2024年人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)二次根式的綜合應(yīng)用-1教案

教案教學(xué)基本信息課題二次根式的綜合應(yīng)用學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段：第三學(xué)段年級(jí)初二年級(jí)教材書(shū)名：義務(wù)教育教科書(shū)八年級(jí)下冊(cè)出版社：人民教育出版社出版日期：教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)：1.能夠?qū)⒍胃脚c相關(guān)知識(shí)進(jìn)行適度的整合與拓展.2.運(yùn)用二次根式的運(yùn)算，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.3.在問(wèn)題解決的過(guò)程中，體會(huì)二次根式在解決實(shí)際問(wèn)題中的重要作用，并提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.教學(xué)重點(diǎn)：二次根式與相關(guān)知識(shí)的整合與拓展教學(xué)難點(diǎn)：二次根式比較大小的方法與依據(jù)教學(xué)過(guò)程(表格描述)教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動(dòng)設(shè)置意圖引入引言：二次根式這個(gè)概念主要是從算術(shù)平方根的意義上去認(rèn)識(shí)的，所以二次根式的概念更是算術(shù)平方根概念的一般化表示.到目前為止，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次根式的概念、二次根式的性質(zhì)、還有二次根式的運(yùn)算。那從研究事物的思路來(lái)看，我們接下來(lái)應(yīng)該研究二次根式的綜合應(yīng)用。引例：若一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為a，面積為S．你能說(shuō)出a與S的數(shù)量關(guān)系？；問(wèn)：這兩個(gè)式子有什么聯(lián)系與區(qū)別呢？學(xué)生可以從表示形式、計(jì)算結(jié)果分別討論分析。本章是初中階段“數(shù)與式”內(nèi)容的最后一章。體會(huì)整理“數(shù)與式”的內(nèi)容、方法和基本思想的必要性。從表示形式和計(jì)算結(jié)果兩個(gè)方面分析，體會(huì)開(kāi)平方運(yùn)算和平方運(yùn)算是互逆關(guān)系，滲透函數(shù)的思想新課例正方形的邊長(zhǎng)為acm,它的面積與長(zhǎng)為96cm、寬為12cm的長(zhǎng)方形的面積相等,求a的值.分析：從已知出發(fā)，看可知；從未知出發(fā)，找需知.等量關(guān)系：正方形的面積等于長(zhǎng)方形的面積.總結(jié)解題思路是：方程模型數(shù)學(xué)問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題方程模型數(shù)學(xué)問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題列方程：總結(jié)：二次根式的化簡(jiǎn)，一般先將被開(kāi)方數(shù)進(jìn)行因數(shù)分解或因式分解，然后將能開(kāi)的盡方的因數(shù)或因式開(kāi)出來(lái)，得到最簡(jiǎn)二次根式.變式正方形的面積為32cm2四個(gè)角上的小正方形的面積均為2cm2,求圖中線段a的長(zhǎng)度.分析：已知：大正方形的面積為32cm2，可知大正方形的邊長(zhǎng)為根號(hào)32，已知四個(gè)小正方形的面積均為2cm2，可知四個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為根號(hào)2，要求：圖中線段a的長(zhǎng)度，只需要用大正方形的邊長(zhǎng)－小正方形的邊長(zhǎng)的2倍，即可求出。解：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為xcm,小正方形的邊長(zhǎng)為ycm,總結(jié)列方程解決實(shí)際問(wèn)題的解題步驟可以為：審題（分析已知，未知，找等量關(guān)系）設(shè)未知數(shù)（直接設(shè)，間接設(shè)）列方程（利用等量關(guān)系列方程）、解方程、檢驗(yàn)（實(shí)際意義）、答題.例已知一個(gè)底面積為24cm2,長(zhǎng)、寬、高的比為4：2：1的長(zhǎng)方體，你能求出關(guān)于長(zhǎng)方體的哪些量？如：（1）這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是多少？（2）長(zhǎng)方體的表面積是多少？（3）長(zhǎng)方體的體積是多少？抽象小結(jié)：抽象方程模型實(shí)際問(wèn)題方程模型實(shí)際問(wèn)題降次降次例解方程：解方程：解方程組：總結(jié)：1、系數(shù)含有二次根式的一元一次方程與我們?cè)瓉?lái)接觸到一元一次方程解題步驟是一致,只在最后一步增加一個(gè)化為最簡(jiǎn)形式.2、系數(shù)含有二次根式的二元一次方程組的解題過(guò)程的解題方法：代入法和消元法；核心思想：消元.例比較大?。?1\*GB3①___=2\*GB3②___平方運(yùn)算=3\*GB3③___平方運(yùn)算正方形面積比較大小二次根式比較大小正方形面積比較大小二次根式比較大小轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想比較二次根式大小的思路步驟總結(jié)為：先將兩個(gè)二次根式分別平方，再比較兩個(gè)冪的大小，最后說(shuō)明原數(shù)的大小。比較依據(jù)：當(dāng)兩個(gè)數(shù)都為正數(shù)時(shí)，即a>0,b>0時(shí)，若a2>b2時(shí)，則a>b.；若a2〈b2時(shí)，則a〈b。例1是引例的變式，結(jié)合求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的運(yùn)算，體會(huì)二次根式乘法的應(yīng)用，簡(jiǎn)化運(yùn)算.總結(jié)二次根式化簡(jiǎn)得步驟.例1的變式，結(jié)合求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，體會(huì)二次根式的加減運(yùn)算.讓學(xué)生初步感受到二次根式計(jì)算在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.這是一個(gè)開(kāi)放性的問(wèn)題，學(xué)生見(jiàn)比設(shè)未知數(shù)，通過(guò)題目中的等量關(guān)系可列方程。分別求出長(zhǎng)寬高。進(jìn)而可以求出長(zhǎng)方體的表面積和體積。進(jìn)一步拓展方程類型若x2=a,則即x為a的平方根總結(jié):方程解法及依據(jù)，讓學(xué)生再次體會(huì)二次根式的運(yùn)算在方程中的應(yīng)用.通過(guò)二次根式與一元一次方程和二元一次方程組的整合，體會(huì)二次根式與整式的邏輯相容性.在前幾個(gè)例題都是從實(shí)際問(wèn)題中抽象出方程模型，而比較大小可以把數(shù)學(xué)問(wèn)題賦予一個(gè)實(shí)際背景轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題。從而總結(jié)出平方法比較二次根式的大小練習(xí)若我想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300cm2的長(zhǎng)方形紙片，使它的長(zhǎng)、寬比為3：2，不知道能否裁出來(lái)，你能幫我解決嗎？這是一道實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，是一道綜合題，既用到這節(jié)課拓展的方程，又用到了二次根式比較大小。通過(guò)回顧與反思將知識(shí)內(nèi)化、方法遷移，以實(shí)現(xiàn)自身知識(shí)體系的再完善和再提升這道題具有診斷評(píng)價(jià)的作用.小結(jié)我們一起回顧一下這節(jié)課的主要內(nèi)容，今天這節(jié)課把二次根式與方程、方程組進(jìn)行適度的拓展與整合，并會(huì)用平方運(yùn)算把比較二次根式的大小轉(zhuǎn)化解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，同時(shí)借助實(shí)際問(wèn)題的背景下梳理舊知，并發(fā)現(xiàn)一種新的方程形如：x2=a（a≥0）的形式，可以利用開(kāi)平方,降次直接解得.學(xué)生通過(guò)回顧與反思將知識(shí)內(nèi)化、方法遷移