4.3.2.2等比數(shù)列前n項和公式（知識梳理+例題+變式+練習）（解析版）

倒賣拉黑，關(guān)注更新免費領(lǐng)取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育倒賣拉黑，關(guān)注更新免費領(lǐng)取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育4.3.2.2等比數(shù)列的前n項和公式要點等比數(shù)列前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系等比數(shù)列前n項和公式Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，變形為：Sn＝qn－.【重點總結(jié)】Sn是關(guān)于n的一個指數(shù)式與一個常數(shù)的差構(gòu)成的，而指數(shù)式的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù)；求解時，常設(shè)Sn＝Aqn－A(A≠0)，用待定系數(shù)法．1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)對于公比q≠1的等比數(shù)列{an}的前n項和公式，其qn的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù)．()(2)數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝an＋b(a≠0，a≠1)，則數(shù)列{an}一定是等比數(shù)列．()(3)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列．()(4)若某數(shù)列的前n項和公式為Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，則此數(shù)列一定是等比數(shù)列．()【答案】（1）√（2）×（3）×（4）√2．若等比數(shù)列{an}中，前n項和Sn＝3n＋a，則a等于()A．－4B．－2C．0D．－1【答案】D【解析】∵a1＝S1＝3＋a，a2＝S2－S1＝6，a3＝S3－S2＝18.由a1·a3＝aeq\o\al(2,2)得(3＋a)·18＝62∴a＝－1.故選D.3．已知a，b，c成等比數(shù)列，如果a，x，b和b，y，c都成等差數(shù)列，則eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)＝()A．1B．2C.eq\f(1,8)D.eq\f(13,16)【答案】B【解析】(特值法)：設(shè)a，b，c分別為2,4,8.則x＝eq\f(a＋b,2)＝3，y＝eq\f(b＋c,2)＝6∴eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)＝eq\f(2,3)＋eq\f(8,6)＝2.故選B.4．一座七層的塔，每層所點的燈的盞數(shù)都等于上面一層的2倍，一共點381盞燈，則底層所點燈的盞數(shù)是________．【答案】192【解析】設(shè)最下面一層燈的盞數(shù)為a1，則公比q＝eq\f(1,2)，n＝7，由eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))7)),1－\f(1,2))＝381，解得a1＝192.題型一等比數(shù)列前n項和公式的函數(shù)特征的應用【例1】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an－1(a是不為零且不等于1的常數(shù))，則數(shù)列{an}()A．一定是等差數(shù)列B．一定是等比數(shù)列C．是等差數(shù)列或等比數(shù)列D．既非等差數(shù)列，也非等比數(shù)列【答案】B【解析】當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)an－1；當n＝1時，a1＝a－1，滿足上式．∴an＝(a－1)an－1，n∈N*∴eq\f(an＋1,an)＝a，∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列．【方法歸納】(1)已知Sn通過an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))求通項an，應特別注意n≥2時，an＝Sn－Sn－1.(2)若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，則{an}為等比數(shù)列．【跟蹤訓練1】若{an}是等比數(shù)列，且前n項和為Sn＝3n－1＋t，則t＝________.【答案】－eq\f(1,3)【解析】顯然q≠1此時應有Sn＝A(qn－1)又Sn＝eq\f(1,3)·3n＋t∴t＝－eq\f(1,3)題型二等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題【例2】已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和且公比q≠1,1是eq\f(1,2)S2和eq\f(1,3)S3的等差中項，6是2S2和3S3的等比中項．(1)求S2和S3；(2)求數(shù)列{an}的前n項和公式；(3)求數(shù)列{Sn}的前n項和．【解析】(1)根據(jù)已知條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)S2＋\f(1,3)S3＝2，,2S2·3S3＝62))，整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3S2＋2S3＝12，,S2S3＝6，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S2＝2，,S3＝3.))(2)因為q≠1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a11＋q＝2，,a21＋q＋q2＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q＝－\f(1,2)，,a1＝4.))所以Sn＝eq\f(4\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n)),1＋\f(1,2))＝eq\f(8,3)－eq\f(8,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n.(3)由(2)得S1＋S2＋…＋Sn＝eq\f(8,3)n－eq\f(8,3)·eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n)),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\f(8,3)n＋eq\f(8,9)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n))【方法歸納】等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合應用的問題，一般通過基本量和通項公式，前n項和公式，等差、等比中項及相關(guān)性質(zhì)列方程求解．【跟蹤訓練2】已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差數(shù)列．求數(shù)列{an}的通項公式．【解析】方法一：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a7＝a1q6＝1，得a1＝q－6，從而a4＝a1q3＝q－3，a5＝a1q4＝q－2，a6＝a1q5＝q－1.因為a4，a5＋1，a6成等差數(shù)列，所以q－3＋q－1＝2(q－2＋1)，即q－1(q－2＋1)＝2(q－2＋1)，所以q＝eq\f(1,2).故an＝a1qn－1＝q－6·qn－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－7.方法二：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由已知a7＝1，得an＝a7qn－7＝qn－7，則a4＝q－3，a5＝q－2，a6＝q－1.又a4，a5＋1，a6成等差數(shù)列，則q－3＋q－1＝2(q－2＋1)，即q－1(q－2＋1)＝2(q－2＋1)，從而q＝eq\f(1,2).故an＝qn－7＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－7.方法三：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由已知a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差數(shù)列，知a4，a5＋a7，a6成等差數(shù)列，則a4＋a6＝2(a5＋a7)，即a4＋a6＝2q(a4＋a6)．注意到a4＋a6≠0，所以q＝eq\f(1,2)，故an＝a7qn－7＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－7.方法四：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由已知a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差數(shù)列，知a4，a5＋a7，a6成等差數(shù)列，則q＝eq\f(a7,a6)＝eq\f(a5,a4)＝eq\f(a7＋a5,a6＋a4)＝eq\f(1,2)，故an＝a7qn－7＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－7.題型三等比數(shù)列前n項和公式的實際應用【例3】水土流失是我國西部大開發(fā)中最突出的生態(tài)問題．已知西部某地區(qū)有耕地3000萬畝需要退耕還林，國家確定2000年在該地區(qū)退耕還林的土地面積為300萬畝，以后每年退耕還林的土地面積比上一年遞增20%，那么從2000年起，到哪一年該地區(qū)基本解決退耕還林問題？(log1.23＝6)?！窘馕觥吭O(shè)該地區(qū)從2000年起每年退耕還林的面積組成一個數(shù)列{an}，由題意得：an＋1＝an(1＋20%)∴{an}是首項為a1＝300，公比為1.2的等比數(shù)列．設(shè){an}的前n項和為Sn，則Sn＝3000.∴eq\f(3001－1.2n,1－1.2)＝3000，即1.2n＝3.解得n＝log1.23＝6.∴到2005年該地區(qū)基本解決退耕還林問題．【方法歸納】解數(shù)列應用題的具體方法步驟：(1)認真審題，準確理解題意，達到如下要求：①明確問題屬于哪類應用問題，即明確是等差數(shù)列問題還是等比數(shù)列問題還是含有遞推關(guān)系的數(shù)列問題？是求an，還是求Sn？特別要注意準確弄清參數(shù)是多少．②弄清題目中主要的已知事項．(2)抓住數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想數(shù)學知識和數(shù)學方法，恰當引入?yún)?shù)變量，將文字語言翻譯成數(shù)學語言，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學式子表達．(3)將實際問題抽象為數(shù)學問題，將已知與所求聯(lián)系起來，列出滿足題意的數(shù)學關(guān)系式．【跟蹤訓練3】一個熱氣球在第一分鐘上升了25m的高度，在以后的每一分鐘里，它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80%.這個熱氣球上升的高度能超過125m嗎？【解析】用an表示熱氣球在第n分鐘上升的高度．由題意，得an＋1＝eq\f(4,5)an.因此，數(shù)列{an}是首項a1＝25，公比q＝eq\f(4,5)的等比數(shù)列．熱氣球在前n分鐘內(nèi)上升的總高度為Sn＝a1＋a2＋…＋an＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(25×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))n)),1－\f(4,5))＝125×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))n))<125.故這個熱氣球上升的高度不可能超過125m.一、單選題1．等比數(shù)列的前n項和為，若，，則（）．A．10 B．20 C．20或10 D．20或10【答案】B【分析】由等比數(shù)列的片段和性質(zhì)求解．【解析】解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，，成等比數(shù)列，，解得，或，，，．故選：B．2．等比數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A．10 B．70 C．30 D．90【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和的性質(zhì)來求得.【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，，成等比數(shù)列∴（S20－S10）2＝S10·（S30－S20）∴400＝10·（S30－30）∴S30＝70故選：B.3．一個等比數(shù)列的前7項和為48，前14項和為60，則前21項和為（）A．180 B．108C．75 D．63【答案】D【分析】由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)S7，S14－S7，S21－S14組成等比數(shù)列，分析即得解【解析】由題意得S7，S14－S7，S21－S14組成等比數(shù)列48，12，3，即S21－S14＝3，∴S21＝63.故選：D4．在等比數(shù)列中，已知，，（）A．32 B．16 C．35 D．162【答案】A【分析】由等比數(shù)列前項和的性質(zhì)知，當數(shù)列依次每項和不為0時，則依次每項和仍成等比數(shù)列，所以，，，，成等比數(shù)列，且公比為，根據(jù)，，即可求出，從而求出；【解析】解：由等比數(shù)列前項和的性質(zhì)知，當數(shù)列依次每項和不為0時，則依次每項和仍成等比數(shù)列，所以，，，，成等比數(shù)列，且公比為．又，，所以，所以．故選：A5．設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足條件，，，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為【答案】C【分析】討論與不成立可判斷A；利用等比數(shù)列的下標和性質(zhì)可判斷B；根據(jù)單調(diào)遞增可判斷C；根據(jù)的取值可判斷D.【解析】若，則，，所以，與矛盾；若，則因為，所以，，則，與矛盾，因此，所以A正確．因為，所以，因此，即B正確．因為，所以單調(diào)遞增，即的最大值不為，C錯誤．因為當時，，當時，，所以的最大值為，即D正確．故選：C6．已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，，成等差數(shù)列，則的最小值為()A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等比數(shù)列前項和的性質(zhì)表示出，再表示成同一變量，然后利用基本不等式求出其最小值即可.【解析】因為是正項等比數(shù)列，所以，，仍然構(gòu)成等比數(shù)列，所以.又，，成等差數(shù)列，所以，，所以.又是正項等比數(shù)列，所以，，當且僅當時取等號.故選：B.7．已知一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項之和為所有偶數(shù)項之和的倍，前項之積為，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出等比數(shù)列的公比，結(jié)合等比中項的性質(zhì)求出，即可求得的值.【解析】由題意可得所有項之和是所有偶數(shù)項之和的倍，所以，，故設(shè)等比數(shù)列的公比為，設(shè)該等比數(shù)列共有項，則，所以，，因為，可得，因此，.故選：C.8．設(shè)等比數(shù)列的前項和為則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可得，又，結(jié)合即得解【解析】由題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，又故選：C二、多選題9．給出以下命題，其中錯誤的命題的是（）A．若數(shù)列是等差數(shù)列，且（），則B．若是等比數(shù)列的前n項和，則成等比數(shù)列C．若是等比數(shù)列的前n項和，且（其中A，B是非零常數(shù)，），則D．若數(shù)列的前n項和（a，b，c為常數(shù)）則數(shù)列為等差數(shù)列【答案】ABD【分析】選項A.設(shè)可判斷；選項B.設(shè)等比數(shù)列，則，可判斷；選項C.由可判斷；選項D.當時數(shù)列不為等差數(shù)列，可判斷.【解析】選項A.設(shè)，則滿足數(shù)列是等差數(shù)列，對任意成立，則此時不成立，所以選項A錯誤.選項B.設(shè)等比數(shù)列，則,顯然不成等比數(shù)列，故選項B錯誤.選項C.當?shù)缺葦?shù)列的公比時，,不能寫成的形式，故，所以所以,則，故選項C正確.選項D.由，當時，當時，不滿足，此時數(shù)列不為等差數(shù)列，故選項D不正確.故選：ABD10．設(shè)數(shù)列前項和為，關(guān)于數(shù)列有下列命題，其中正確的命題是（）A．若則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列B．若，則為等差數(shù)列C．若為等比數(shù)列，則成等比數(shù)列D．若，是等比數(shù)列【答案】BD【分析】舉出反例，如，即可判斷A；根據(jù)與的關(guān)系，求得數(shù)列的通項公式，再結(jié)合等差數(shù)列的定義即可判斷B；舉出反例，如為，為偶數(shù)時，即可判斷C；根據(jù)與的關(guān)系，求得數(shù)列的通項公式，再結(jié)合等比數(shù)列的定義即可判斷D；【解析】對于A，若，則既是等差數(shù)列，但不一定是等比數(shù)列，故A錯誤；對于B，由，當時，，當時，，當時，適合上式，所以，則為常數(shù)，所以為等差數(shù)列，故B正確；對于C，若為等比數(shù)列，如為，為偶數(shù)時，，由等比數(shù)列中沒有0這一項，所以不成等比數(shù)列，故C錯誤；對于D，若，當時，，當時，，當時，適合上式，所以，則，所以數(shù)列是以2為首項，-1為公比的等比數(shù)列，故D正確.故選：BD.11．設(shè)數(shù)列的前項和為，下列命題正確的是（）A．若為等差數(shù)列，則，，仍為等差數(shù)列B．若為等比數(shù)列，則，，仍為等比數(shù)列C．若為等差數(shù)列，則（為正常數(shù)）為等比數(shù)列D．若為等比數(shù)列，則為等差數(shù)列【答案】AC【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義判斷．【解析】是等差數(shù)列，，，，所以，，即，所以，，仍為等差數(shù)列，所以A正確，設(shè)，，，為常數(shù)，所以是等比數(shù)列，C正確，是等比數(shù)列，設(shè)，若，，則，，，不可能是等比數(shù)列，B錯；若，中正負相間，時無意義，數(shù)列不存在，D錯．故選：AC．第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明三、填空題12．已知等比數(shù)列滿足，則________．【答案】50【分析】由等比數(shù)列性質(zhì)知，成等比數(shù)列，便可求得的值.【解析】設(shè)數(shù)列的前n項和為，則，，所以，又因為數(shù)列為等比數(shù)列，所以成等比數(shù)列，于是，解得，所以.故答案為：13．設(shè)正項等比數(shù)列{an}的首項a1＝，前n項和為Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，則公比q＝________.【答案】【分析】利用變形求得，利用等比數(shù)列的性質(zhì)可以得到，結(jié)合等比數(shù)列{an}為正項數(shù)列，進而求出公比【解析】由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，得210(S30－S20)＝S20－S10.∴，∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列∴故，解得：因為等比數(shù)列{an}為正項數(shù)列，所以，故故答案為：14．已知等比數(shù)列{an}的公比為，則的值是________.【答案】【分析】由等比數(shù)列的通項公式與性質(zhì)求解即可【解析】∵等比數(shù)列{an}的公比為，則.故答案為：四、解答題15．已知首項為的等比數(shù)列的前項和為，且，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求，并求的最大值．【答案】（1）；（2），最大值為.【分析】（1）已知是等比數(shù)列，所以用基本量進行計算即可（2）寫出關(guān)于的表達式，觀察可發(fā)現(xiàn)是對勾函數(shù)的形式，且變量的范圍已知，所以可以求解函數(shù)的最大值【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為,因為,,成等差數(shù)列，所以，即,所以，即,可得,又因為,所以等比數(shù)列的通項公式為．故數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）得,所以，所以,令，因為，所以，則，且在單調(diào)遞減當，即時，,所以的最大值為.16．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，已知滿足______，求公比q以及a12+a22+…+an2．從①a2a5=-32且a3+a4=-4，②a1=1且S6=9S3，③S2=a3-1且S3＝a4-1這三組條件中任選一組，補充到上面問題中，并完成解答．【答案】答案見解析【分析】由選出的題設(shè)條件求出等比數(shù)列{an}的首項、公比，判斷為等比數(shù)列，利用公式求和而得.【解析】若選①，則有a2a5=a3a4=-32，故有a3a4=-32，a3+a4=-4，解得a3=4，a4=-8，或a3=-8，a4=4，即q=-2或，因為是以為首項，q2為公比的等比數(shù)列，若q=-2，則a1==1，此時；若，則a1=-32，此時．若選②，S3≠0，，即q3=8，故q