2024-2025學年新教材高中數(shù)學第一章空間向量與立體幾何1.4.1第2課時空間中直線平面的垂直課后提升訓練含解析新人教A版選擇性必修第一冊

第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應用1.4.1用空間向量探討直線、平面的位置關(guān)系第2課時空間中直線、平面的垂直課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達標練1.(多選題)已知v為直線l的方向向量,n1,n2分別為平面α,β的法向量(α,β不重合),那么下列說法中,正確的有()A.n1∥n2?α∥β B.n1⊥n2?α⊥βC.v∥n1?l∥α D.v⊥n1?l⊥α解析∵平面α,β不重合,∴平面α,β的法向量平行(垂直)等價于平面α,β平行(垂直),∴AB正確;直線l的方向向量平行(垂直)于平面α的法向量等價于直線l垂直(平行)于平面α,∴CD都錯誤.故選AB.答案AB2.某直線l的一個方向向量為a=(2,2,-2),平面α的一個法向量為b=(1,1,-1),則()A.l⊥α B.l∥αC.l?α D.l⊥α或l∥α解析∵a=2b,∴a∥b,∴l(xiāng)⊥α.答案A3.(多選題)在菱形ABCD中,若PA是平面ABCD的法向量,則以下等式中肯定成立的是()A.PA·AB=0 B.PCC.PC·AB=0 D.PA解析∵PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA.又AC⊥BD,AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC,∵PC?平面PAC,∴PC⊥BD.故ABD成立.答案ABD4.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,則(A.EF至多與A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF與BD1相交D.EF與BD1異面解析建立分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸的空間直角坐標系(圖略),不妨設(shè)正方體的棱長為1,則DA1=(1,0,1),AC=(-1,1,0),E13,0,13,F23,13,0,EF=13,13,-13,∴EF·DA1=0,EF·AC=0,∴EF⊥A1D,EF⊥AC.又BD1=(-1,答案B5.設(shè)平面α與向量a=(-1,2,-4)垂直,平面β與向量b=(2,3,1)垂直,則平面α與β的位置關(guān)系是.

解析a·b=0,所以α⊥β.答案垂直6.已知A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),點P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,則點P的坐標為.

解析由題意得PA=(-x,1,-z),AB=(-1,-1,-1),AC=(2,0,1),由PA⊥AB,得PA·AB由PA⊥AC,得PA·AC解得x=-1,z=2.答案(-1,0,2)7.在棱長為a的正方體OABC-O1A1B1C1中,E,F分別是AB,BC上的動點,且AE=BF,求證:A1F⊥C1E.證明以O(shè)為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系,則A1(a,0,a),C1(0,a,a).設(shè)AE=BF=x,則E(a,x,0),F(a-x,a,0).所以A1F=(-x,a,-a),C1E=(a,x-a因為A1F·C1E=(-x,a,-a)·(a,x-a,-a)=-ax+ax-a2+a2=0,所以A1F⊥C8.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中點.求證:CD⊥平面PAE.證明如圖,以A為坐標原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.設(shè)PA=h,則A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).易知CD=(-4,2,0),AE=(2,4,0),AP=(0,0,h).∵CD·AE=-8+8+0=0,CD∴CD⊥AE,CD⊥AP.∵AP∩AE=A,∴CD⊥平面PAE.9.如圖所示,△ABC是一個正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD.求證:平面DEA⊥平面ECA.證明建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz,不妨設(shè)CA=2,則CE=2,BD=1,C(0,0,0),A(3,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1).所以EA=(3,1,-2),CE=(0,0,2),ED=(0,2,-1).分別設(shè)平面ECA與平面DEA的法向量是n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),則n解得y即3x2不妨取n1=(1,-3,0),n2=(3,1,2),因為n1·n2=0,所以n1⊥n2.所以平面DEA⊥平面ECA.實力提升練1.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,則實數(shù)x,y,zA.337,-157,4 B.407,C.407,-2,4 D.4,407,解析∵AB⊥BC,∴AB·BC=0,即3+5-2z=又BP⊥平面ABC,∴BP⊥則(x-答案B2.如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形,PD⊥底面ABCD,且PD=1,若點E,F分別為PB,AD的中點,則直線EF與平面PBC的位置關(guān)系是.

解析以D為原點,DA,DC,DP所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,則B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),E12,12,12,F12,0,0,∴EF=0,-12,-12,PB=(1,1,-1),PC=(0,-1,1),設(shè)平面PBC的一個法向量n=(x,y,z),則n·PB=0,n·PC=0,即x+y-z=0,-y+∵EF=-12n,∴EF∥n,∴EF⊥PBC答案垂直3.如圖所示,已知矩形ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一個點Q滿意PQ⊥QD,則a的值等于.

解析以A為原點,建立如圖所示坐標系,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,a,0),C(1,a,0),設(shè)Q(1,x,0),P(0,0,z),PQ=(1,x,-z),QD=(-1,a-x,0).由PQ·QD=0,得-1+x(a-x)=0,即x2-ax+1=0.當Δ=a2-4=0,即a=2時,點Q答案24.如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D為AB的中點,AC=BC=BB1.求證:(1)BC1⊥AB1;(2)BC1∥平面CA1D.證明如圖,以C1點為原點,C1A1,C1B1,C1C所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.設(shè)AC=BC=BB1=2,則A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2).(1)因為BC1=(0,-2,-2),AB1=(所以BC1·AB1=0因此BC1⊥AB1,故(2)由于CA1=(2,0,-2),CD若設(shè)BC1=xCA則得2x+即BC1=CA1-2CD,所以BC1,CA1,5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中點,試在棱CC1上求一點P,使得平面A1B1P⊥平面C1DE.解如圖,以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.設(shè)正方體的棱長為1,P(0,1,a),則A1(1,0,1),B1(1,1,1),E12,1,0,C1(0,1,1),A1B1=(0,1,0),A1P設(shè)平面A1B1P的一個法向量為n1=(x1,y1,z1),則n令z1=1,得x1=a-1,∴n1=(a-1,0,1).設(shè)平面C1DE的一個法向量為n2=(x2,y2,z2),則n令y2=1,得x2=-2,z2=-1,∴n2=(-2,1,-1).∵平面A1B1P⊥平面C1DE,∴n1⊥n2,即n1·n2=0.∴-2(a-1)+0+(-1)=0,∴a=12故P0,6.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,側(cè)面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC=12AD(1)求證:CD⊥平面PAC;(2)側(cè)棱PA上是否存在點E,使得BE∥平面PCD?若存在,指出點E的位置并證明,若不存在,請說明理由.解因為∠PAD=90°,所以PA⊥AD.又因為側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD.∠BAD=90°,所以AB,AD,AP兩兩垂直.分別以AB,AD,AP所在直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè)AD=2,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).(1)證明:AP=(0,0,1),AC=(1,1,0),CD=(-1,1,0),可得AP·CD=0,AC所以AP⊥CD,AC⊥CD.又因為AP∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.(2)設(shè)側(cè)棱PA的中點是E,則E0,0,12,BE=-1,0,12.設(shè)平面PCD的法向量是n=(x,y,z),則n因為CD=(-1,1,0),PD=(0,2,-1),所以-取x=1,則y=1,z=2,所以平面PCD的一個法向量為n=(1,1,2).所以n·BE=(1,1,2)·-1,0,12=0,所以n⊥BE.因為BE?平面PCD,所以BE∥平面PCD.綜上所述,當點E為PA的中點時,BE∥平面PCD.素養(yǎng)培優(yōu)練如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中點,P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點.若點Q在線段B1P上,則下列結(jié)論正確的是()A.當點Q為線段B1P的中點時,DQ⊥平面A1BDB.當點Q為線段B1P的三等分點時,DQ⊥平面A1BDC.在線段B1P的延長線上,存在一點Q,使得DQ⊥平面A1BDD.不存在點Q,使得DQ⊥平面A1BD解析以點A1為坐標原點,A1B1,A1C1,A1A所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,則由已知得A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(0,1,0),B(1,