4.3.1 等比數(shù)列的概念（同步練習(xí)）（含解析）-【一堂好課】2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步名師重點(diǎn)課堂（人教A版2019選擇性必修第二冊(cè)）

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）A．和2 B．1和4 C．2和4 D．2和12．在下列的表格中，如果每格填上一個(gè)數(shù)后，每一橫行成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)列，那么的值為（

）2412xyA．2 B．3 C．4 D．53．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（

）A．12 B．10 C．9 D．84．在等比數(shù)列中，，，則的值為（

）A．48 B．72 C．144 D．1925．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A． B． C． D．二、多選題6．已知等差數(shù)列的公差和首項(xiàng)都不等于0，且，，成等比數(shù)列，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．7．若數(shù)列是等比數(shù)列，則（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列8．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．B．?dāng)?shù)列是公比為8的等比數(shù)列C．若，則數(shù)列的前2020項(xiàng)和為4040D．若，則數(shù)列的前2020項(xiàng)和為三、填空題9．已知是的等差中項(xiàng)，是，的等比中項(xiàng)，則等于___________.10．在數(shù)列中，，，，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式______．11．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則__________．四、解答題12．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求使不等式成立的最小正整數(shù)n.13．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和．（1）證明：是等比數(shù)列．（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．14．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．參考答案：1．A【分析】先根據(jù)韋達(dá)定理求出兩根之積，再結(jié)合等比中項(xiàng)公式計(jì)算即可.【詳解】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知方程的兩根之積為4，又因?yàn)椋史匠痰膬筛牡缺戎许?xiàng)是．故選：A2．A【分析】由題意得出的值后求解【詳解】由題意知表格為2461231故．故選：A3．C【分析】根據(jù)題意和等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)得：，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算律化簡(jiǎn)所求的式子，由等比數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值．【詳解】解：由等比數(shù)列的性質(zhì)得，，因?yàn)?，所以，所以或（舍去），所以，故選：．4．D【分析】利用等比中項(xiàng)可得，，因此，再結(jié)合，可得解【詳解】由，得，由，得，所以，所以．故選：D5．C【分析】由，結(jié)合條件即可求出通項(xiàng)公式，注意驗(yàn)證是否成立【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，而，所以數(shù)列從第二項(xiàng)起是以5為首項(xiàng)，6為公比的等比數(shù)列，所以，故選：C．6．AD【分析】利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式列方程，整理可得，再由等差中項(xiàng)的性質(zhì)及通項(xiàng)公式求，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由題設(shè)，若的公差和首項(xiàng)分別為，而，∴，整理得，又公差和首項(xiàng)都不等于0，∴，故D正確，C錯(cuò)誤；∵，∴，故A正確，B錯(cuò)誤.故選：AD7．AD【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，利用等比數(shù)列的定義結(jié)合特例法可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，則是以為公比的等比數(shù)列，A對(duì)；時(shí)，，則不是等比數(shù)列，B錯(cuò)；，時(shí)，，此時(shí)不是等比數(shù)列，C錯(cuò)；，所以，是公比為的等比數(shù)列，D對(duì).故選：AD．8．CD【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)可判斷A；結(jié)合已知條件可求出等差數(shù)列的公差，從而可求出通項(xiàng)公式以及，結(jié)合等比數(shù)列的定義可判斷B；寫(xiě)出，由定義寫(xiě)出的表達(dá)式，進(jìn)行分組求和即可判斷C；，裂項(xiàng)相消即可求和.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，，故A錯(cuò)誤；設(shè)的公差為，則有，解得，，故，，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；若，則的前2020項(xiàng)，故C正確；若，則的前2020項(xiàng)和，故D正確．故選:CD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:求數(shù)列的前項(xiàng)和常見(jiàn)思路有：1、對(duì)于等差和等比數(shù)列，直接結(jié)合求和公式求解；2、等差數(shù)列等比數(shù)列時(shí)，常采取分組求和法；3、等差數(shù)列等比數(shù)列時(shí)，常采取錯(cuò)位相減法；4、裂項(xiàng)相消法.9．【分析】根據(jù)等差和等比中項(xiàng)的定義求出得值，即可求解.【詳解】因?yàn)槭堑牡炔钪许?xiàng)，所以，因?yàn)槭牵牡缺戎许?xiàng)，所以，，所以.故答案為：.10．【分析】構(gòu)造數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求得.【詳解】因?yàn)閿?shù)列中，，即，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，解得.故答案為：.11．【分析】利用數(shù)列的遞推式可得，構(gòu)造等比數(shù)列，求得，從而，構(gòu)造等差數(shù)列，求得答案.【詳解】由題意得，所以，解得，又因?yàn)椋谑?，因此?shù)列是以為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，故，于是，因此數(shù)列是以1為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列，故，故,故答案為：12．(1)證明見(jiàn)解析(2)11【分析】（1）根據(jù)遞推公式變換可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列；（2）根據(jù)，然后利用等差數(shù)列求和公式求解.(1)解：由題意得：根據(jù)，得：可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列..(2).

解得或，又使不等式成立的最小正整數(shù)n為11.13．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)，利用數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系求得，再利用等比數(shù)列的定義證明.（2）根據(jù)，得到，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)．，，又，所以的通項(xiàng)公式為．因?yàn)?，所以是首?xiàng)為9，公比為3的等比數(shù)列．（2）因?yàn)椋?，所以?shù)列的前n項(xiàng)和：.14．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)、等比中項(xiàng)的意義列式求解作答.（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合裂項(xiàng)相消法計(jì)算作答.（