4.1 數(shù)列的概念(基礎(chǔ)知識+基本題型)(含解析)-【一堂好課】2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步名師重點課堂(人教A版2019選擇性必修第二冊)_第1頁
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倒賣拉黑,關(guān)注更新免費領(lǐng)取,淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育倒賣拉黑,關(guān)注更新免費領(lǐng)取,淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育4.1數(shù)列的概念(基礎(chǔ)知識+基本題型)知識點一數(shù)列的概念1.?dāng)?shù)列及其有關(guān)概念(1)數(shù)列:按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.(2)項:數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項,各項依次叫做這個數(shù)列的第1項(或首項),第2項,…,第項,….2.?dāng)?shù)列的表示數(shù)列的一般形式可以寫成,,,…,,…,簡記為,這里是正整數(shù).提示(1)數(shù)列中的數(shù)是按一定順序排列的,因此,如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列順序不同,那么它們就不是相同的數(shù)列.例如,數(shù)列1,2,3,4,5與5,4,3,2,1是兩個不同的數(shù)列.(2)數(shù)列的定義并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同,因此同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn).例如,1,-1,1,-1,1,…;與2,2,2,2,2,…. (3)數(shù)列的項通常用字母加右下角標(biāo)表示,其中右下角標(biāo)表示項的位置序號.我們還應(yīng)注意到,這里與是不同的;表示數(shù)列,,,…,,…,而只表示這個數(shù)列的第項.這里是數(shù)列的簡記符號,并不表示一個集合.拓展(1)數(shù)列的項與集合中的元素的區(qū)別:數(shù)列中的項具有確定性,有序性,可重復(fù)性,不具有互異性;集合中的元素具有確定性,無序性,互異性.(2)數(shù)列可以看成以正整數(shù)集(或它的有限子集{1,2,3,…,})為定義域的函數(shù).當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值.反過來,對于函數(shù),如果(1,2,3,…,,…)有意義,那么我們可以得到一個數(shù)列,,,…,,….知識點二數(shù)列的分類1.按項的個數(shù)分類類別含義舉例有窮數(shù)列項數(shù)有限的數(shù)列1,2,3,…,無窮數(shù)列項數(shù)無限的數(shù)列-1,1,-1,1,…,-1,1,…2.按項的變化趨勢分類類別含義舉例遞增數(shù)列從第2項起,每一項都大于它的前一項的數(shù)列2,4,6,8,10,…,,…遞減數(shù)列從第2項起,每一項都小于它的前一項的數(shù)列,,,,…,,…常數(shù)列各項都相等的數(shù)列7,7,7,7,…擺動數(shù)列從第2項起,有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項的數(shù)列-1,2,-3,4,-5,…拓展數(shù)列作為一類特殊的函數(shù),其某些性質(zhì)可借助函數(shù)性質(zhì)的判斷方法來判斷.用,分別表示數(shù)列的第項和第項,數(shù)列的單調(diào)性可從下列幾方面判斷:(1)根據(jù)定義判斷:若,則是遞增數(shù)列;若,則是遞減數(shù)列.(2)作商比較:前提條件是各項均為正數(shù),即當(dāng)時,若(或),則數(shù)列是遞減(或遞增)數(shù)列.(3)根據(jù)數(shù)列的圖象判斷:圖象上升為遞增數(shù)列,圖象下降為遞減數(shù)列.知識點三數(shù)列的通項公式如果數(shù)列的第項與序號之間的關(guān)系可以用一個式子來表示,那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式.提示(1)數(shù)列的通項公式實際上是一個以正整數(shù)集或它的有限子集{1,2,3,…,}為定義域的函數(shù)表達式.(2)如果給出了數(shù)列的通項公式,那么只要依次用.例如,1,-1,1,-1,1,…;與2,2,2,2,2,….(3)不是所有的數(shù)列都有通項公式.例如的不同近似值,精確到1,0.1,0.01,0.001,0.0001,…所構(gòu)成的數(shù)列1,1.4,1.41,1.414,1.4142,…就沒有通項公式.(4)有的數(shù)列的通項公式在形式上不一定是唯一的.例如,數(shù)列-1,1,-1,1,…的通項公式可以寫成,也可以寫成.知識點四數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列的第1項(或前幾項),且從第2項(或某一項)開始的任一項與它的前一項(或前幾項)(,)間的關(guān)系可以用一個公式來表示,那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.提示(1)不是所有的數(shù)列都有遞推公式.(2)遞推公式也是給出數(shù)列的一種重要形式.遞推公式和通項公式都是關(guān)于項數(shù)的恒等式,用符合要求的正整數(shù)依次去替換,就可以求出數(shù)列的各項.(3)遞推公式通過賦值可以逐項求出數(shù)列的項,直至求出數(shù)列的任何一項或所需的項.(4)運用遞推法給出數(shù)列,可以揭示數(shù)列的一些性質(zhì),但不容易了解數(shù)列的全貌,計算也不方便,所以我們經(jīng)常它得出數(shù)列的通項公式或者得到一個特殊數(shù)列,如具有周期性的數(shù)列.拓展(1)通項公式與遞推公式的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別聯(lián)系通項公式項是序號的函數(shù)式都可以確定數(shù)列遞推公式已知(或前幾項)及相鄰(幾)項間的關(guān)系式(2)數(shù)列的通項公式與遞推公式的作用①數(shù)列的通項公式是給出數(shù)列的主要形式.如果已知數(shù)列的通項公式,那么只要用1,2,3,…代換公式中的,就可以求出這個數(shù)列的各項與指定項.另外,根據(jù)通項公式,結(jié)合函數(shù)的性質(zhì),可以進一步探討數(shù)列的增減性,數(shù)列的項的最大值或最小值.②數(shù)列的遞推公式是給出數(shù)列的另一重要形式.一般地,只要給出數(shù)列的首項或前幾項以及數(shù)列的相鄰兩項或幾項之間的運算關(guān)系,就可以依次求出數(shù)列的各項.知識點五數(shù)列的前項與通項的關(guān)系數(shù)列的前項和,由此可知,當(dāng),且時,,所以,即;當(dāng)時,,即為數(shù)列的首項.因此,如果已知數(shù)列的前項和的公式,那么這個數(shù)列是確定的,并且.◢警示◣(1)與的關(guān)系式的條件是,且,因為當(dāng)時,無意義;(2)由求出,若當(dāng)時,也適合“通項公式”,則數(shù)列的通項公式可用來表示;若當(dāng)時,時,不適合“通項公式”,則數(shù)列的通項公式應(yīng)用分段函數(shù)來表示,即.(3)若用求數(shù)列的通項公式,雖然不用分與兩種情況討論,但此時不包括數(shù)列的首項,所以仍需對驗證,來確定通項公式是“可合寫”還是“需分寫”.考點一由數(shù)列的通項公式來求指定項例1根據(jù)數(shù)列的通項公式,分別寫出其前4項與第10項.(1);(2).解:(1),,,,.(2)因為.所以,,,,.由數(shù)列的通項公式可以求出數(shù)列的指定項,要注意1,2,3,….如果數(shù)列的通項公式較為復(fù)雜,那么應(yīng)考慮先化簡再求值.考點二數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式例2寫出下列數(shù)列的一個通項公式,使其前幾項分別是下列各數(shù):(1)3,5,9,17,33,…;(2),,,,…;(3)5,55,555,5555,…;(4),-1,,,,…;(5)0,,,,….分析:先將數(shù)列中的數(shù)進行適當(dāng)分解轉(zhuǎn)化,再結(jié)合數(shù)列中各項的項數(shù),將規(guī)律表示成式子即可.解:(1)數(shù)列的前幾項可記為,,,,…,所以該數(shù)列的一個通項公式為().(2)數(shù)列的整數(shù)部分1,2,3,4,…,,…恰好是序號,分數(shù)部分,,,,…與序號的關(guān)系為,所以該數(shù)列的一個通項公式為().(3)將原數(shù)列改寫為,,,,…,易知數(shù)列9,99,999,9999,…的一個通項公式為,所以該數(shù)列的一個通項公式為().(4)數(shù)列的偶數(shù)項為負數(shù),奇數(shù)項為正數(shù),故通項公式必含有因式.第2項-1改寫成后,該數(shù)列各項分母依次為3,5,7,9,11,…,與序號的關(guān)系可記為.而各項分子依次為2,5,10,17,26,…,與序號的關(guān)系可記為,所以該數(shù)列的一個通項公式為().(5)因為,,,所以該數(shù)列的一個通項公式為().總結(jié):根據(jù)數(shù)列的前幾項寫通項公式,體現(xiàn)了由特殊到一般的認識事物的規(guī)律.解決這類問題一定要注意觀察項與序號的關(guān)系和相鄰項間的關(guān)系,具體可參考以下幾個思路:(1)先統(tǒng)一項的結(jié)構(gòu),如都化成分數(shù)、根式等,再找規(guī)律.(2)分析這一結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分,探索變化部分的變化規(guī)律與對應(yīng)序號間的函數(shù)關(guān)系式.(3)對于正、負號交替出現(xiàn)的情況,可先觀察其絕對值,再用或()來處理.(4)對于周期性出現(xiàn)的數(shù)列,可考慮拆成幾個簡單數(shù)列和的形式或者利用周期函數(shù),如三角函數(shù)求通項公式.考點三由數(shù)列的遞推公式求通項公式例3已知數(shù)列,,以后各項由()給出.(1)寫出數(shù)列的前5項;(2)求數(shù)列的通項公式.分析:(1)根據(jù)的值及遞推公式,可以寫出數(shù)列的前5項;(2)結(jié)合與的關(guān)系式,利用累加法可以求出通項公式.解:(1),,,,.(2)由,得,故().由數(shù)列的遞推公式求通項公式是數(shù)列的重要題型之一,是高考考查的熱點.累加法、累乘法和迭代法是解決這類問題的常用技巧.例4已知數(shù)列,,,寫出數(shù)列的前5項,猜想,并加以證明.解:由,,得,,,,……猜想().證明如下:方法1(累乘法):由,,得,故().方法2(迭代法):由,得,,…,,,所以().由形如()的數(shù)列的遞推公式求通項公式時,通常用累乘法或迭代法,形成函數(shù)的運動變化的觀點,不斷地變換遞推公式中的“下標(biāo)”,最終可以利用首項或前幾項使問題得以解決.考點四數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)例5已知函數(shù),數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求證:數(shù)列是遞減數(shù)列.分析:先建立關(guān)于的一元二次方程,通過解方程得到數(shù)列的通項公式,再證明,即可說明是遞減數(shù)列.解:(1)因為,,所以,即,所以,解得

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