2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專題整合復(fù)習(xí)卷28.2 解直角三角形(1)(含答案)-

2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專題整合復(fù)習(xí)卷28.2解直角三角形(1)(含答案)-28.2解直角三角形（一）一、雙基整合:1．在下面條件中不能解直角三角形的是（）A．已知兩條邊B．已知兩銳角C．已知一邊一銳角D．已知三邊2．在△ABC中，∠C=90°，a=5，c=13，用科學(xué)計(jì)算器求∠A約等于（）A．24°38′B．65°22′C．67°23′D．22°37′3．在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，有下列關(guān)系式：①b=ccosB，②b=atanB，③a=csinA，④a=bcotB，其中正確的有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)4．為測(cè)一河兩岸相對(duì)兩電線桿A、B間距離，在距A點(diǎn)15m的C處，（AC⊥AB），測(cè)得∠ACB=50°，則A、B間的距離應(yīng)為()mA．15sin50°B．15cos50°C．15tan50°D．15cot50°5．在△ABC中，∠C=90°，b=，三角形面積為，則斜邊c=_____，∠A的度數(shù)是____．6．在直角三角形中，三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為1：2：3，若斜邊為a，則兩條直角邊的和為_(kāi)_______．7．四邊形ABCD中，∠C=90°，AB=12，BC=4，CD=3，AD=13，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)_______．8．如圖，小明想測(cè)量電線桿AB的高度，發(fā)展電線桿的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4米，BC=10米，CD與地面成30°角，且此時(shí)測(cè)得1米桿的影長(zhǎng)為2米，則電線桿的高度約為_(kāi)______米．（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字，≈1.41，≈1.73）9．如圖所示，在Rt△ABC中，a，b分別是∠A，∠B的對(duì)邊，c為斜邊，如果已知兩個(gè)元素a，∠B，就可以求出其余三個(gè)未知元素b，c，∠A．（1）求解的方法有多種，請(qǐng)你按照下列步驟，完成一種求解過(guò)程．第一步：已知：a,∠B,用關(guān)系式:_______________,求出:_________________;第二步：已知：_____,用關(guān)系式:_______________,求出:_________________;第三步：已知：_____,用關(guān)系式:_______________,求出:_________________.（2）請(qǐng)你分別給出a，∠B的一個(gè)具體數(shù)據(jù)，然后按照（1）中的思路，求出b，c，∠A的值．10．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，CD=3cm，AB=7cm，高為2cm，求底角B的度數(shù)．11．如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=2，AB=2，設(shè)∠BCD=α，求cosα的值．二、探究創(chuàng)新12．國(guó)家電力總公司為了改善農(nóng)村用電量過(guò)高的現(xiàn)狀，目前正在全面改造各地農(nóng)村的運(yùn)行電網(wǎng)，蓮花村六組有四個(gè)村莊A，B，C，D正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們?cè)O(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如圖所示的實(shí)線部分，請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線（以下數(shù)據(jù)可供參考=1.414，=1.732，=2.236）．13．在Rt△ABC中，∠C=90°，斜邊c=5，兩直角邊的長(zhǎng)a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+2m-2=0的兩個(gè)根，求Rt△ABC中較小銳角的余弦值．三、智能升級(jí)14．如圖，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，求AD，CD的長(zhǎng)．15．（2006·宜昌）如圖，某一時(shí)刻太陽(yáng)光從教室窗戶射入室內(nèi)，與地面的夾角∠BPC為30°，窗戶的一部分在教室地面所形成的影長(zhǎng)PE為3.5m，窗戶的高度AF為2.5m，求窗外遮陽(yáng)篷外端一點(diǎn)D到窗戶上椽的距離AD．（結(jié)果精確到0.1m）答案:1．B2．D3．C4．C5．45°6．a(chǎn)7．368．8．79．略10．60°11．cosα=12．設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，則（1）3a，（2）3a，（3）（2+2）a，（4）（+1）a∴第（4）種方案最省電線13．14．AD=5+10，CD=10+515．過(guò)點(diǎn)E作EG∥AC交BP于點(diǎn)G，∵EF∥DP，∴四邊形BEFG是平行四邊形．在Rt△PEG中，PE=3.5，∠P=30°，tan∠EPG=，∴EG=EP·tan∠ADB=3.5×tan30°≈2.02（或EG=）．又∵四邊形BFEG是平行四邊形，∴BF=EG=2.02，∴AB=AF-BF=2.5-2.02=0.48（或AB=）．又∵AD∥PE，∠BDA=∠P=30°，在Rt△BAD中，tan30°==0.48×（或AD=）≈0.8（m），∴所求的距離AD約為0.8m．28.2解直角三角形（1）◆知能點(diǎn)分類訓(xùn)練知能點(diǎn)1解直角三角形的概念1．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠ACD=30°，對(duì)Rt△ABC來(lái)說(shuō)，未知元素有______個(gè)，分別是__________，若要解Rt△ABC，還需知一個(gè)_______條件．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，=，該三角形的未知元素有幾個(gè)？這個(gè)三角形是否能解？3．在Rt△ABC中，∠C=90°，則∠A=30°，則∠B=_______；若∠A=30°，且a=1，則b=_____，c=_____．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=45°，則∠B=______；若∠A=45°，且a=1，則b=______，c=_____．知能點(diǎn)2解直角三角形的基本類型和方法5．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=31，c=31，解這個(gè)直角三角形．6．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=9，b=3，解這個(gè)直角三角形．7．在Rt△ABC中，∠C=90°，c=8，∠A=60°，解這個(gè)直角三角形．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，b=7.234，∠A=7°20′，解這個(gè)直角三角形．9．已知：如圖，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，D為AC上一點(diǎn)，∠BDC=45°，DC=6，求AB的長(zhǎng)．10．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC邊上的一點(diǎn)，AC=2，CD=1，記∠CAD=α．（1）試寫(xiě)出α的三個(gè)三角函數(shù)值；（2）若∠B=α，求BD的長(zhǎng)．◆規(guī)律方法應(yīng)用11．如圖所示，在正方形ABCD中，DE=EC，AD=4FD，求tan∠FBE的值．12．已知0°<θ<90°，且關(guān)于x的方程x2-2xtanθ-3=0的兩個(gè)根的平方和等于10，求以tanθ，為根的一元二次方程．13．在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，AD=8，BD=4，求tanA的值．14．如圖所示，一塊四邊形土地，其中∠ABD=120°，AB⊥AC，BD⊥CD，AB=30m，CD=50m，求這塊土地的面積．◆開(kāi)放探索創(chuàng)新15．如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，AE⊥AF，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，EF交AB于點(diǎn)G，當(dāng)tan∠DAF=時(shí)，△AEF的面積為10，試問(wèn)：當(dāng)tan∠DAF=時(shí)，△AEF的面積是多少？◆中考真題實(shí)戰(zhàn)16．（安徽）如圖，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=2，求AB．17．（鹽城）如圖所示，在△ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC的面積．（結(jié)果可保留根號(hào)）18．（玉溪）下表是兩個(gè)實(shí)踐活動(dòng)小組實(shí)習(xí)報(bào)告的部分內(nèi)容，請(qǐng)你任選一組測(cè)量方案和數(shù)據(jù)，計(jì)算鐵塔高AB（精確到1m），計(jì)算過(guò)程在表格中完成．題目測(cè)量底部可以達(dá)到的鐵塔的高組別甲組乙組測(cè)量目標(biāo)測(cè)試數(shù)據(jù)∠1=30°，∠2=60°EF=30mCE=DF=NB=1.3m∠α=27°27′BP=50mMP=NB=1.3m計(jì)算（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈1.414，sin27°27′≈0.461，cos27°27′≈0.887，tan27°27′≈0.520，cot27°27′≈1.925）答案:1．5∠A∠B邊ABBCAC邊2．5個(gè)不能解3．60°24．45°15．∵sinA===，∴∠A=45°．∴∠B=90°-∠A=45°．∵∠A=∠B，∴b=a=31．6．∵∠C=90°，∴c==6．∵tanB==，∴∠B=30°．∴∠A=90°-∠B=60°．7．∵∠A=60°，∴∠B=90°-∠A=30°．∵sinA=，∴a=c·sinA=8×sin60°=12，∴b==4．8．∵∠A=7°20′，∴∠B=90°-∠A=82°40′．∵tanA=，∴a=b·tanA=7.234×tan7°20′≈0.9310．又∵cosA=，∴c=≈7.294．9．∵∠C=90°，∠BDC=45°，∴BC=DC=6．在Rt△ABC中，sinA=．而B(niǎo)C=6，sinA=，∴AB=6×=15．10．（1）在Rt△CAD中，AD==，∴sinα==．（2）∵∠B=α，∴tanα=，又∵tanα==，∴=，BC=2AC=4，∴BD=4-1=3．11．連接EF．設(shè)FD=a，則AD=BC=CD=4a，DE=EC=2a，∴=2．又∵∠D=∠C=90°，∴△BCE≌△EDF，∴=2，∠CBE=∠DEF．∵∠CBE+∠BEC=90°，∴∠DEF+∠BEC=90°，∴∠BEF=90°．在Rt△BEF中，tan∠FBE==．12．設(shè)x1，x2為關(guān)于x的方程x2-2xtanθ-3=0的兩個(gè)根．∴x1+x2=2tanθ，x1·x2=-3．又∵x12+x22=10，∴（x1+x2）2-2x1·x2=10，∴4tan2θ+6=10，∴tanθ=±1．∵0°<θ<90°，∴tanθ>0．∴tanθ=1，∴θ=45°．當(dāng)θ=45°時(shí)，△=4tan2θ+12>0，∴tanθ+=1+，tanθ·=．∴以tanθ，為根的一元二次方程為y2-（1+）y+=013．如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠ACB=∠CDB=90°，又∵∠A=∠DCB，∴△ACD∽△CBD，則．則CD2=AD·BD=8×4=32．∴CD=4．∴tanA=．14．延長(zhǎng)CA，DB交于點(diǎn)P，∵∠ABD=120°，∠ACD=60°，在Rt△CDP中，tan∠ACD=，∴PD=CD·tan∠ACD=50·tan60°=150（m）．在Rt△PAB中，tan∠PBA=．∴PA=AB·tan∠PBA=30·tan60°=90（m）．∴S四邊形ABCD=S△CDP-S△ABP=×50×150-×30×90=2400（m2）．即這塊土地的面積為2400m2．15．∵AE⊥AF，∴∠1+∠2=90°．又∵∠2+∠3=∠BAD=90°，∴∠1=∠3．又∵AB=AD，∠ABE=∠ADF=90°，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF．當(dāng)tan∠DAF=時(shí)，即=，設(shè)DF=k，則AD=3k，AF=k，∵S△AEF=AE·AF．∴×k·k=10，∴k=，∴AD=3．當(dāng)tan∠DAF=時(shí)，即=，∴DF=2，∴AF==，∴S△AEF=××=13．即當(dāng)tan∠DAF=時(shí)，△AFE的面積為13．16．過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=2．∴CD=AC·sinA=2×sin30°=．AD=AC·cosA=2×cos30°=3．在Rt△CDB中，tanB==2．∴AB=AD+DB=3+2=5．17．過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D．在Rt△ADC中，∵∠CDA=90°，∴tan∠DAC=，∴=tan60°=，∴AD=CD．在Rt△BDC中，∵∠B=45°，∴∠BCD=45°，∴CD=BD．∵AB=BD+AD=CD+CD×=8．∴CD=12-4．∴S△ABC=AB·CD=×8×（12-4）=48-16．18．（1）選擇甲組方案．∵∠CAD=∠CAN-∠DAN=30°，∴AD=CD=EF=30．在Rt△ADN中，AN=AD·sin60°=30×=15，∴AB=AN+NB=15+1.3≈27（m）．（2）選擇乙組方案．在Rt△AMN中，∵tanα=，∴AN=MN·tanα=50·tan27°27′≈26.0，∴AB=26.0+1.3≈27（m）．28.2解直角三角形(1)1．輪船航行到A處時(shí)，觀測(cè)到小島B的方向是北偏西40°，那么同時(shí)從B觀測(cè)到輪船的方向是（）A．南偏西40°B．南偏西140°C．南偏東50°D．南偏東40°2．如圖1，在山地上種樹(shù)，已知∠A=30°，AC=3米，則相鄰兩株樹(shù)的坡面距離AB是（）A．6米B．米C．2米D．2米圖1圖2圖3圖43．如圖2，一電線桿AB的高為10米，當(dāng)太陽(yáng)光線與地面的夾角為60度時(shí)，其影長(zhǎng)AC約為（取1.732，結(jié)果保留3個(gè)有效數(shù)字）（）A．5.00米B．8.66米C．17.3米D．5.77米4．為美化環(huán)境，在△ABC空地上種植售價(jià)為a元/平方米的一種草皮，已知AB=20m，AC=30m，∠A=150°，則購(gòu)買(mǎi)草皮至少需要（）A．450a元B．225a元C．150a元D．300a元5．如圖3，△ABC中，∠C=90°，AC=16cm，AB的中垂線MN交AC于點(diǎn)D，連結(jié)BD，若cos∠BDC=，則BC=（）A．8cmB．4cmC．6cmD．10cm6．如圖4，一棵大樹(shù)在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于距地面5米處倒下，則這棵樹(shù)在折斷前的高度為_(kāi)_______________米．7．平行四邊形的兩相鄰邊的邊長(zhǎng)分別為20和30，且其夾角為120°，則該平行四邊形的面積是_______．8．在△ABC中，∠C=90°，BC=4，sinA=，那么AC=_______．9．青島位于北緯36°4′，在冬至日的正午時(shí)分，太陽(yáng)的入射角為30°30′，因此在規(guī)劃建設(shè)樓高為20米的小區(qū)時(shí)，兩樓間的最小間距為_(kāi)_____米，才能保證不擋光．10．如圖5，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，已知AB=4，那么AD=_______．11．一只船向東航行，上午9時(shí)到達(dá)一座燈塔P的西南方向60海里的M處，上午11時(shí)到達(dá)N處時(shí)發(fā)現(xiàn)此燈塔P在船的正北方向，求這只船的航行速度．12．如圖，B，C是河岸邊兩點(diǎn)，A是對(duì)岸邊上一點(diǎn)，測(cè)得∠ABC=45°，∠ACB=60°，BC=60米，甲想從A點(diǎn)出發(fā)在最短的時(shí)間內(nèi)到達(dá)BC邊，若他的速度為5米/分，請(qǐng)你設(shè)計(jì)他的路線及所用的時(shí)間．13．某居民小區(qū)有一朝正南方向的居民樓DC（如圖），該居民樓的一樓是高6米的超市，超市以上是居民住房，在該樓的前面15米處要蓋一棟高20米的新樓AB．當(dāng)冬季正午的陽(yáng)光與水平線的夾角為30°時(shí)．（1）問(wèn)超市以上的居民住房采光是否受影響，為什么？（2）若要使超市采光不受影響，兩樓最少應(yīng)相距多少米？答案:1．D2．C點(diǎn)撥：cos30°=，∴AB=2．3．D點(diǎn)撥：tan60°=≈5.77米．4．C點(diǎn)撥：過(guò)C點(diǎn)作BA的垂線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∴∠DAC=30°．又∵AC=30m，∴DC=15m，∴S△ABC=AB·CD=×20×15=150（m2），∴購(gòu)買(mǎi)草皮需要150a元．5．A點(diǎn)撥：∵M(jìn)N為AB的中垂線，∴BD=AD．設(shè)AD=acm，∴BD=acm，CD=（16-a）cm，∴cos∠BDC==，∴a=10，∴在Rt△BCD中，CD=6cm，BD=10cm，∴BC=8cm．6．15點(diǎn)撥：設(shè)樹(shù)斷處到頂部長(zhǎng)xm，∴sin30°=，∴x=10m，∴此樹(shù)長(zhǎng)5+10=15m．7．300點(diǎn)撥：作高，利用三角函數(shù)求得高為10．8．2點(diǎn)撥：∵sinA==，∴AB=6，∴利用勾股定理得AC=2．9．20cot30°30′．點(diǎn)撥：設(shè)樓間距最小為x米，∴cot30°30`=，∴x=20cot30°30`.10．4點(diǎn)撥：∵AD為∠CAB的平分線，∴∠CAD=∠BAD=30°，又∵∠B=30°，AB=4，∴sin30°=，∴AD=4．11．sin∠MPN=，∴MN=30海里，∴速度為30÷2=15（海里/小時(shí)）．12．過(guò)A點(diǎn)作AD⊥CB交BC于點(diǎn)D，所走路線為A→D，∵∠ABC=45°，∠ACB=60°，∴tan∠CAD=，∴AD=CD，AD=BD．∴CD=AD．又∵CD+BD=60，∴CD+AD=60．∴AD+AD=60，∴AD=90-30，∴=（18-6）分．13．（1）如圖所示：過(guò)F點(diǎn)作FE⊥AB于點(diǎn)E可知EF=15米，∴AE=5米，∴EB=FC=（20-5）米．∵20-5>6，∴超市以上的居民住房采光要受影響．（2）如圖所示：若要使超市采光不受影響，則太陽(yáng)光從A直射到C處．∵AB=20米，∠ACB=30°，∴BC==20米，若要使超市采光不受影響，兩樓最少應(yīng)相距20米．28.2解直角三角形（1）課前預(yù)習(xí)1．在Rt△ABC中，∠C=900,AB=2,BC=，則tan=.2．在Rt△ABC中，∠C=900,BC=24，cosA=,則AC=.3．在Rt△ABC中，∠C=900,a=6,b與斜邊中線相等，則b=.課堂練習(xí)4．已知△ABC中，∠C=900，sinA=，則∠A=cosB=.5．已知△ABC中，a2+b2＝c22,3b=a．則∠A=.6．已知△ABC中，∠C=900,S=50，c=20．則∠B