2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點突破和專題檢測專題15 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-函數(shù)的零點問題5題型分類-備2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點突破和專題檢測（原卷版）

專題15導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用--函數(shù)的零點問題5題型分類1、函數(shù)零點問題的常見題型：判斷函數(shù)是否存在零點或者求零點的個數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點情況，求參數(shù)的值或取值范圍.求解步驟：第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與軸（或直線）在某區(qū)間上的交點問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點值等性質(zhì)，進而畫出其圖像；第三步：結(jié)合圖像判斷零點或根據(jù)零點分析參數(shù).2、函數(shù)零點的求解與判斷方法：（1）直接求零點：令f（x）＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．（2）零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f（a）·f（b）＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個零點．（3）利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．3、求函數(shù)的零點個數(shù)時，常用的方法有：一、直接根據(jù)零點存在定理判斷；二、將整理變形成的形式，通過兩函數(shù)圖象的交點確定函數(shù)的零點個數(shù)；三、結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)零點個數(shù).4、利用導(dǎo)數(shù)研究零點問題：（1）確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識確定極值點和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖像；（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點問題；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.（一）函數(shù)零點的求解與判斷方法(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．（4）結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)零點個數(shù).注：導(dǎo)函數(shù)處理零點個數(shù)問題，由于涉及多類問題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號，隱零點的探索、參數(shù)的分類討論等），需要學(xué)生對多種基本方法，基本思想，基本既能進行整合，注意思路是通過極值的正負(fù)和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢，從而判斷零點個數(shù)，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點個數(shù)問題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進行分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)，及分類是否全面，都是需要思考的地方題型1：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點個數(shù)1-1．（2024高三下·江蘇常州·階段練習(xí)）已知，（n為正整數(shù)，）．(1)當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，，證明：有且僅有1個零點；(2)當(dāng)時，證明：．1-2．（2024·江西九江·二模）已知函數(shù)，．(1)若直線與曲線相切，求a的值；(2)用表示m，n中的最小值，討論函數(shù)的零點個數(shù)．1-3．（2024·山東·一模）已知，且0為的一個極值點．(1)求實數(shù)的值；(2)證明：①函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點；②，其中且．1-4．（2024·山東·一模）已知函數(shù)．(1)若對時，，求正實數(shù)a的最大值；(2)證明：；(3)若函數(shù)的最小值為m，試判斷方程實數(shù)根的個數(shù)，并說明理由．1-5．（2024高三上·海南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)，證明：當(dāng)時，函數(shù)有三個零點．（二）根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)函數(shù)由零點求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：1、分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從中分離參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)，在每個小范圍內(nèi)研究零點的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.題型2：根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)2-1．（2024高二下·浙江臺州·期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)證明：當(dāng)時，有且只有一個零點；(3)若在區(qū)間各恰有一個零點，求的取值范圍.2-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點，求實數(shù)的取值范圍.2-3．（2024·四川成都·一模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個零點，求的取值范圍.2-4．（2024高三上·廣東·階段練習(xí)）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.2-5．（2024·浙江·二模）設(shè)函數(shù).(1)證明：當(dāng)時，；(2)記，若有且僅有2個零點，求的值.2-6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知有3個零點，求實數(shù)a的取值范圍．題型3：根據(jù)零點個數(shù)求值3-1．（2024·陜西寶雞·二模）已知是方程的一個根，則的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．63-2．（2024高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有3個不同的實根，，（），則的取值范圍是.3-3．（2024·福建福州·二模）已知函數(shù)有三個零點，且，則.（三）零點與不等式的證明問題證明雙變量不等式的基本思路：首先進行變量的轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙變量所滿足的關(guān)系式，或者通過比值代換eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(令t＝\f(x2,x1)))，利用關(guān)系式將其中一個變量用另一個變量表示，代入要證明的不等式，化簡后根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點構(gòu)造函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值，并把最值應(yīng)用到所證不等式.題型4：零點與不等式的證明問題4-1．（2024高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)，時，函數(shù)有兩個極值點，（），證明：.4-2．（2024·寧夏）已知函數(shù)（I）如，求的單調(diào)區(qū)間；（II）若在單調(diào)增加，在單調(diào)減少，證明>6.4-3．（2024·廣東深圳·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)①當(dāng)時，試證明函數(shù)恰有三個零點；②記①中的三個零點分別為，，，且，試證明.4-4．（2024·山東日照·三模）已知函數(shù)有三個零點.(1)求的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)的三個零點由小到大依次是.證明：.4-5．（2024·江蘇泰州·一模）已知函數(shù)，，．(1)若，求證：（ⅰ）在的單調(diào)減區(qū)間上也單調(diào)遞減；（ⅱ）在上恰有兩個零點；(2)若，記的兩個零點為，求證：．4-6．（2024·遼寧·二模）已知函數(shù).（1）若.證明函數(shù)有且僅有兩個零點；（2）若函數(shù)存在兩個零點，證明：.4-7．（2024高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若存在極值，求的取值范圍；(2)若，已知方程有兩個不同的實根，，證明：.（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）（四）導(dǎo)數(shù)與“隱零點”問題利用“隱零點”證明不等式：關(guān)鍵在于“設(shè)而不求”及“等量代換”，常見的有不含參和含參兩種類型：①不含參函數(shù)的隱零點問題：已知不含參函數(shù)f(x)，導(dǎo)函數(shù)方程f′(x)＝0的根存在，卻無法求出，設(shè)方程f′(x)＝0的根為x0，則(i)有關(guān)系式f′(x0)＝0成立；(ii)注意確定x0的合適范圍.②含參函數(shù)的隱零點問題：已知含參函數(shù)f(x，a)，其中a為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程f′(x，a)＝0的根存在，卻無法求出，設(shè)方程f′(x，a)＝0的根為x0，則(i)有關(guān)系式f′(x0，a)＝0成立，該關(guān)系式給出了x0，a的關(guān)系；(ii)注意確定x0的合適范圍，往往和a的取值范圍有關(guān).題型5：導(dǎo)數(shù)與“隱零點”問題5-1．（2024·全國）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點的個數(shù)；（Ⅱ）證明：當(dāng)時.5-2．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個零點，記較小零點為，求證：.一、單選題1．（2024·天津）函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．32．（2024·全國）函數(shù)存在3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·全國）已知函數(shù)有唯一零點，則A． B． C． D．14．（2024·吉林通化·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足：①定義域為；②；③有且僅有兩個不同的零點，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若有3個不同的解，，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題6．（2024高三上·河北保定·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，有兩個極值點B．當(dāng)時，的圖象關(guān)于中心對稱C．當(dāng)，且時，可能有三個零點D．當(dāng)在上單調(diào)時，7．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）對于函數(shù)和，設(shè)，若存在，使得，則稱與互為“零點相鄰函數(shù)”.若函數(shù)與互為“零點相鄰函數(shù)”，則實數(shù)的值可以是（）A． B． C． D．三、填空題8．（2024·北京）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①若，恰有2個零點；②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個零點；③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個零點；④存在正數(shù)，使得恰有3個零點．其中所有正確結(jié)論的序號是．9．（2024高三上·江蘇南通·開學(xué)考試）已知定義在上的函數(shù)同時滿足下列三個條件：①為奇函數(shù)；②當(dāng)時，，③當(dāng)時，.則函數(shù)的零點的個數(shù)為.10．（2024高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則方程有個不相等的實數(shù)解．11．（2024·陜西西安·一模）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為.四、解答題12．（2024·全國）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點；（2）有且僅有2個零點．13．（2024·全國）已知函數(shù)．（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：只有一個零點．14．（2024·全國）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的最大值；(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．15．（2024·全國）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍．16．（2024高三上·河南·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，.(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)已知有兩個不同的零點，（i）求的取值范圍；（ii）證明：.17．（2024高三上·四川成都·開學(xué)考試）已知函數(shù)有三個零點（）.(1)求a的取值范圍；(2)過點與分別作的切線，兩切線交于M點，求M點到y(tǒng)軸的距離.18．（2024·全國）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，則．19．（2024·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若不等式有解，求實數(shù)的取值范圍；(2)若有兩個不同的零點，證明：.20．（2024·陜西）設(shè)（Ⅰ）求；（Ⅱ）證明：在內(nèi)有且僅有一個零點（記為），且.21．（2024高三上·河南洛陽·開學(xué)考試）（1）證明不等式：（第一問必須用隱零點解決，否則不給分）；（2）已知函數(shù)有兩個零點.求a的取值范圍.（第二問必須用分段討論解決，否則不給分）22．（2024高三上·河北·期中）已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)記函數(shù)，若恒成立，試求實數(shù)的取值范圍.23．（2024高三上·云南·階段練習(xí)）已知．(1)當(dāng)時，求在上的單調(diào)性；(2)若，令，討論方程的解的個數(shù)．24．（2024高三上·北京·開學(xué)考試）已知函數(shù)，曲線在的切線為．(1)求a，b的值；(2)求證：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；(3)求函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由．25．（2024高三上·河北保定·開學(xué)考試）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時，證明：在上恒成立；(2)當(dāng)時，求在內(nèi)的零點個數(shù)..26．（2024高三上·重慶·階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為.(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)，求關(guān)于的方程的解的個數(shù).27．（2024高三上·河北·階段練習(xí)）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù).(1)證明：在區(qū)間上存在唯一極大值點；(2)求函數(shù)的零點個數(shù).28．（2024高三上·重慶·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)求的極值；(2)若關(guān)于的方程只有一個實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.29．（2024高三上·四川廣安·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.30．（2024高三上·江西南昌·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若方程有兩個不同的正根，求的取值范圍.31．（2024高三上·福建廈門·階段練習(xí)）若函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)有極值為，(1)求函數(shù)的解析式；(2)若有3個解，求實數(shù)的范圍.32．（2024·河北保定·二模）已知函數(shù)，其中常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)．(1)若，求的最小值；(2)若函數(shù)恰有一個零點，求a的值．33．（2024高三上·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有一個零點，求的取值范圍.34．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求證：曲線僅有一條過原點的切線；(2)若時，關(guān)于的方程有唯一解，求實數(shù)的取值范圍．35．（2024·新疆·三模）已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若方程有兩個不相等的實根，求實數(shù)的取值范圍，并證明．36．（2024·江西鷹潭·一模）設(shè)m為實數(shù)，函數(shù).(1)當(dāng)時，直線是曲線的切線，求的最小值；(2)已函數(shù)有兩個不同的零點，（），若，且恒成立，求實數(shù)的范圍.37．（2024高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)證明：當(dāng)時，在區(qū)間上存在極值點；(2)記在區(qū)間上的極值點為m，在區(qū)間上的零點的和為n，請比較2m與n的大小.38．（2024高三上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·期中）設(shè)函數(shù)，(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)如果且關(guān)于的方程有兩個解，證明：.39．（2024高三上·遼寧大連·期中）已知函數(shù)（自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個零點.(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)若的兩個零點分別為，，證明：.40．（2024高三下·重慶九龍坡·開學(xué)考試）已知且.(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，若有三個零點.①求的范圍；②設(shè)，求證：.41．（2024高三上·廣東河源·開學(xué)考試）已知函數(shù)，，其中.(1)求過點且與函數(shù)的圖象相切的直線方程；(2)①求證：當(dāng)時，；②若函數(shù)有兩個不同的零點，，求證：.全國名校大聯(lián)考2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一聯(lián)考（月考）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)（）．(1)若在上恒成立，求a的取值范圍：(2)設(shè)，，為函數(shù)的兩個零點，證明：．43．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知函數(shù),.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）設(shè)，.①求證：函數(shù)存在零點；②設(shè)，若函數(shù)的一個零點為.問：是否存在，使得當(dāng)時，函數(shù)有且僅有一個零點，且總有恒成立？如果存在，試確定的個數(shù)；如果不存在，請說明理由.44．（2024高三上·山西臨汾·期中）已知函數(shù)，，在上有且僅有一個零點.(1)求的取值范圍；(2)證明：若，則在上有且僅有一個零點，且.45．（2024高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知，函數(shù)，.(1)證明：函數(shù)，都恰有一個零點；(2)設(shè)函數(shù)的零點為，的零點為，證明.46．（2024·海南海口·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求的最小值；(2)設(shè).（?。┳C明：存在兩個零點，；（ⅱ）證明：的兩個零點，滿足.47．（2024高三上·甘肅天水·階段練習(xí)）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，，證明：函數(shù)有且僅有兩個零點，兩個零點互為倒數(shù)．48．（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在處取得極值，求曲線在點處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時，，證明：函數(shù)有且僅有兩個零點，且兩個零點互為倒數(shù)．49．（2024高三·湖南長沙·階段練習(xí)）已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的零點．（1）求的取值范圍；（2）記兩個零點為，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范圍．50．（2024·廣西·模擬預(yù)測）已知．（1）若函數(shù)有三個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍；（2）在（1）的前提下，設(shè)三個零點分別為且，當(dāng)時，求實數(shù)a的取值范圍．51．（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（）.（1）若，且在內(nèi)有且只有一個零點，求的值；（2）若，且有三個不同零點，問是否存在實數(shù)使得這三個零點成等差數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.52．（2024·浙江·二模）設(shè)，已知函數(shù)有個不同零點.(1)當(dāng)時，求函數(shù)的最小值：(2)求實數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)的三個零點分別為、、，且，證明：存在唯一的實數(shù)，使得、、成等差數(shù)列.53．（2024高三上·山東臨沂·期中）已知函數(shù)和有相同的最大值.(1)