四川省綿陽市綿陽南山中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)模擬試題（五）（含答案）

綿陽南山中學(xué)期末數(shù)學(xué)模擬試題（五）一、單選題（本大題共8小題）1．直線l:4x+3yA．4x+3y-4=C．4x-3y-42．雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1,FA．2 B．3 C．2 D．53．如圖，已知正方體的棱長為分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面無公共點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B． C． D．4．如圖，圓O與離心率為32的橢圓T：x2a2+y2b2=1a>b>0相切于點(diǎn)M0,1，過點(diǎn)M引兩條互相垂直的直線l1，lA．4 B．5 C．163 D．5．已知是圓的一條弦，，是的中點(diǎn).當(dāng)弦在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線上總存在兩點(diǎn)，使得為鈍角，則的取值范圍是（）A． B．C． D．6．如圖，在長方體中，分別是棱的中點(diǎn)，若點(diǎn)是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，則線段長度的最小值為（

）A． B． C． D．7．已知平面向量，滿足且，若對(duì)每一個(gè)確定的向量，記的最小值為，則當(dāng)變化時(shí)，的最大值為（

）A． B． C． D．18．已知點(diǎn)在拋物線：上，過作圓的兩條切線，分別交于，兩點(diǎn)，且直線的斜率為，若為的焦點(diǎn)，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．如圖，四邊形是邊長為的正方形，半圓面平面，點(diǎn)為半圓弧上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合），下列說法正確的是（

）A．三棱錐的四個(gè)面都是直角三角形B．三棱錐的體積最大值為C．當(dāng)時(shí)，異面直線與夾角的余弦值為D．當(dāng)直線與平面所成角最大時(shí)，平面截四棱錐外接球的截面面積10．定義與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.若橢圓的蒙日?qǐng)A為圓，過上的動(dòng)點(diǎn)作的兩條互相垂直的切線，分別與交于兩點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，則（

）A．橢圓的蒙日?qǐng)A方程為B．面積的最大值為7C．的最小值為D．若動(dòng)點(diǎn)在上，將直線的斜率分別記為，則11．已知橢圓和雙曲線有公共焦點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為，設(shè)兩曲線在第一象限的交點(diǎn)為為的角平分線，，點(diǎn)均在軸上，設(shè)橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則下列說法正確的是（

）A．B．以橢圓和雙曲線四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積的最大值為C．若，則的取值范圍為D．若，則的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線和圓相交于兩點(diǎn)．若，則的值為．13．A，B，C，D四人之間進(jìn)行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是（個(gè)人不投自己的票），則僅A一人是最高得票者的概率為．14．已知橢圓，、分別是其左，右焦點(diǎn)，P為橢圓C上非長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，D是x軸上一點(diǎn)，使得平分.過點(diǎn)D作、的垂線，垂足分別為A、B.則的最小值是.四、解答題（本大題共5小題）15．近年來，隨著電腦、智能手機(jī)的迅速普及，我國在線教育行業(yè)出現(xiàn)了較大的發(fā)展.某在線教育平臺(tái)為了解利用該平臺(tái)學(xué)習(xí)的高一學(xué)生化學(xué)學(xué)習(xí)效果，舉行了一次化學(xué)測試，并從中隨機(jī)抽查了200名學(xué)生的化學(xué)成績，將他們的成績分成以下6組：，，，，，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下面的頻數(shù)分布表所示.組別頻數(shù)203040603020（1）現(xiàn)利用分層抽樣的方法從前3組中抽取9人，再從這9人中隨機(jī)抽取4人調(diào)查其成績不理想的原因，試求這4人中至少有2人來自前2組的概率.（2）高一學(xué)生的這次化學(xué)成績（單位：分）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，并已求得.且這次測試恰有2萬名學(xué)生參加.（i）試估計(jì)這些學(xué)生這次化學(xué)成績?cè)趨^(qū)間內(nèi)的概率（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（ii）為了提升學(xué)生的成績，該平臺(tái)決定免費(fèi)贈(zèng)送給在平臺(tái)學(xué)習(xí)的學(xué)生若干學(xué)習(xí)視頻，具體贈(zèng)送方案如下：方案1：每人均贈(zèng)送25小時(shí)學(xué)習(xí)視頻；方案2：這次測試中化學(xué)成績不高于56.19分的學(xué)生贈(zèng)送40小時(shí)的學(xué)習(xí)視頻，化學(xué)成績?cè)趦?nèi)的學(xué)生贈(zèng)送30小時(shí)的學(xué)習(xí)視頻，化學(xué)成績高于84.81分的學(xué)生贈(zèng)送10小時(shí)的學(xué)習(xí)視頻。問：哪種方案該平臺(tái)贈(zèng)送的學(xué)習(xí)視頻總時(shí)長更多？請(qǐng)根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算說明.參考數(shù)據(jù)：則，.16．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，已知點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離的最大值為2．（1）求拋物線的方程；（2）已知是雙曲線左右焦點(diǎn)，過右焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)．證明：．17．如圖，三棱錐中，，，，為中點(diǎn)，點(diǎn)滿足.(1)證明：平面；(2)求二面角的大?。?3)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.18．已知與軸分別相交于，過點(diǎn)的直線交圓于．（1）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（2）當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，將圓沿軸折成直二面角，如圖，在上半圓上是否存在一點(diǎn)，使平面與平面的夾角的余弦值為，若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；（3）在圓上任取一點(diǎn)，過作軸的垂線段，為垂足，當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的中點(diǎn)的軌跡記為曲線，曲線與直線交于，直線與直線相交于，在定直線上，直線與直線相交于，在定直線上，判斷直線，的位置關(guān)系，并注明．19．如圖1，將一個(gè)半徑為的球放在桌面上，桌面上的一點(diǎn)的正上方相距處有一點(diǎn)光源，與球相切于點(diǎn)，也與球相切，點(diǎn)在桌面上，在此點(diǎn)光源的照射下，球在桌面上的影子的邊界就形成某種曲線.設(shè)方程在和時(shí)，對(duì)于每一個(gè)都分別有唯一的值存在，那么就說方程在和時(shí)確定一個(gè)隱函數(shù)，其求導(dǎo)法則為（這里表示關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，也是隱函數(shù)的圖象在點(diǎn)處切線的斜率）.（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求當(dāng)時(shí)，在此點(diǎn)光源的照射下，球在桌面上的影子的邊界形成的曲線的方程；（2）求證：過橢圓上任意一點(diǎn)的切線方程為；（3）若將（1）中所得曲線的中心平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，此時(shí)該曲線內(nèi)切于，且分別與，，相切于點(diǎn)，，，的延長線交于點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，如圖2，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為1,4，點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo).

綿陽南山中學(xué)期末數(shù)學(xué)模擬試題（五）參考答案1．【答案】B2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】D6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】A9．【答案】ACD10．【答案】ABC11．【答案】BCD12．【答案】513．【答案】14．【答案】15．【答案】(1)(2)（i），（ii）方案2【詳解】（1）因?yàn)槌闃颖龋猿槿∪?，抽取人，抽取?設(shè)事件：這4人中至少有2人來自前2組，.（2）所以，，，.所以對(duì)于方案2：設(shè)每位學(xué)生所獲增學(xué)習(xí)視頻小時(shí)數(shù)為，則.所以方案2該平臺(tái)贈(zèng)送的學(xué)習(xí)視頻總時(shí)長更多.16．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最大距離為，即，得，故拋物線C的方程為．（2）由題意可知，設(shè)的方程為，，聯(lián)立方程，得，易得，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以，所以，側(cè)直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，所以．17．【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，【詳解】（1）證明：連接，∵，，∴是正三角形，∴，同理可得，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴.∵，∴，∴，∴，∵在平面內(nèi)，∴平面；（2）由（1）得，，，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則A1,0,0，，，P0,0,1，∵，∴，顯然是平面的一個(gè)法向量，設(shè)m=x,y,z是平面的一個(gè)法向量，則，∴.取，則，，∴，∴，∴由題可知二面角為鈍角，故二面角的大小為；（3）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)（），則，∴，∵直線與平面所成角的正弦值為，∴，∴或（舍去），∴.18．【答案】(1)(2)存在，(3)與重合，證明見解析【詳解】（1）易知直線的斜率不為0，設(shè)，即，則圓心到直線的距離，又即，解得，所以直線的方程為，（2）易知直線的斜率不為0，設(shè)，即，由（1），，，又，化簡得，令，則，，又，故最大時(shí)，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可得，故此時(shí)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，設(shè)平面的法向量為n1=x1,y取，則，設(shè)，其中，則，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，，，解得，，（3）設(shè)，聯(lián)立，化簡，，，，設(shè)，，聯(lián)立，得，又，代入得，即點(diǎn)在定直線上，易得，聯(lián)立，化簡得，設(shè)，則，所以，同理，在定直線上，所以與重合.19．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【詳解】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則球心，，設(shè)為所形成曲線上的任意一點(diǎn)，由題意可知，則，

又，，，

，化簡得，當(dāng)時(shí)，可得所求曲線的方程為.（2）對(duì)，利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則，得，

過點(diǎn)的曲線的切線方程為，

即，

又，

①，證畢.（3）對(duì)于（1）中所得曲線，類似于圓的平移，將此曲線的中心平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的方程為，該曲線為橢圓.

在題圖2中，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為