2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.1.1-2.1.2位移速度和力向量的概念課時(shí)分層作業(yè)含解析北師大版必修4

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(十三)從位移、速度、力到向量(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程．其中是向量的有()A.2個(gè) B．3個(gè)C.4個(gè) D．5個(gè)C[②③④⑤是向量．]2．若向量a與向量b不相等，則a與b肯定()A.不共線 B．長度不相等C.不都是單位向量 D．不都是零向量D[若向量a與向量b不相等，則說明向量a與向量b的方向和長度至少有一個(gè)不同．所以a與b有可能共線，有可能長度相等，也有可能都是單位向量，所以A，B，C都是錯(cuò)誤的．但是a與b肯定不都是零向量．]3．如圖所示，?ABCD中，相等的向量是()A.eq\o(AD,\s\up8(→))與eq\o(CB,\s\up8(→)) B．eq\o(OA,\s\up8(→))與eq\o(OC,\s\up8(→))C.eq\o(AC,\s\up8(→))與eq\o(BD,\s\up8(→)) D．eq\o(DO,\s\up8(→))與eq\o(OB,\s\up8(→))D[eq\o(DO,\s\up8(→))與eq\o(OB,\s\up8(→))方向相同且長度相等．]4．下列說法中正確的個(gè)數(shù)是()(1)單位向量都平行；(2)若兩個(gè)單位向量共線，則這兩個(gè)向量相等；(3)向量a與b不共線，則a與b都是非零向量；(4)有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行；(5)方向?yàn)槟掀?0°的向量與北偏東60°的向量是共線向量．A.2 B．3C.4 D．5A[(1)錯(cuò)誤．因?yàn)閱挝幌蛄康姆较蚩梢约炔幌嗤植幌喾矗?2)錯(cuò)誤．因?yàn)閮蓚€(gè)單位向量共線，則這兩個(gè)向量的方向有可能相反．(3)正確．因?yàn)榱阆蛄颗c隨意向量共線，所以若向量a與b不共線，則a與b都是非零向量．(4)錯(cuò)誤．有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量方向有可能相同或相反，所以有可能是平行向量．(5)正確．方向?yàn)槟掀?0°的向量與北偏東60°的向量的方向是相反的，所以這兩個(gè)向量是共線向量．]5．設(shè)四邊形ABCD中，有eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，且|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|，則這個(gè)四邊形是()A.正方形 B．矩形C.等腰梯形 D．菱形D[由eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))可知四邊形ABCD為平行四邊形，又|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|，該四邊形為菱形．]二、填空題6．設(shè)數(shù)軸上有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，其中A，C對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是1和－3，且eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))為單位向量，則點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為________；點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為________；|eq\o(BC,\s\up8(→))|＝________.－7－4或－24[由題意知點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為－7.eq\o(CD,\s\up8(→))為單位向量，所以點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為－4或－2，|eq\o(BC,\s\up8(→))|＝－3－(－7)＝4.]7.如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長都是1，在其中標(biāo)出了6個(gè)向量，在這6個(gè)向量中：(1)有兩個(gè)向量的模相等，這兩個(gè)向量是________，它們的模都等于________．(2)存在著共線向量，這些共線的向量是________，它們的模的和等于________．(1)eq\o(CH,\s\up8(→))，eq\o(AE,\s\up8(→))eq\r(10)(2)eq\o(DG,\s\up8(→))，eq\o(HF,\s\up8(→))5eq\r(2)[(1)模相等的兩個(gè)向量是eq\o(CH,\s\up8(→))，eq\o(AE,\s\up8(→))，|eq\o(CH,\s\up8(→))|＝|eq\o(AE,\s\up8(→))|＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10).(2)共線的向量是eq\o(DG,\s\up8(→))，eq\o(HF,\s\up8(→))，且|eq\o(DG,\s\up8(→))|＋|eq\o(HF,\s\up8(→))|＝2eq\r(2)＋3eq\r(2)＝5eq\r(2).]8．給出下列幾種敘述：①兩個(gè)向量相等，則它們的始點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；②若|a|＝|b|，則a＝b；③若eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，則ABCD是平行四邊形；④平行四邊形ABCD中，肯定有eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))；⑤若a∥b，b∥c，則a∥c.其中正確的有________.(填序號(hào))④[①錯(cuò)誤．兩個(gè)向量相等，它們的始點(diǎn)和終點(diǎn)都不肯定相同．②錯(cuò)誤．若|a|＝|b|，則a與b方向未必相同，故a與b不肯定相等．③錯(cuò)誤．若eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，則A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)有可能在同一條直線上，所以ABCD不肯定是平行四邊形．④正確．平行四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC且有向線段eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(DC,\s\up8(→))方向相同，所以eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→)).⑤錯(cuò)誤．若a∥b，b∥c，b＝0，則a與c不肯定平行．]三、解答題9．△ABC的三邊均不相等，E、F、D分別是AC、AB、BC的中點(diǎn)，試求下列問題：(1)寫出與eq\o(EF,\s\up8(→))共線的向量；(2)寫出與eq\o(EF,\s\up8(→))的模大小相等的向量；(3)寫出與eq\o(EF,\s\up8(→))相等的向量．[解](1)因?yàn)镋、F分別是AC、AB的中點(diǎn)，所以EF綊eq\f(1,2)BC.又因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以與eq\o(EF,\s\up8(→))共線的向量有eq\o(FE,\s\up8(→))，eq\o(BD,\s\up8(→))，eq\o(DB,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→)).(2)與eq\o(EF,\s\up8(→))模相等的向量有eq\o(FE,\s\up8(→))，eq\o(BD,\s\up8(→))，eq\o(DB,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→)).(3)與eq\o(EF,\s\up8(→))相等的向量有eq\o(DB,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→)). 10.如圖所示，四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，N，M分別是AD，BC上的點(diǎn)，且eq\o(CN,\s\up8(→))＝eq\o(MA,\s\up8(→)).求證：eq\o(DN,\s\up8(→))＝eq\o(MB,\s\up8(→)).[證明]∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，∴|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(DC,\s\up8(→))|且AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴|eq\o(DA,\s\up8(→))|＝|eq\o(CB,\s\up8(→))|，且DA∥CB.又∵eq\o(DA,\s\up8(→))與eq\o(CB,\s\up8(→))的方向相同，∴eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(DA,\s\up8(→)).同理可證，四邊形CNAM是平行四邊形，∴eq\o(CM,\s\up8(→))＝eq\o(NA,\s\up8(→)).∵|eq\o(CB,\s\up8(→))|＝|eq\o(DA,\s\up8(→))|，|eq\o(CM,\s\up8(→))|＝|eq\o(NA,\s\up8(→))|，∴|eq\o(MB,\s\up8(→))|＝|eq\o(DN,\s\up8(→))|，又∵eq\o(DN,\s\up8(→))與eq\o(MB,\s\up8(→))的方向相同，∴eq\o(DN,\s\up8(→))＝eq\o(MB,\s\up8(→)).1．若a為任一非零向量，b為模為1的向量，下列各式：①|(zhì)a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1，其中正確的是()A.①④ B．③C.①②③ D．②③B[a為任一非零向量，故|a|>0.]2.如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，則以下說法錯(cuò)誤的是()A.與eq\o(AB,\s\up8(→))相等的向量只有一個(gè)(不含eq\o(AB,\s\up8(→)))B.與eq\o(AB,\s\up8(→))的模相等的向量有9個(gè)(不含eq\o(AB,\s\up8(→)))C.eq\o(BD,\s\up8(→))的模恰為eq\o(DA,\s\up8(→))的模的eq\r(3)倍D.eq\o(CB,\s\up8(→))與eq\o(DA,\s\up8(→))不共線D[由于eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，因此與eq\o(AB,\s\up8(→))相等的向量只有eq\o(DC,\s\up8(→))，而與eq\o(AB,\s\up8(→))的模相等的向量有eq\o(DA,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→)).因此選項(xiàng)B正確，而Rt△AOD中，∠ADO＝30°，∴|eq\o(DO,\s\up8(→))|＝eq\f(\r(3),2)|eq\o(DA,\s\up8(→))|，故|eq\o(DB,\s\up8(→))|＝eq\r(3)|eq\o(DA,\s\up8(→))|.因此選項(xiàng)C正確．由于eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(DA,\s\up8(→))，因此eq\o(CB,\s\up8(→))與eq\o(DA,\s\up8(→))是共線的，故錯(cuò)誤的選項(xiàng)是D.]3．在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(CD,\s\up8(→))且|eq\o(AB,\s\up8(→))|≠|(zhì)eq\o(CD,\s\up8(→))|，則四邊形ABCD的形態(tài)是________．梯形[∵eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(CD,\s\up8(→))且|eq\o(AB,\s\up8(→))|≠|(zhì)eq\o(CD,\s\up8(→))|，∴AB∥DC，但AB≠DC，∴四邊形ABCD是梯形．]4．已知在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，則|eq\o(BD,\s\up8(→))|＝________．2eq\r(3)[易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，則AO＝eq\f(1,2)AB＝1.在Rt△ABO中，易得|eq\o(BO,\s\up8(→))|＝eq\r(3)，∴|eq\o(BD,\s\up8(→))|＝2|eq\o(BO,\s\up8(→))|＝2eq\r(3).]5.如圖所示，平行四邊形ABCD中，O是兩對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{eq\o(MN,\s\up8(→))|M，N∈S，且M，N不重合}，試求集合T中元素的個(gè)數(shù)．[解]由題可知，集合T中的元素實(shí)質(zhì)上是S中隨意兩點(diǎn)連成的有向線段，共有20個(gè)，即eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AO,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(BD,\s\up8(→))，eq\o(BO,\s\up8(→))，eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\