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倒賣拉黑,關(guān)注更新免費領(lǐng)取,淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育倒賣拉黑,關(guān)注更新免費領(lǐng)取,淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義(基礎(chǔ)知識+基本題型)知識點一平均變化率與平均速度1.定義:一般地,對于函數(shù),,是其定義域內(nèi)不同的兩點,那么函數(shù)的變化率可用式子表示,我們把這個式子稱為函數(shù)從到的平均變化率.2.平均變化率的另一種表示習慣上用表示,即,可把看作是相對于的一個“增量”,可用代替:類似地,.于是平均變化率可以表示為.拓展函數(shù)的平均變化率中的各元素及其關(guān)系(1)對和的解釋:是附近的任意一點,是變量在處的改變量,故的值可以為正,也可以為負,但不能取0.的值可以取0,如當函數(shù)為常數(shù)函數(shù)時,.(2)與的對應(yīng)關(guān)系:注意與是相對應(yīng)的“增量”,在公式中,若,則;若,則.(3)和對的影響:在公式中,當取定值,取不同的數(shù)值時,函數(shù)的平均變化率是不完全相同的;當取定值,取不同的數(shù)值時,函數(shù)的平均變化率也是不完全相同的.(4)的幾何意義函數(shù)的平均變化率表示函數(shù)圖象上,兩點連線的斜率.知識點二瞬時速度1.定義:做變速運動的物體在不同時刻的速度是不完全相同的,我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.2.數(shù)學語言:設(shè)物體運動的位移與時間的關(guān)系是,當趨近于0時,函數(shù)從到的平均變化率趨近于一個常數(shù),我們就把這個常數(shù)稱為物體在時刻的瞬時速度,瞬時速度一般用表示.提示對瞬時速度的理解,需注意一下幾點:(1)趨近于0是指時間間隔越來越小,但始終不為0;(2)當趨近于0時,的值也趨近于0,但它們的比值趨近于一個確定的常數(shù);(3)瞬時速度就是平均速度在趨近于0時的一個確定的值.知識點三函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)一般地,函數(shù)在處的瞬時變化率是,我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),記作或,即.警示(1)是自變量在處的該變量,可正、可負,但不能為0.當(或)時,表示從的右(或做)邊趨近于.是相應(yīng)的函數(shù)值的該變量,可正、可負,也可為0.(2)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)是一個常數(shù),不是一個變量.知識點四導(dǎo)數(shù)的幾何意義如圖,函數(shù)的圖象是一段曲線,當點沿著曲線趨近于點時,割線的斜率無限趨近于切線的斜率.因此,函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在點處的切線的斜率,即.提示(1)函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在這一點處的切線的斜率.不存在,并不能說明在這一點出不存在切線,而是說明在這一點出的切線斜率不存在,如存在某點,使過該點的切線垂直于軸,因此函數(shù)在某點可導(dǎo)是相應(yīng)由線上過該點存在切線的充分不必要條件.(2)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,知(為切線的傾斜角),若,則切線的傾斜角為銳角;若,則切線的傾斜角為鈍角;若,則切線與軸平行或重合.知識點五利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在點處的切線方程的步驟:(1)求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),即切線的斜率;(2)利用點斜式,得出切線方程.警示“過某點”與“在某點處”的切線是不同的.“過某點”的切線表明此點不一定是切點,即使此點是切點,也不一定是唯一的切點;“在某點處”的切線表明此點一定是切點.知識點六導(dǎo)函數(shù)已知函數(shù),當時,是一個確定的數(shù).這樣,當變化時,便是的一個函數(shù),我們稱它為的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù)).的導(dǎo)函數(shù)有時記作,即.辨析“函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)”、“導(dǎo)函數(shù)”、“導(dǎo)數(shù)”三者之間的區(qū)別和聯(lián)系:(1)“函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)”,就是在該點的函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比的極限,它是一個數(shù)值,不是變量.(2)“導(dǎo)函數(shù)”簡稱“導(dǎo)數(shù)”,當變化時,便是的一個函數(shù),我們稱它為導(dǎo)函數(shù),是一個變量.(3)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值,即,所以求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù),一般是先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),再計算這點的導(dǎo)函數(shù)值.考點一求函數(shù)的平均變化率例1.已知函數(shù).(1)計算從到的平均變化率,其中的值分別為①2,②1,③0.1,④0.01;(2)當?shù)闹翟絹碓叫r,函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率有怎樣的變化趨勢?解:(1)從到的平均變化率為.⒈①當時,函數(shù)在上的平均變化率為4+2=6.②當時,函數(shù)在上的平均變化率為4+1=5.③當時,函數(shù)在上的平均變化率為4+0.1=4.1.④當時,函數(shù)在上的平均變化率為4+0.01=4.01.(2)由(1)中的結(jié)果可以看出,當?shù)闹翟絹碓叫r,函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率越來越趨近于常數(shù)4.⒉例2.已知函數(shù),求函數(shù)在附近的平均變化率.解:因為,所以即所以考點二瞬時速度的求法及應(yīng)用例3.“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一,制造時一般是期望在它達到最高點時爆裂.如果煙花距地面的高度(單位:)與時間(單位:)之間的關(guān)系為,那么煙花沖出后多長時間達到最高點?解:設(shè)煙花達到最高點時的時刻為,根據(jù)瞬時速度的定義,知.故瞬時速度為.⒈令,⒉得.故煙花沖出1.5后達到最高點.例4.已知質(zhì)點按規(guī)律(的單位:的單位:)做直線運動.若質(zhì)點在時的瞬時速度為,求常數(shù)的值.解:因為,所以.故質(zhì)點在時的瞬時速度為.所以.即.考點三函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)的方法例5.已知,則()A.B.C.D.分析:將進行化簡變形,轉(zhuǎn)化成導(dǎo)數(shù)的定義式.解析:⒈⒉.答案:C例6.已知函數(shù)求此函數(shù)在和處的導(dǎo)數(shù).分析:本題的函數(shù)為分段函數(shù),注意和所在的區(qū)間.解:當時,,⒈所以.所以.所以.當時,,所以.所以.⒉所以.對于分段函數(shù)求導(dǎo)數(shù)問題,一定要先判斷這一點在函數(shù)的哪一段上,再確定此點所滿足的函數(shù)解析式.考點四導(dǎo)數(shù)幾何意義的直接應(yīng)用例7某汽車在筆直的公路上不斷加速行駛,則其路程關(guān)于時間的函數(shù)圖象的大致形狀是()解析:導(dǎo)數(shù)的物理意義.由汽車加速行駛,知隨著的增大,速度在不斷增大,從而的在不斷增大,即曲線上的各點的切線斜率不斷增大.只有滿足此規(guī)律.答案:總結(jié):導(dǎo)數(shù)的物理意義:如果某物體的運動方程是,那么物體在時刻的瞬時速度是,即;物體在時刻的加速度是,即.考點五利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求求曲線的切線方程例8已知曲線(1)求過的點的切線方程;(2)(1)中以 為切點的切線與曲線是否還有其他公共點?解:(1)因為在曲線上,所以有兩種可能,即點為切點或點不是切點①當點為切點時,所以切線方程為,即②當點不是切點時,設(shè)切點為.由導(dǎo)數(shù)的定義,知在處,,所以切線方程為.因為切線方程過點,將其代入整理,得,所以,所以或(舍去),故切點為,所以切線方程為綜上所述,所求切線法方程為或.(2)由(1),知以點為切點的切線方程為,由,得,解得.從而求得公共點為和.故以點為切點的切線與曲線的公共點除切點外,還有其他公共點.本題還可以不對點是否為切點進行討論,而直接設(shè)出切點為,按照本題第(1)問中②的解答過程去解,此時有意義,不能去掉.例9已知曲線(1)求過點的切線方程;(2)求滿足斜率為的曲線的切線方程.解:(1).設(shè)過點的切線的切點為,則,即該切線的斜率.因為點,在且線上,所以,解得,故切線的斜率.故曲線過點的切線方程為,即.(2)設(shè)斜率為的切線的切點為,由(1),知,得.所以切點坐標為或.故滿足斜率為的曲線的切線方程為或,即或.(1)求曲線過已知點的切線方程的步驟:(2)若已知切線的斜率,則可根據(jù)切點處的導(dǎo)數(shù)即為斜率求得切點的坐標,根據(jù)點斜式寫出切線方程.考點六求切點的坐標例10在曲線上哪一點處的切線分別滿足下列條件:(1)平行于直線;(2)垂直于直線;(3)與軸成的傾斜角.分析:首先設(shè)出切點坐標,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出切線的斜率,然后根據(jù)已知條件列出等式,求出切點的坐標.解:.設(shè)點是曲線上滿足條件的切點.(1)因為切線與直線平行,所以,得,即點處的切線平行于直線.(2)因為與直線垂直,所以,得,即點處的切線垂直于直線.(3)因為切線與軸成的傾斜角,所以,得,即點處的切線與軸成的傾斜角.求切點的坐標的步驟:(1)設(shè)切點,求斜率:設(shè)出切點坐標,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出切線的斜率(2)列方程,求參數(shù):由斜率間的關(guān)系列出關(guān)于的方程,解方程求出;(3)代入求切點:將代入曲線方程,求得,得切點的坐標.考點七導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用例11設(shè)曲線和在其交點處兩切線的夾角為,求.分析:要求的值,必須先求出兩曲線的交點,
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