cè)視圖.這三種視圖即可刻畫空間物體的集合結(jié)構(gòu)，稱為三視圖.1.空間幾何體的三視圖三視圖是觀測者從不同位置觀察同一個幾何體，畫出的空間幾何體的圖形.它具體包括：（1）正視圖：物體前后方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和長度；（2）側(cè)視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和寬度；（3）俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的長度和寬度；一個物體的三視圖的排列規(guī)則是：俯視圖放在正視圖的下面，長度與正視圖的長度一樣；側(cè)視圖放在正視圖的右面，高度與正視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣.為了便于記憶，通常說：“長對正，高平齊，寬相等”或“正側(cè)一樣高，正俯一樣高，俯側(cè)一樣寬”.2.柱.棱.臺.球的三視圖（1）圓柱的正視圖和側(cè)視圖都是矩形，俯視圖是一個圓.（2）圓錐的正視圖和側(cè)視圖都是三角形，俯視圖是圓和圓心.（3）圓臺的正視圖和側(cè)視圖都是等腰梯形，俯視圖是兩個同心圓.（4）球的三視圖都是圓.3.組合體的三視圖應(yīng)先分析組合體的組合形式，把組合體分解成基本的幾何體，在按基本幾何體畫圖，就可以畫出組合體的三視圖.4.三視圖的畫法步驟：（1）先確定主視圖的位置，分析幾何體的構(gòu)造，畫主視圖；（2）按“長對正”原則畫俯視圖；一般地，俯視圖畫在主視圖的正下方；（3）按“高平齊”原則畫左視圖；并注意左視圖與俯視圖“寬相等”；一般地，左視圖畫在主視圖的正右方注意：①若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，分界線和可見輪廓線都用實線畫出；②不可見輪廓線用虛線畫出典型例題例1（1）如圖，在正四面體A－BCD中，E.F.G分別是三角形ADC.ABD.BCD的中心，則△EFG在該正四面體各個面上的射影所有可能的序號是（）①①②③④（例1（1）題圖）A．①③B．②③④C．③④D．②④（2）（2000全國，16）如圖9—15（1），E.F分別為正方體的面ADD1A1.面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是圖9—15（2）的（要求：把可能的圖的序號都填上）（例1（2）題圖）解析：（1）正四面體各面的中點在四個面上的射影不可能落到正四面體的邊上，所以①②不正確，根據(jù)射影的性質(zhì)E.F.G.三點在平面ABC內(nèi)的射影形狀如“④”所示，在其它平面上的射影如“③”所示.答案：C；（2）答案：②③；解析：∵面BFD1E⊥面ADD1A1，所以四邊形BFD1E在面ADD1A1上的射影是③，同理，在面BCC1B1上的射影也是③.過E.F分別作DD1和CC1的垂線，可得四邊形BFD1E在面DCC1D1上的射影是②，同理在面ABB1A1，面ABCD和面A1B1C1點評：考查知識立足課本，對空間想象能力.分析問題的能力.操作能力和思維的靈活性等方面要求較高，體現(xiàn)了加強能力考查的方向.例1．（1）畫出下列幾何體的三視圖（例1（1（例1（1）題圖）（例1（1）題圖）（2）解析：這二個幾何體的三視圖如下（例1（1）題圖）（2）如圖，設(shè)所給的方向為物體的正前方，試畫出它的三視圖（單位：cm）（例（例1（2）題圖）點評：畫三視圖之前，應(yīng)把幾何體的