2024年人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè) 正方形(第二課時(shí))-1教案

教案教學(xué)基本信息課題正方形（第二課時(shí)）學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段：第三學(xué)段年級(jí)八年級(jí)教材書名：數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)出版社：人民教育出版社出版日期：教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)本節(jié)課是在學(xué)生獨(dú)立回顧正方形相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，建立正方形與特殊三角形之間的內(nèi)在聯(lián)系，從整體上認(rèn)識(shí)正方形的特征.通過(guò)正方形的性質(zhì)及相關(guān)問(wèn)題的解決，發(fā)展學(xué)生的合情推理和抽象概括能力，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力.本節(jié)課將通過(guò)三道例題幫助學(xué)生完成學(xué)習(xí)任務(wù).教學(xué)過(guò)程(表格描述)教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動(dòng)設(shè)置意圖引入在上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了正方形的定義，又從邊、角、對(duì)角線三個(gè)角度，類比矩形、菱形的性質(zhì)，研究了正方形的性質(zhì).還學(xué)習(xí)了正方形的判定方法.我們進(jìn)一步感受了從一般到特殊的研究方法.正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，還是更為特殊的平行四邊形.本節(jié)課，我們會(huì)進(jìn)一步研究正方形.回顧以往學(xué)習(xí)知識(shí)及經(jīng)驗(yàn).新課如圖，四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O.圖中共有多少個(gè)等腰直角三角形？一共有8個(gè)等腰直角三角形.△AOB≌△BOC≌△COD≌△DOA；△ABC≌△BCD≌△CDA≌△DAB.對(duì)比正方形和一般的平行四邊形，平行四邊形只是被對(duì)角線分成了4對(duì)全等的三角形.正方形中不止隱含著剛才分析的全等三角形，還能夠被對(duì)角線分出更為特殊的幾何圖形——等腰直角三角形，這樣就有特殊的角度45°.除正方形本身的四條邊都相等，對(duì)角線相等并且互相垂直平分以外，這里還隱含著直角三角形斜邊上的中線,與我們以前學(xué)過(guò)的很多知識(shí)產(chǎn)生了聯(lián)系，為我們解決正方形相關(guān)的問(wèn)題開(kāi)拓了思路.我們要利用好正方形與三角形的相互轉(zhuǎn)化.挖掘正方形的隱含條件，加深對(duì)正方形的認(rèn)識(shí).例題例如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，且BE＝AF，BF與CE相交于點(diǎn)G.CE與BF相等嗎？它們有什么位置關(guān)系？為什么？分析：四邊形ABCD是正方形△BCE≌△ABFCE與BF的關(guān)系解：CE=BF，CE⊥BF.證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠A＝90°，BC＝AB.∵BE＝AF，∴△BCE≌△ABF.∴CE＝BF，∠1＝∠2.∵∠1+∠3＝90°，∴∠2+∠3＝90°.∴∠BGC＝90°.∴CE⊥BF.反思：通過(guò)對(duì)正方形隱含條件的挖掘，得到了全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得到對(duì)應(yīng)邊相等對(duì)應(yīng)角相等.在本題中，如果在正方形的一組鄰邊上，有一組相等的線段BE＝AF，那么我們就可以發(fā)現(xiàn)正方形的內(nèi)部也有這樣的兩條線段CE與BF滿足相等且垂直的關(guān)系.這兩條線段關(guān)系的結(jié)論在很多問(wèn)題中，還可以進(jìn)一步去拓展和應(yīng)用.變式1如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E，M，N分別在AB，BC，AD上，CE⊥MN于點(diǎn)G.求證:CE＝MN.分析：利用正方形的性質(zhì)，得到全等三角形，從而證明兩條線段相等.反思：本題中，在正方形的內(nèi)部，當(dāng)CE與MN滿足了垂直關(guān)系時(shí)，我們還能得到它們是相等的.在學(xué)習(xí)變式的過(guò)程中，又給了我們不同的添加輔助線的方法.變式2如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)H在AD的延長(zhǎng)線上，CE⊥CH于點(diǎn)C.求證:CE＝CH.分析：利用正方形的性質(zhì)，得到全等三角形，從而證明兩條線段相等.反思：本題中，在正方形的外部，當(dāng)CE與CH滿足了垂直關(guān)系時(shí)，我們也能得到它們是相等的.例如圖，四邊形OBCD是正方形，O，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0，0)，(0，2).求B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo).分析：題目中需要求的是B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，具體的做法是：從這兩個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，分別求出這兩點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離.還要根據(jù)點(diǎn)所在的象限，確定符號(hào).解：∵四邊形OBCD是正方形，∴CB⊥x軸，CD⊥y軸，OB＝OD.∵點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0，2)，∴OD＝2.∴OB＝OD＝2.∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2，0).∵點(diǎn)C在第一象限，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2，2).反思：將正方形放到了平面直角坐標(biāo)系中.從正方形的四條邊都相等、四個(gè)角都是直角等性質(zhì)出發(fā)，結(jié)合坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的含義，運(yùn)用正方形的性質(zhì)，求出正方形頂點(diǎn)的坐標(biāo).同時(shí)，還要注意，我們?cè)趲缀沃星蟪龅氖蔷€段的長(zhǎng)度，在平面直角坐標(biāo)系中，求點(diǎn)的坐標(biāo)的時(shí)候，還要關(guān)注點(diǎn)所在的象限.例如圖，正方形ABCD的面積為16，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，BE與對(duì)角線AC交于點(diǎn)P，連接DP.求DP+EP的值.分析：利用正方形的對(duì)稱性，讓其中第一條線段轉(zhuǎn)化為BP，而B(niǎo)P與所求線段PE就共線了，它們的和是線段BE.再通過(guò)正方形的性質(zhì)和等腰三角形的定義就可以得到DP與EP的和.解：∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線，∴BP＝DP.∴DP+EP＝BP+EP＝BE.∵△ABE是等邊三角形，∴BE＝AB.∵正方形ABCD的面積為16，∴AB＝4.∴DP+EP＝BE＝4.反思：應(yīng)用正方形的軸對(duì)稱性，得到了線段間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)一步挖掘了正方形的隱含條件.通過(guò)這道例題，我們也感受到了正方形的軸對(duì)稱性的簡(jiǎn)潔和實(shí)用.通過(guò)例題，體會(huì)將正方形轉(zhuǎn)化為三角形的過(guò)程，應(yīng)用正方形的性質(zhì)解決問(wèn)題.通過(guò)例題，體會(huì)正方形在平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用，滲透數(shù)形結(jié)合思想.通過(guò)例題，感受正方形軸對(duì)稱性的簡(jiǎn)潔性.總結(jié)本節(jié)課，我們進(jìn)一步研究了正方形.由于它既是平行四邊形，又是矩形、菱形，因此它具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì).當(dāng)判定一個(gè)四邊形是正方形時(shí)，我們還要從它是矩形或者菱形的角度，添加條件去判定它是正方形.正方形是一種特殊的圖形，它除了四條邊都相等，四個(gè)角都相等以外，當(dāng)我們連接對(duì)角線時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)更為特殊的三角形——等腰直角三角形，它還隱含著特殊的角度45°，還可以與勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等知識(shí)相結(jié)合，為我們后續(xù)證明或者計(jì)算線段以及角有關(guān)的問(wèn)題，提供了更多的角度.對(duì)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)梳理提升.作業(yè)如圖，四邊