2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明2.1.1合情推理學(xué)案新人教B版選修2-2

PAGEPAGE12．1.1合情推理1.了解合情推理的含義及作用．2.理解歸納推理與類比推理的特點(diǎn)及步驟．3.會(huì)利用歸納和類比的方法進(jìn)行推理．1．推理(1)定義：依據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知事實(shí)(或假設(shè))得出一個(gè)推斷，這種思維方式就是推理．(2)結(jié)構(gòu)：推理一般由兩部分組成，一部分是已知的事實(shí)(或假設(shè))，叫做前提；一部分是由已知推斷推出的新推斷，叫做結(jié)論．(3)分類：推理eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(合情推理,演繹推理))2．合情推理(1)合情推理①定義：當(dāng)前提為真時(shí)，結(jié)論可能為真的推理，叫做合情推理．②分類：歸納推理和類比推理是數(shù)學(xué)中常用的合情推理．(2)歸納推理和類比推理歸納推理類比推理定義依據(jù)一類事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì)，推出這類事物的全部對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理，叫做歸納推理依據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似(或一樣)性，推想其中一類事物具有與另一類事物類似(或相同)的性質(zhì)的推理，叫做類比推理特征歸納是從特別到一般的過程類比是從特別到特別的過程1．推斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)歸納推理是由一般到一般的推理過程．()(2)歸納推理得出的結(jié)論具有或然性，不肯定正確．()(3)類比推理得到的結(jié)論可以作為定理應(yīng)用．()答案：(1)×(2)√(3)×2．?dāng)?shù)列5，9，17，33，x，…中的x等于()A．47B．65C．63D．128答案：B3．各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．答案：an＝eq\f(n（n＋1）,2)數(shù)與式的推理(1)由下列各式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…請(qǐng)你歸納出一般結(jié)論．(2)已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)a1＝1，且an＋1＝eq\f(an,1＋an)(n＝1，2，3，…)，試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．[解](1)由左、右兩邊各項(xiàng)冪的底數(shù)之間的關(guān)系：1＝1，1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，可得一般結(jié)論：13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2，即13＋23＋33＋…＋n3＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n（n＋1）,2)))eq\s\up12(2).(2)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1；當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝eq\f(1,1＋1)＝eq\f(1,2)；當(dāng)n＝3時(shí)，a3＝eq\f(\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq\f(1,3)；當(dāng)n＝4時(shí)，a4＝eq\f(\f(1,3),1＋\f(1,3))＝eq\f(1,4).通過視察可得，數(shù)列的前4項(xiàng)都等于相應(yīng)序號(hào)的倒數(shù)，由此歸納出an＝eq\f(1,n).eq\a\vs4\al()由已知數(shù)、式進(jìn)行歸納推理的步驟(1)要留意所給幾個(gè)等式(或不等式)中項(xiàng)數(shù)和次數(shù)等方面的改變規(guī)律．(2)要留意所給幾個(gè)等式(或不等式)中結(jié)構(gòu)形式的特征．(3)提煉出等式(或不等式)的綜合特點(diǎn)．(4)運(yùn)用歸納推理得出一般結(jié)論．1.視察下列等式：1＋1＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，…照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為________________________．解析：視察規(guī)律可知，左邊為n項(xiàng)的積，最小項(xiàng)和最大項(xiàng)依次為(n＋1)，(n＋n)，右邊為連續(xù)奇數(shù)之積乘以2n，則第n個(gè)等式為：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．答案：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)2．已知數(shù)列{an}滿意a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)．(1)求a2，a3，a4，a5；(2)歸納猜想通項(xiàng)公式an.解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3，當(dāng)n＝2時(shí)，a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，同理可得a4＝15，a5＝31.(2)由于a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，所以可歸納猜想an＝2n－1(n∈N＋).歸納推理在幾何圖形中的應(yīng)用如圖所示，由若干個(gè)點(diǎn)組成形如三角形的圖形，每條邊(包括兩個(gè)端點(diǎn))有n(n>1，n∈N＋)個(gè)點(diǎn)，每個(gè)圖形總的點(diǎn)數(shù)記為an，則a6＝________，an＝________(n>1，n∈N＋)．[解析]依據(jù)圖形特點(diǎn)，可知第5個(gè)圖形中三角形各邊上各有6個(gè)點(diǎn)，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2，3，4，5，6的圖形特點(diǎn)歸納得an＝3n－3(n>1，n∈N＋)．[答案]153n－3eq\a\vs4\al()歸納推理在圖形中的應(yīng)用策略1.把1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形(如圖所示)．則第七個(gè)三角形數(shù)是()A．27 B．28C．29 D．30解析：選B.把1，3，6，10，15，21，…依次記為a1，a2，…，則可以得到a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，a6－a5＝6，所以a7－a6＝7，即a7＝a6＋7＝28.2．依據(jù)圖中5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的改變規(guī)律，試揣測(cè)第n個(gè)圖中有________個(gè)點(diǎn)．解析：視察圖形的改變規(guī)律可得：圖(2)從中心點(diǎn)向兩邊各增加1個(gè)點(diǎn)，圖(3)從中心點(diǎn)向三邊各增加2個(gè)點(diǎn)，圖(4)從中心點(diǎn)向四邊各增加3個(gè)點(diǎn)，如此，第n個(gè)圖從中心點(diǎn)向n邊各增加(n－1)個(gè)點(diǎn)，易得答案：1＋n·(n－1)＝n2－n＋1.答案：n2－n＋1類比推理及其應(yīng)用類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試寫出空間中四面體性質(zhì)的猜想．[解]如圖(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得：c2＝a2＋b2；類比直角三角形的勾股定理，在四面體P-DEF中，如圖(2)，猜想：S2＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3)(S、S1、S2、S3分別是四面體P-DEF的面△PEF、△DEF、△PFD、△PDE的面積)．eq\a\vs4\al()類比推理的一般步驟1.下面運(yùn)用類比推理正確的是()A．“若a·3＝b·3，則a＝b”類推出“若a·0＝b·0，則a＝b”B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”類推出“(a＋b)n＝an＋bn”解析：選C.A錯(cuò)，因?yàn)轭惐鹊慕Y(jié)論a可以不等于b；B錯(cuò)，類比的結(jié)論不滿意安排律；C正確；D錯(cuò)，乘法類比成加法是不成立的．2．已知△ABC的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r，用S△ABC表示△ABC的面積，則S△ABC＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)．類比這一結(jié)論有：若三棱錐A-BCD的內(nèi)切球半徑為R，求三棱錐A-BCD的體積．解：內(nèi)切圓半徑req\o(→,\s\up7(類比))內(nèi)切球半徑R，三角形的周長(zhǎng)：a＋b＋ceq\o(→,\s\up7(類比))三棱錐各面的面積和：S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD，三角形面積公式系數(shù)eq\f(1,2)eq\o(→,\s\up7(類比))三棱錐體積公式系數(shù)eq\f(1,3).所以類比得三棱錐體積VA-BCD＝eq\f(1,3)R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)．1．利用歸納推理解決問題時(shí)，要擅長(zhǎng)歸納，要對(duì)有限的資料作歸納整理，提出帶規(guī)律性的說法，要精確捕獲有用信息并進(jìn)行分析，大膽揣測(cè)，當(dāng)心驗(yàn)證即可．2．利用類比推理解決問題時(shí)肯定要留意兩類事物的相像性，例如，拿分式同分?jǐn)?shù)類比、平面幾何與立體幾何的某些對(duì)象類比等，但類比推理的結(jié)論不肯定正確，須要證明．在進(jìn)行類比推理時(shí)，充分相識(shí)兩個(gè)系統(tǒng)的相同(或相像)之處，充分考慮其中的本質(zhì)聯(lián)系，再進(jìn)行類比，避開因類比的相像性較少，被一些表面現(xiàn)象迷惑導(dǎo)致類比結(jié)論的錯(cuò)誤．1．下列哪個(gè)平面圖形與空間的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適()A．三角形B．梯形C．平行四邊形D．矩形解析：選C.只有平行四邊形與平行六面體較為接近．2．由數(shù)列1，10，100，1000，…，揣測(cè)該數(shù)列的第n項(xiàng)可能是()A．10n B．10n－1C．10n＋1 D．10n－2解析：選B.數(shù)列各項(xiàng)依次為100，101，102，103…，由歸納推理可知，選B.3．在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)比為1∶2，則它們的面積比為1∶4.類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)比為1∶2，則它們的體積比為__________．解析：eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,3)S1h1,\f(1,3)S2h2)＝eq\f(S1,S2)·eq\f(h1,h2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).答案：1∶84．已知f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)(n∈N＋)，計(jì)算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)>2，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3，f(32)>eq\f(7,2)，推想當(dāng)n≥2時(shí)，有__________．解析：通過視察歸納可得f(2n)>eq\f(n＋2,2).答案：f(2n)>eq\f(n＋2,2)[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．視察數(shù)列1，5，14，30，x，…，則x的值為()A．22 B．33C．44 D．55解析：選D.視察歸納得出，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前一項(xiàng)與它本身項(xiàng)數(shù)的平方的和，即an＝an－1＋n2，所以x＝30＋52＝55.2．給出下列三個(gè)類比結(jié)論：①類比ax·ay＝ax＋y，則有ax÷ay＝ax－y；②類比loga(xy)＝logax＋logay，則有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③類比(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，則有(xy)z＝x(yz)．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選C.依據(jù)指數(shù)的運(yùn)算法則知ax÷ay＝ax－y，故①正確；依據(jù)三角函數(shù)的運(yùn)算法則知：sin(α＋β)≠sinαsinβ，②不正確；依據(jù)乘法結(jié)合律知：(xy)z＝x(yz)，③正確．3．視察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般結(jié)論是()A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2解析：選B.可以發(fā)覺：第一個(gè)式子的第一個(gè)數(shù)是1，其次個(gè)式子的第一個(gè)數(shù)是2，…，故第n個(gè)式子的第一個(gè)數(shù)是n；第一個(gè)式子中有1個(gè)數(shù)相加，其次個(gè)式子中有3個(gè)數(shù)相加，…，故第n個(gè)式子中有2n－1個(gè)數(shù)相加；第一個(gè)式子的結(jié)果是1的平方，其次個(gè)式子的結(jié)果是3的平方，故第n個(gè)式子應(yīng)當(dāng)是2n－1的平方，故可以得到n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.4．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1表示在x軸，y軸上的截距分別為a，b的直線，拓展到空間，在x軸，y軸，z軸上的截距分別為m，n，c(mnc≠0)的平面方程為()A．eq\f(x,m)＋eq\f(y,n)＋eq\f(z,c)＝1 B．eq\f(x,mn)＋eq\f(y,nc)＋eq\f(z,mc)＝1C．eq\f(xy,mn)＋eq\f(yz,nc)＋eq\f(zx,cm)＝1 D．mx＋ny＋cz＝1答案：A5．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示．依據(jù)圖中的規(guī)律，第n個(gè)“金魚”圖須要火柴棒的根數(shù)為()A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2解析：選C.從①②③可以看出，從圖②起先每個(gè)圖中的火柴棒都比前一個(gè)圖中的火柴棒多6根，故火柴棒數(shù)成等差數(shù)列，第一個(gè)圖中火柴棒為8根，故可歸納出第n個(gè)“金魚”圖需火柴棒的根數(shù)為6n＋2.6．我們知道：周長(zhǎng)肯定的全部矩形中，正方形的面積最大；周長(zhǎng)肯定的全部矩形與圓中，圓的面積最大，將這些結(jié)論類比到空間，可以得到的結(jié)論是________________________．解析：平面圖形與立體圖形的類比：周長(zhǎng)→表面積，正方形→正方體，面積→體積，矩形→長(zhǎng)方體，圓→球．答案：表面積肯定的全部長(zhǎng)方體中，正方體的體積最大；表面積肯定的全部長(zhǎng)方體和球中，球的體積最大7．視察下列不等式：1＋eq\f(1,22)＜eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＜eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＜eq\f(7,4)，…照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為________________．解析：視察每行不等式的特點(diǎn)，每行不等式左端最終一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的算術(shù)平方根與右端值的分母相等，且每行右端分?jǐn)?shù)的分子構(gòu)成等差數(shù)列．所以第五個(gè)不等式為1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)＜eq\f(11,6).答案：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)＜eq\f(11,6)8．將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣(如圖)：依據(jù)以上排列的規(guī)律，第n(n≥3，n∈N＋)行從左向右的第3個(gè)數(shù)為________．解析：前(n－1)行共有正整數(shù)1＋2＋…＋(n－1)＝eq\f(n2－n,2)(個(gè))，因此第n行第3個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n2－n,2)＋3))個(gè)，即為eq\f(n2－n＋6,2).答案：eq\f(n2－n＋6,2)9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通過計(jì)算a2，a3，a4，猜想an.解：因?yàn)镾n＝n2·an(n≥2)，a1＝1，所以S2＝4·a2＝a1＋a2，a2＝eq\f(1,3)＝eq\f(2,3×2).S3＝9a3＝a1＋a2＋a3，a3＝eq\f(a1＋a2,8)＝eq\f(1,6)＝eq\f(2,4×3).S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4，a4＝eq\f(a1＋a2＋a3,15)＝eq\f(1,10)＝eq\f(2,5×4).所以猜想an＝eq\f(2,n（n＋1）).10．平面中的三角形和空間中的四面體有許多相類似的性質(zhì)，例如在三角形中：①三角形兩邊之和大于第三邊．②三角形的面積S＝eq\f(1,2)×底×高．③三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的eq\f(1,2).請(qǐng)類比上述性質(zhì)，寫出空間中四面體的相關(guān)結(jié)論．解：由三角形的性質(zhì)，可類比得空間四面體的相關(guān)性質(zhì)為：①四面體的隨意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積．②四面體的體積V＝eq\f(1,3)×底面積×高．③四面體的中位面平行于第四個(gè)面且面積等于第四個(gè)面的面積的eq\f(1,4).[B實(shí)力提升]11．將正奇數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，則第21行從左向右的第5個(gè)數(shù)為()135791113151719212325272931…A．809 B．853C．785 D．893解析：選A.前20行共有正奇數(shù)1＋3＋5＋…＋39＝202＝400(個(gè))，則第21行從左向右的第5個(gè)數(shù)是第405個(gè)正奇數(shù)，所以這個(gè)數(shù)是2×405－1＝809.12．依據(jù)圖(1)的面積關(guān)系：eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′,PA)·eq\f(PB′,PB)，可猜想圖(2)有體積關(guān)系：eq\f(VP-A′B′C′,VP-ABC)＝________．解析：題干兩圖中，與△PAB，△PA′B′相對(duì)應(yīng)的是三棱錐P-ABC，P-A′B′C′；與△PA′B′兩邊PA′，PB′相對(duì)應(yīng)的是三棱錐P-A′B′C′的三條側(cè)棱PA′，PB′，PC′.與△PAB的兩條邊PA，PB相對(duì)應(yīng)的是三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA，PB，PC.由此，類比題圖(1)的面積關(guān)系，得到題圖(2)的體積關(guān)系為eq\f(VP-A′B′C′,VP-ABC)＝eq\f(PA′,PA)·eq\f(PB′,PB)·eq\f(PC′,PC).答案：eq\f(PA′,PA)·eq\f(PB′,PB)·eq\f(PC′,PC)13．在公比為4的等比數(shù)列{bn}中，若Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積，則有eq\f(T20,T10)，eq\f(T30,T20)，eq\f(T40,T30)也是等比數(shù)列，且公比為4100；類比上述結(jié)論，相應(yīng)地在公差為3的等差數(shù)列{