浙江省紹興會(huì)稽聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省紹興會(huì)稽聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷考生須知：1.本卷共4頁(yè)，滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】由直線方程知，直線的斜率為，根據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系知，直線傾斜角大小為.故選：D2.在平行六面體中，運(yùn)算的結(jié)果為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如下圖，結(jié)合向量加法幾何意義有.故選：C3.圓x2＋y2＋2x－1＝0的圓心到直線y＝x＋3的距離為（）A.1 B.2 C. D.2【答案】C【解析】圓心為(－1，0)，它到直線y＝x＋3的距離為＝.4.圓和圓的位置關(guān)系是（）A.外離 B.外切 C.內(nèi)切 D.內(nèi)含【答案】B【解析】由的圓心為，半徑為，由的圓心為，半徑為3，所以圓心距為，即兩圓外切.故選：B5.直線的一個(gè)方向向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直線方程可化為，即直線的一個(gè)方向向量為，各選項(xiàng)中與平行的向量為，即可作為直線的方向向量.故選：A6.已知平面的一個(gè)法向量是平面內(nèi)一點(diǎn)，是平面外一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是（）A B. C.3 D.【答案】A【解析】由題意，,點(diǎn)到平面的距離是.故選：A.7.若直線經(jīng)過(guò)兩直線和的交點(diǎn)，則（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】聯(lián)立，可得，即交點(diǎn)為，由題意.故選：B8.已知M，N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，則的取值范圍為（）A.[51,76] B.[52,76] C.[64,80] D.[68,80]【答案】C【解析】若是左焦點(diǎn)，連接，又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以為平行四邊形或?yàn)樽笥翼旤c(diǎn)，則，由，則，故，則，開(kāi)口向上且對(duì)稱(chēng)軸為，又，所以.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線與平行，則的值可能是（）A.1 B.3 C.4 D.6【答案】BD【解析】由題意可得，解得或6，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)或6，兩直線，兩直線平行，故選：BD.10.已知，橢圓：，：的離心率分別為，.若，則的值可能為（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】若，則，，則，解得.若，則，，則，解得或（舍去）.若，則，，，方程無(wú)解.故選：AB.11.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)芬奇方磚在正六邊形上畫(huà)了具有視覺(jué)效果的正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達(dá)芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體.若圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為，則（）A.點(diǎn)到直線的距離是 B.異面直線與所成角的余弦值為C.直線到平面的距離是 D.直線與平面所成角的正弦值為【答案】ACD【解析】如圖所示，易知可將該組合體補(bǔ)全成棱長(zhǎng)為的正方體，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，D0,1,0，，，則，，，，A選項(xiàng)：，則，所以到直線的距離，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：，則異面直線與所成角的余弦值為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：易知直線，且平面，平面，則平面，所以直線到平面得距離及為點(diǎn)到平面的距離，設(shè)平面的法向量n=x,y,z則，令，則，所以點(diǎn)到平面距離，即直線到平面的距離為，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：易知平面的應(yīng)該法向量為，則，即直線與平面所成角的正弦值為，D選項(xiàng)正確；故選：ACD.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為且,則___________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，即，所以，解得，所?故答案為：13.焦點(diǎn)在軸上，焦距為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________.【答案】【解析】由焦點(diǎn)在軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由焦距為可得，解得；又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.14.設(shè)有一組圓，存在定直線___________始終與圓相切.【答案】或【解析】易知圓系的圓心，半徑為2，顯然始終在直線上，要滿(mǎn)足題意則圓心到定直線的距離始終為2，即定直線到直線的距離始終為2，不妨設(shè)直線，則，即定直線為：或.故答案為：或.四、解答題：本題共6小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)是.（1）求邊AC所在直線的斜截式方程;（2）求邊AC上的高所在直線的斜截式方程.解：（1）由題設(shè)，則直線的斜截式方程為；（2）由（1）及題意，邊AC上的高所在直線的斜率，且過(guò)，所以高所在直線方程為，即為所求斜截式方程.16.已知點(diǎn)在橢圓上，過(guò)點(diǎn)作斜率為1的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn).（1）求橢圓C的方程;（2）求的值.解：（1）由題意，故橢圓方程為；（2）由題意，聯(lián)立橢圓方程得，整理得，顯然，則，，所以，由.17.如圖，在長(zhǎng)方體中，分別為棱，的中點(diǎn).（1）證明:四點(diǎn)共面;（2）為邊上一點(diǎn)，若平面與平面ABCD所成夾角的余弦值為，求CP的長(zhǎng)度.解：（1）連接，因?yàn)榉謩e為棱，的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，所以，所以四點(diǎn)共面.（2）如圖，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由分別為棱，的中點(diǎn)，可得，，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，可取，為平面的法向量，又平面與平面ABCD所成夾角的余弦值為，設(shè)平面與平面ABCD所成夾角為，則，解得或3，所以的長(zhǎng)度為1或3.18.已知圓，直線是圓與圓的公共弦AB所在直線，且圓的圓心在直線上.（1）求公共弦AB的長(zhǎng)度；（2）求圓的方程；（3）過(guò)點(diǎn)分別作直線，，交圓于,,,四點(diǎn)，且，試探究是否為定值，若為定值，請(qǐng)求出該定值;若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）圓，所以圓的圓心坐標(biāo)，半徑，圓心到直線的距離，公共弦；（2）圓的圓心在直線上，設(shè)圓心，由題意得，，，即，到的距離，所以的半徑，所以圓的方程：；（3）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的互相垂直的直線，為軸，垂直于軸時(shí)，，這時(shí)直線的方程為，代入到圓中，，所以，.當(dāng)過(guò)點(diǎn)的互相垂直的直線，不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線為：，則直線為：，所以圓心到直線的距離，圓心到直線的距離，，，設(shè)，當(dāng)或時(shí)，正好是軸及垂直軸，.19.如圖，已知向量，可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，若，，．在向量已有的運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上，新定義一種運(yùn)算，顯然的結(jié)果仍為一向量，記作（1）求證：向量為平面OAB的法向量；（2）若，，求以O(shè)A，OB為邊的平行四邊形OADB的面積，并比較四邊形OADB的面積與的大小；（3）將四邊形OADB按向量平