2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第2章等式與不等式2.2不等式2.2.1不等式及其性質(zhì)第2課時不等式及其性質(zhì)學(xué)案含解析新人教B版必修第一冊

PAGE8-第2課時不等式及其性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.駕馭不等式的性質(zhì)．(重點)2.能利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行數(shù)或式的大小比較或不等式的證明．(難點)3.通過類比等式與不等式的性質(zhì)，探究兩者之間的共性與差異．1.通過不等式性質(zhì)的推斷與證明，培育邏輯推理實力．2.借助不等式性質(zhì)求范圍問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．糖水跟煲湯一樣，具有滋補(bǔ)養(yǎng)生的功效．可以作為糖水的材料有許多，不同的材料具有不同的功效，有的具于涼爽性，有的具有燥熱性．依據(jù)不同的主料來配搭不同輔料，可以達(dá)到相輔相成的效果．專家稱，喝糖水可緩解煩躁失眠，在煩躁而不簡潔入眠時，喝糖水可使體內(nèi)產(chǎn)生大量血清素，亦可助眠．問題(1)假如向一杯糖水里加糖，糖水變甜了，為什么？(2)把原來的糖水(淡)與加糖后的糖水(濃)混合到一起，你能得出什么不等關(guān)系？如何證明？性質(zhì)1(可加性)：a＞b?a＋c＞b＋c．性質(zhì)2(可乘性)：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b，,c＞0))?ac＞bc．性質(zhì)3：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b，,c＜0))?ac＜bc．性質(zhì)4(傳遞法)：a＞b，b＞c?a＞c．推論1(移項法則)：a＋b＞c?a＞c－b．推論2(同向可加性)：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b，,c＞d))?a＋c＞b＋d．推論3(同向同正可乘性)：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b＞0，,c＞d＞0))?ac＞bd．推論4(正數(shù)乘方性)：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n＞1).推論5(正數(shù)開方性)：a＞b＞0?eq\r(a)＞eq\r(b)．[拓展](1)性質(zhì)1說明不等式兩邊都加上同一個實數(shù)，所得的不等式與原不等式同向．性質(zhì)1是不等式移項法則的基礎(chǔ)，不等式中任何一項變更符號后，可以把它從一邊移到另一邊．(2)性質(zhì)2，3證明過程中的關(guān)鍵步驟是依據(jù)“同號相乘得正，異號相乘得負(fù)”的法則來完成的．肯定要留意性質(zhì)2，3中c的符號，因為c的符號不同，結(jié)論恰好相反．性質(zhì)2，3中的a，b可以是實數(shù)，也可以是式子．(3)推論2中，同向不等式可相加，但不能相減，即由a＞b，c＞d，可以得出a＋c＞b＋d，但不能得出a－c＞b－d.(4)不等式的性質(zhì)中，對表達(dá)不等式性質(zhì)的各不等式，要留意“箭頭”是單向的還是雙向的，即符號“?”表示等價關(guān)系，可以相互推出，而符號“?”只能從左邊推向右邊，該性質(zhì)不具備可逆性．尤其在證明不等式時，要留意是否可逆．1．思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)假如a＞b，c＜0，那么ac＜bc. ()(2)假如a＜b＜0，那么a2＞b2. ()(3)假如eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，那么|a|＞|b|. ()[答案](1)√(2)√(3)×2．與a>b等價的不等式是()A．|a|>|b| B．a(chǎn)2>b2C．eq\f(a,b)>1 D．a(chǎn)3>b3D[可利用賦值法．令a＝－5，b＝0，則A，B正確而不滿意a>b，再令a＝－3，b＝－1，則C正確而不滿意a>b，故選D.]3．設(shè)x<a<0，則下列不等式肯定成立的是()A．x2<ax<a2 B．x2>ax>a2C．x2<a2<ax D．x2>a2>axB[∵x<a<0，∴x2>a2.∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2.故選B.]4．(教材P63練習(xí)B②改編)若a＜b＜0，則下列不等式中不成立的是()A．a(chǎn)2＞b2 B．eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,a)C．eq\f(1,a)＞eq\f(1,b) D．a(chǎn)5＋b5＜a2b3＋a3b2B[由于a＜b＜0，則|a|＞|b|，即a2＞b2，故A成立；當(dāng)a＝－2，b＝－1時，eq\f(1,－2－（－1）)＝－1＜－eq\f(1,2)，故B不成立；由a＜b＜0，兩邊同時除以ab可得eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，故C成立；a5＋b5－(a2b3＋a3b2)＝a2(a3－b3)－b2(a3－b3)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)＜0，故D成立．故選B.]利用不等式性質(zhì)推斷命題真假【例1】對于實數(shù)a，b，c，下列命題中的真命題是()A．若a＞b，則ac2＞bc2B．若a＞b＞0，則eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)C．若a＜b＜0，則eq\f(b,a)＞eq\f(a,b)D．若a＞b，eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，則a＞0，b＜0[思路點撥]本題可以利用不等式的性質(zhì)干脆推斷命題的真假，也可以采納特別值法推斷．D[法一：∵c2≥0，∴c＝0時，有ac2＝bc2，故A為假命題；由a＞b＞0，有ab＞0?eq\f(a,ab)＞eq\f(b,ab)?eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)，故B為假命題；a＜b＜0?－a＞－b＞0?－eq\f(1,b)＞－eq\f(1,a)＞0?eq\f(a,b)＞eq\f(b,a)，故C為假命題；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b?b－a＜0，,\f(1,a)＞\f(1,b)?\f(1,a)－\f(1,b)＞0?\f(b－a,ab)＞0))?ab＜0.∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D為真命題．法二：特別值解除法．取c＝0，則ac2＝bc2，故A錯；取a＝2，b＝1，則eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,b)＝1.有eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，故B錯；取a＝－2，b＝－1，則eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(a,b)＝2，有eq\f(b,a)＜eq\f(a,b)，故C錯．故選D.]運(yùn)用不等式的性質(zhì)推斷時，要留意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能憑想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì)．解有關(guān)不等式選擇題時，也可采納特別值法進(jìn)行解除，留意取值肯定要遵循如下原則：一是滿意題設(shè)條件；二是取值要簡潔，便于驗證計算．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．下列命題正確的是()A．若a2＞b2，則a＞bB．若eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，則a＜bC．若ac＞bc，則a＞bD．若eq\r(a)＜eq\r(b)，則a＜bD[A錯，例如(－3)2＞22；B錯，例如eq\f(1,2)＞eq\f(1,－3)；C錯，例如當(dāng)c＝－2，a＝－3，b＝2時，有ac＞bc，但a＜b.故選D.]利用不等式性質(zhì)證明簡潔不等式[探究問題]1．證明不等式的常用方法有哪些？[提示]比較法，綜合法，分析法，反證法．2．綜合法證明不等式的基本思路是什么？[提示]從已知條件動身，綜合利用各種結(jié)果，經(jīng)逐步推導(dǎo)，最終得出結(jié)論．【例2】若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求證：eq\f(e,（a－c）2)＞eq\f(e,（b－d）2).[思路點撥]可結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，分析所證不等式的結(jié)構(gòu)，有理有據(jù)地導(dǎo)出證明結(jié)果．[證明]∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.兩邊同乘以eq\f(1,（a－c）2（b－d）2)，得eq\f(1,（a－c）2)＜eq\f(1,（b－d）2).又e＜0，∴eq\f(e,（a－c）2)＞eq\f(e,（b－d）2).本例條件不變的狀況下，求證：eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).[證明]∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，∴0＜eq\f(1,a－c)＜eq\f(1,b－d).又∵e＜0，∴eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).利用不等式的性質(zhì)證明不等式的留意事項(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題肯定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并留意在解題中敏捷精確地加以應(yīng)用．(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時，應(yīng)留意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，切不行省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．不等式性質(zhì)的應(yīng)用[探究問題]1．小明同學(xué)做題時進(jìn)行如下變形：∵2<b<3，∴eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，又∵－6<a<8，∴－2<eq\f(a,b)<4.你認(rèn)為正確嗎？為什么？[提示]不正確．因為不等式兩邊同乘以一個正數(shù)，不等號的方向不變，但同乘以一個負(fù)數(shù)，不等號方向變更，在本題中只知道－6<a<8，不明確a值的正負(fù)，故不能將eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)與－6<a<8兩邊分別相乘，只有兩邊都是正數(shù)的同向不等式才能分別相乘．2．由－6<a<8，－4<b<2，兩邊分別相減得－2<a－b<6，你認(rèn)為正確嗎？[提示]不正確．因為同向不等式具有可加性，但不能相減，解題時要充分利用條件，運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行等價變形，而不行隨意“創(chuàng)建”性質(zhì)．3．你知道下面的推理、變形錯在哪兒嗎？∵2<a－b<4，∴－4<b－a<－2.又∵－2<a＋b<2，∴0<a<3，－3<b<0，∴－3<a＋b<3.這怎么與－2<a＋b<2沖突了呢？[提示]利用幾個不等式的范圍來確定某不等式的范圍要留意：同向不等式兩邊可以相加(相乘)，這種轉(zhuǎn)化不是等價變形．本題中將2<a－b<4與－2<a＋b<2兩邊相加得0<a<3，又將－4<b－a<－2與－2<a＋b<2兩邊相加得出－3<b<0，又將該式與0<a<3兩邊相加得出－3<a＋b<3，多次運(yùn)用了這種轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致了a＋b范圍的擴(kuò)大．【例3】已知1＜a＜4，2＜b＜8，試求a－b與eq\f(a,b)的取值范圍．[思路點撥]依據(jù)不等式的性質(zhì)，找到－b與eq\f(1,b)的范圍，進(jìn)而求出a－b與eq\f(a,b)的取值范圍．[解]因為1＜a＜4，2＜b＜8，所以－8＜－b＜－2，所以1－8＜a－b＜4－2，即－7＜a－b＜2.又因為eq\f(1,8)＜eq\f(1,b)＜eq\f(1,2)，所以eq\f(1,8)＜eq\f(a,b)＜eq\f(4,2)＝2，即eq\f(1,8)＜eq\f(a,b)＜2.求含字母的數(shù)(或式子)的取值范圍時，一要留意題設(shè)中的條件，二要正確運(yùn)用不等式的性質(zhì)，尤其是兩個同方向的不等式可加不行減，可乘不行除．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．已知－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，求eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的取值范圍．[解]∵－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,4)≤eq\f(α,2)＜eq\f(π,4)，－eq\f(π,4)＜eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，兩式相加，得－eq\f(π,2)＜eq\f(α＋β,2)＜eq\f(π,2).又∵－eq\f(π,4)＜eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,4)≤－eq\f(β,2)＜eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜eq\f(π,2)，又知α＜β，∴eq\f(α－β,2)＜0.故－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜0.學(xué)問：1．在應(yīng)用不等式性質(zhì)時，肯定要搞清它們成立的前提條件，不行強(qiáng)化或弱化成立的條件．2．要留意“箭頭”是單向的還是雙向的，也就是說每條性質(zhì)是否具有可逆性．3．證明不等式常選用綜合法，對于不便利用綜合法證明的不等式可以敏捷選擇分析法與反證法．方法：證明不等式常用的方法有：作差(商)比較法、綜合法、分析法、反證法．1．若a＞b＞0，c＜d＜0，則肯定有()A.eq\f(a,c)＞eq\f(b,d) B．eq\f(a,c)＜eq\f(b,d)C．eq\f(a,d)＞eq\f(b,c) D．eq\f(a,d)＜eq\f(b,c)D[法一：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴eq\f(1,－d)＞eq\f(1,－c)＞0.又a＞b＞0，所以eq\f(a,－d)＞eq\f(b,－c)，所以eq\f(a,d)＜eq\f(b,c).法二：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2.則eq\f(a,c)＝－1，eq\f(b,d)＝－1，解除選項A，B.又eq\f(a,d)＝－eq\f(3,2)，eq\f(b,c)＝－eq\f(2,3)，所以eq\f(a,d)＜eq\f(b,c)，解除選項C.]2．假如a＞b＞0，c＞d＞0，則下列不等式中不正確的是()A．a(chǎn)－d＞b－c B．－eq\f(a,d)＜－eq\f(b,c)C．a(chǎn)＋d＞b＋c