2024年人教版初中數(shù)學七年級下冊 -垂線的概念與性質-1教案

教案教學基本信息課題垂線的概念與性質學科數(shù)學學段：第三學段年級七年級教材書名：數(shù)學七年級下冊出版社：人民教育出版社出版日期：教學目標及教學重點、難點本節(jié)課的內容是垂線的概念和性質．垂線有兩個性質，第一個性質是垂線的存在性和唯一性，這是垂線作圖的保證，第二個性質是“垂線段最短”．在教學過程中通過垂線性質的探究，發(fā)展學生空間觀念，體現(xiàn)幾何直觀．課堂中將通過三道例題幫助學生完成學習任務．教學過程(表格描述)教學環(huán)節(jié)主要教學活動設置意圖引入今天我們繼續(xù)來學習相交線中的有關內容：垂線的概念與性質．通過上節(jié)課的學習我們知道，“相交”是兩條直線的位置關系，體現(xiàn)在兩條直線相交所成的四個角的位置關系（即四對鄰補角、兩對對頂角），數(shù)量關系（即鄰補角互補、對頂角相等）．所以根據(jù)這些性質，在兩條直線相交所成的四個角中知道其中一個角的度數(shù)，我們就可以求其余三個角的度數(shù)，從而進行幾何中角的有關計算．請同學們想一想：這些知識我們是如何研究的呢？我們從“實際問題——定義——性質——應用”這一路徑進行研究解決問題的．對于一個數(shù)學對象，在研究了它的一般情形后，往往要看看是否存在值得研究的特殊情形．相交線中，你認為什么情況是特殊的？這個特殊情形又該怎樣研究呢？這節(jié)課我們就來繼續(xù)探究相關知識．復習舊知，引入新知新課一、垂線的概念1．情景引入：取兩根木條a，b，將它們釘在一起，固定木條a，轉動木條b．（1）如圖，兩根木條所成的角中，如果∠α=35°，其他三個角各等于多少度？（2）如果∠α等于m°，其他三個角各等于多少度？在木條轉動過程中，我們發(fā)現(xiàn)有一個位置是特殊的，也就是當∠α=90°時．同學們可以想一想，為什么我們說此時是一個特殊位置？一方面，當∠α=90°時，其他三個角也都等于90°，也就是這時四個角是相等的；另一方面，這種情況會出現(xiàn)幾次呢？我們可以看出，木條b在0到180度的旋轉過程中，這種情況只出現(xiàn)一次．而其他情況，比如四個角中有一個角是35°的情況，都會出現(xiàn)兩次，如圖所示．所以，我們把這種特殊情況稱為a與b互相垂直，也就是當∠α=90°時,a與b互相垂直．記作a⊥b．即垂直是相交的一種特殊情形．追問：（1）對于兩條直線互相垂直，你認為應研究哪些內容？按怎樣的路徑展開研究？（2）在兩條直線相交的基礎上，你認為應如何定義垂直？2．垂直的定義：當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．如圖1,直線a,b互相垂直,點O叫做垂足．直線a叫做直線b的垂線，直線b也叫做直線a的垂線．如圖2，直線AB、CD互相垂直,垂足為O．就是AB⊥CD或CD⊥AB，垂足為O．讀作：AB垂直于CD，垂足為O．如圖2，直線AB與CD相交于點O．如果∠AOC=90°，那么AB⊥CD．這個推理過程可以寫成下面的形式：因為∠AOC=90°，所以AB⊥CD（垂直的定義）．反過來，若AB⊥CD，垂足為O，那么∠AOC=90°．推理過程就是：因為AB⊥CD，所以∠AOC=90°（垂直的定義）．二、垂線的性質探究探究1：（1）用三角尺或量角器畫已知直線的垂線，這樣的垂線能畫幾條？（2）經(jīng)過直線l上一點A畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條?（3）經(jīng)過直線l外一點B畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條?結論：經(jīng)過一點（已知直線上或直線外），能畫出已知直線的一條垂線，并且只能畫出一條垂線．即在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．思考1：過一點畫線段、射線的垂線，應如何畫呢？如圖,請你過點P畫出線段AB或射線AB的垂線過一點作線段的垂線，垂足可以在線段上，也可以在線段的延長線上．所以大家在畫圖時要注意：畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線．思考2：如圖，在灌溉時，要把河中的水引到農田P處，如何挖渠能使渠道最短？此問題就是“直線外一點與已知直線上各點所連的線段中,哪條線段最短?”探究2：如圖，連接直線l外一點P與直線l上各點O，A1，A2，A3，…，其中，PO⊥l，這里PO為點P到直線l的垂線段．比較線段PO，PA1，PA2，PA3，…的長短，這些線段中，哪一條最短？結論：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．簡單說成：垂線段最短．直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．如圖，PO⊥l于點O，垂線段PO的長度叫做點P到直線l的距離．這里距離是指線段的長度，是一個數(shù)量概念．問題解決：現(xiàn)在你知道水渠該怎么挖了嗎？過點P作河道所在直線的垂線段PQ，則沿著線段PQ挖出的水渠道最短．舉例應用：體育課上測量跳遠成績．問題（1）復習鞏固鄰補角互補,對頂角相等的性質的運用．利用相交線的模型作演示，讓學生注意觀察，轉動木條b時，它和木條a互相垂直的位置有幾個？從而體會垂直是相交中特殊情形，認識垂線的唯一性．用圖形語言和符號語言表示垂直．通過三種語言描述垂直,體會從不同視角認識垂直．兩條直線相交形成的角中，無論哪一個角是直角，都可以判斷兩條直線互相垂直，反過來，兩條直線互相垂直，它們的四個交角都是直角．在小學知識的基礎上，通過畫圖、觀察、思考等活動，得到“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”這一基本事實．通過動手操作,體會垂線的存在性與唯一性,加深對這一基本事實的認識．通過現(xiàn)實生活中實例,進一步體會這一基本事實,從而發(fā)展空間想象能力、推理能力和抽象能力．結合圖形,進一步明確兩條線段垂直、兩條射線垂直、線段與射線垂直、線段與直線垂直、射線與直線垂直都是指它們所在的直線垂直．通過動手操作、結合生活中的實例以及圖形理解“點到直線的距離”的意義，認識垂線段與點到直線的距離的區(qū)別與聯(lián)系．掌握度量點到直線的距離的方法，并能正確度量點到直線的距離,從而發(fā)展空間想象能力．通過畫圖、測量、比較發(fā)現(xiàn)“垂線段最短”的性質．通過生活中的例子,體會這一性質的應用，從而發(fā)展空間想象能力、推理能力和抽象能力．例題例1如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥AB，垂足為O，∠AOC=55°，求∠EOD的度數(shù)．解：因為OE⊥AB，所以∠EOB=90°．(垂直的定義)因為∠BOD=∠AOC=55°，（對頂角相等）所以∠EOD=∠EOB+BOD=90+55°=145°．例2如圖，點A，O，B在同一條直線上，射線OD和射線OE分別平分∠AOC和∠BOC．試判斷射線OD與射線OE的位置關系．解：OD⊥OE，理由如下：因為點A，O，B在同一條直線上，所以∠AOB=180°．因為OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，即∠DOE=90°．所以OD⊥OE．例3如圖,三角形ABC中，∠C=90°．（1）點A到直線BC的距離是線段的長；點B到直線AC的距離是線段的長．（2）過點C作CD⊥AB，垂足為D，則線段AC，BC，CD中最短的是，理由是．分析：（1）根據(jù)點到直線的距離是點到直線的垂線段的長度，由∠C=90°，得到AC⊥BC，則點A到直線BC的距離是線段AC的長；點B到直線AC的距離是線段BC的長．（2）先根據(jù)題目要求，畫出圖形．由CD⊥AB，可知線段CD是點C到直線AB的垂線段，根據(jù)“垂線段最短”，線段AC，BC，CD中最短的是線段CD．綜合運用對頂角、鄰補角以及垂直的概念進行幾何計算．加深對垂直的判定的理解．在綜合圖形中進一步理解點到直線的距離的概念，增強識圖的能力．進一步體會“垂線段最段”的性質．總結梳理本節(jié)課所研究的內容．總結主要內容，加深對相交線有關知識的理解．作業(yè)作業(yè)1（1）找出圖中互相垂直的線段，并用三角尺檢驗．（2）如圖，畫AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分別為E，F(xiàn)．（3）如圖，直線AB，CD相交于點O，EO⊥AB，垂足為O，∠EOC=35°，求∠AOD的度數(shù)．（4）如圖，用量角器畫∠AOB的平分線OC，在OC上任取一點P，比較點P到OA，OB的距離大小