初中九年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練(奧數(shù))專題27數(shù)形結(jié)合

初中九年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練（奧數(shù)）專題27數(shù)形結(jié)合閱讀與思考數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是“數(shù)”與“形”，對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的事物，我們既可以從“數(shù)”的角度來(lái)研究，也可以從“形”的角度來(lái)探討，我們?cè)谘芯俊皵?shù)”的性質(zhì)時(shí)，離不開(kāi)“形”；而在探討“形”的性質(zhì)時(shí)，也可以借助于“數(shù)”．我們把這種由數(shù)量關(guān)系來(lái)研究圖形性質(zhì)，或由圖形的性質(zhì)來(lái)探討數(shù)量關(guān)系，即這種“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想叫作數(shù)形結(jié)合思想.數(shù)形結(jié)合有下列若干途徑：1．借助于平面直角坐標(biāo)系解代數(shù)問(wèn)題；2．借助于圖形、圖表解代數(shù)問(wèn)題；3．借助于方程（組）或不等式（組）解幾何問(wèn)題；4．借助于函數(shù)解幾何問(wèn)題.現(xiàn)代心理學(xué)表明：人腦左半球主要具有言語(yǔ)的、分析的、邏輯的、抽象思維的功能；右半球主要具有非言語(yǔ)的、綜合的、直觀的、音樂(lè)的、幾何圖形識(shí)別的形象思維的功能．要有效地獲得知識(shí)，則需要兩個(gè)半球的協(xié)同工作，數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題有利于發(fā)揮左、右大腦半球的協(xié)作功能.代數(shù)表達(dá)及其運(yùn)算，全面、精確、入微，克服了幾何直觀的許多局限性，正因?yàn)槿绱?，笛卡爾?chuàng)立了解析幾何，用代數(shù)方法統(tǒng)一處理幾何問(wèn)題．從而成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的先驅(qū)．幾何問(wèn)題代數(shù)化乃是數(shù)學(xué)的一大進(jìn)步．例題與求解【例1】設(shè)y=《x2+2x+2+Jx2—4x+13,則y的最小值為.（羅馬尼亞競(jìng)賽試題）解題思路：若想求出被開(kāi)方式的最小值，則顧此失彼.y=JQ+15+1+*x-2、+9=4+1,+6-11+.Q-21+6-31，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在x軸上求一點(diǎn)C（X,0）,使它到兩點(diǎn)A（-1,1）和B（2,3）的距離之和（即CA+CB）最小.【例2】直角三角形的兩條直角邊之長(zhǎng)為整數(shù)，它的周長(zhǎng)是X厘米，面積是X平方厘米，這樣的直角三角形（ ）A.不存在 B.至多1個(gè) C.有4個(gè) D.有2個(gè)（黃岡市競(jìng)賽試題）解題思路：由題意可得若干關(guān)系式,若此關(guān)系式無(wú)解,則可推知滿足題設(shè)要求的直角三角形不存在；若此關(guān)系式有解,則可推知這樣的直角三角形存在,且根據(jù)解的個(gè)數(shù),可確定此直角三角形的個(gè)數(shù)．

【例3】如圖，在△ABC中，/A=90。,/B=2ZC,/B的平分線交AC于D,AE±BC于E,111DF±BCDF±BC于F.求證：BD?DFAE?BFAE?BE（湖北省競(jìng)賽試題）解題思路：圖形中含多個(gè)重要的基本圖形,待證結(jié)論中的代數(shù)跡象十分明顯．可依據(jù)題設(shè)條件,分別計(jì)算出各個(gè)線段,利用代數(shù)法證明．【例4】當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，方程,2-5x|=a【例4】當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，方程,2-5x|=a有且只有相異的兩實(shí)數(shù)根?（四川省聯(lián)賽試題）解題思路：從函數(shù)的觀點(diǎn)看，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=x2-5x與函數(shù)j=a（a三0）圖象有且只有相異兩個(gè)交點(diǎn).作出函數(shù)圖象，由圖象可直觀地得a的取值范圍.【例5】設(shè)4ABC三邊上的三個(gè)內(nèi)接正方形（有兩個(gè)頂點(diǎn)在三角形的一邊上，另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在三角形另兩邊上）的面積都相等，證明：△ABC為正三角形.（江蘇省競(jìng)賽試題）解題思路：設(shè)△ABC三邊長(zhǎng)分別為a,b,J對(duì)應(yīng)邊上的高分別為h,h,h,△ABC的面積abc2S為S,則易得三個(gè)內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)分別為一-a+ha2S一廠，由題意得a+hac+hc=b+h—c+hb c,2S2S 2S 2S即a+———b+———c+———L.則Ua,b,c適合方程x+———L.

abc xX2+xy+—=25,3【例6】設(shè)正數(shù)x,y,z滿足方程組一二+z2=9 ，求Xy+2yz+3z的值.3z2+zx+X2=16（俄羅斯中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）能力訓(xùn)練.不查表可求得tan150的值為 .3\；3 八.如圖，點(diǎn)A,C都在函數(shù)y=——（X>0）的圖象上，點(diǎn)B,D都在X軸上，且使得^OAB,△xBCD都是等邊三角形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為. （全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）.平面直角坐標(biāo)系上有點(diǎn)P（—1,—2）和點(diǎn)Q（4,2）,取點(diǎn)R（1,m），當(dāng)m=時(shí)，PR+RQ有最小值.TOC\o"1-5"\h\z.若a>0,b<0,要使|x—a+|x—b|二a—b成立，X的取值范圍是 ..已知AB是半徑為1的。O的弦，AB的長(zhǎng)為方程X2+X—1=0的正根，則NAOB的度數(shù)是 . （太原市競(jìng)賽試題）.如圖，所在正方形的中心均在坐標(biāo)原點(diǎn)，且各邊與X軸或y軸平行，從內(nèi)到外，它們的邊長(zhǎng)依次為2,4,6,8,…，頂點(diǎn)依次用A,A,A,A，…表示，則頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（ ）1 2 3 4 55A.(13,13)BA.(13,13)B．(—13,—13)C.(14,14)D.(—14,14)yy第2題圖第6題圖7.在△ABC中，/C=90°,AC=3,BC=4.在△ABD中，/A=90。yy第2題圖第6題圖7.在△ABC中，/C=90°,AC=3,BC=4.在△ABD中，/A=90。,AD=12.點(diǎn)C和點(diǎn)D分居AB兩側(cè)，過(guò)點(diǎn)D且平行于AC的直線交CB的延長(zhǎng)線于E.如果"DBDEm,其中，m,n是互質(zhì)的正整數(shù)，n那么m+n=(A.25)B.128C.153D.243E.256(美國(guó)數(shù)學(xué)統(tǒng)一考試題)8.設(shè)ac分別是△ABC的三邊的長(zhǎng)，—：—，則它的內(nèi)角NA，/B的關(guān)系是( )a+b+cA.ZB>2ZAB.ZB=2ZAC.NBV2NAD.不確定9.如圖A.SAAFG27——a11SAACGB.=4a,SABFG28—a11C.則S=(AAEG29. a11D.30—a11DC.滿足兩條直角邊邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且周長(zhǎng)恰好等于面積的整數(shù)倍的直角三角形的個(gè)數(shù)有( )1個(gè)2個(gè)1個(gè)2個(gè)3個(gè)D.無(wú)窮多個(gè).如圖，關(guān)于X的二次函數(shù)y=X2-2mx-m的圖象與x軸交于A(x1,0),B(x2,0)兩點(diǎn)(x2>0>x1),與y軸交于C點(diǎn)，且NBAC=NBCO.(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(2)以點(diǎn)D(2,,0)為圓心。D,與y軸相切于點(diǎn)0,過(guò)=拋物線上一點(diǎn)E(X3,t)(t>0,x3<0)作X軸的平行線與。D交于F,G兩點(diǎn)，與拋物線交于另一點(diǎn)H.問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)t，使得EF+GH=CF?如果存在，求出t的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. (武漢市中考題).已知正數(shù)a,b,c,A,B,C滿足a+A=b+B=c+C=k.求證：aB十bC+cA<k2..如圖，一個(gè)圓與一個(gè)正三角形的三邊交于六點(diǎn)，已知AG=2,GF=13,FC=1,HI=7,求DE.(美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題).射線QN與等邊△ABC的兩邊AB,BC分別交于點(diǎn)M,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)Q出發(fā)，沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動(dòng)，經(jīng)過(guò)t秒，以點(diǎn)P為圓心，<3cm為半徑的圓與△A5C的邊相切（切點(diǎn)在邊上）.請(qǐng)寫(xiě)出/可以取的一切值：（單位：秒）.第14題圖15.如圖已知D是^ABC邊AC上的一點(diǎn)，AD：DC=2：1,ZC=450，/ADB=60015.如圖求證:AB求證:AB是^BCD的外接圓的切線.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）第15題圖16.如圖，在^ABC中，作一條直線l〃BC,且與AB、AC分別相交于D，E