《直線與平面垂直》第2課時同步學案

高中數學精選資源3/3《直線與平面垂直》第2課時同步學案問題情境導入生活中處處都有直線和平面垂直的例子，如豎立的旗桿和地面、路燈和地面等在判斷線面平行時我們有判定定理，那么判斷線面垂直又有什么好辦法呢？本節(jié)我們就來研究這一問題.自學導引1.直線與平面垂直的判定定理：_____.符號語言：_____.2.如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條_____.答案1.如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直a2.也垂直于這個平面預習測評1.一條直線和三角形的兩邊同時垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關系是（）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不確定2.下列說法中，正確的是（）A.若直線與平面內無數條直線垂直,則B.若直線垂直于平面,則與平面內的直線可能相交,可能異面,也可能平行C.若,則D.若,則3.在長方體的棱上任取一點,作于,則與平面的關系是（）A.平行B.平面CC.相交但不垂直D.相交且垂直答案1.答案：B解析：直線和三角形兩邊垂直，由直線與平面垂直的判定定理知,直線垂直于三角形所在的平面,則直線垂直于第三邊.2.答案：C解析：當l與內的任何一條直線都垂直時，，故A錯；當時，l與內的直線可能相交或異面，但不會平行，故B錯；C顯然是正確的；而D中，a可能在內，所以D錯誤.3.答案：D解析:如圖,在長方體中,有平面,又面,所以,由已知有,且,所以平面也可由“如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面”直接得出結論.新知合作探究探究點直線與平面垂直的判定定理知識詳解直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.簡化為：線線垂直線面垂直圖形語言表示：符號語言表示：.[特別提示]（1）直線與平面垂直判定定理的本質是由線線垂直得到線面垂直判定定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；判定定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想.（2）判定直線與平面垂直還有下面結論可用：如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.典例探究例1下列說法正確的有_____.（填序號）①垂直于同一條直線的兩條直線平行；②如果一條直線與一個平面內的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個平面垂直；③如果一條直線垂直于平面內的兩條直線，那么這條直線與這個平面垂直；④若l與平面不垂直，則平面內一定沒有直線與l垂直.解析因為空間內與一條直線同時垂直的兩條直線能相交，可能平行，也可能異面，故①不正確；由直線與平面垂直的定義可得，故②正確；因為這兩條直線可能是平行直線，故③不正確；如圖，與不垂直，但，，故④不正確.答案=2\*GB3②方法歸納判定定理條件中的“兩條相交直線”是關鍵性詞語,此處強調“相交",若兩條直線平行,則直線與平中不一定悉直.變式訓練1(1)若三條直線兩兩垂直,則直線垂直于（）A.平面B.平面C.平面D.平面(2)如果一條直線垂直于一個平面內的：=1\*GB3①三角形的兩邊;=2\*GB3②梯形的兩邊;=3\*GB3③圓的兩條直徑;=4\*GB3④正五邊形的兩邊.能保證該直線與平面垂直的是_____(填序號).答案（1）C（2）=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③點撥（1）因為,平面,所以手面.（2）根據直線與平面垂直的判定定理，平面內這兩條直線必須是相交的,=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③中給定的兩直線一定相交,能它們互相平行,不滿足定理條件.例2如圖,在四棱錐中,底面是矩形,平面分別是的中點.證明:平面.解析結合題意求得,結合直線與平面垂直的判定定理可得證.答案如圖,連接.在利中,，所以,即是等腰三角形.又是的中點,所以.又,是的中點,所以.變式訓練2如圖所示，在三棱柱中，側棱底面，為的中點.求證:平面.答案因為平面，所以.又,所以.而,所以平面.又平面,所以.由已知計算得.所以,所以.又因為C,所以平面.方法歸納證明“線面垂直”的方法：（1）“線線垂直”證明“線面垂直”：①定義法（由“線線直”可得出“線面垂直”）；②判定定理最常用：要著力尋找平面內哪兩條相交直線（有時作輔助線）；結合平面圖形的性質（如勾股定理逆定理、等腰三角形底邊中線等）及一條直線與平行線中一條垂直也與另一條垂直等結論來論證“線線垂直”，進而得出“線面垂直”.（2）平行轉化法（利用推論）.=1\*GB3①;=2\*GB3②.易錯易混解讀例下列五個正方體圖形中，是正方體的一條體對角線，點M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出面MNP的圖形的序號是_____.（寫出所有符合要求的圖形序號）錯解由于在所在的面內的投影分別為各面正方形的對角線,由正方形的性質可得,,所以中面中在下底面的投影與垂直,所以,所以面中取的中點,連接,因為在下底面的投影垂直于,所以,所以面,所以,可理,所以面中在面上的投影與垂直,所以,所以面;(5)中取中點,連接在面,面內的投影分別與垂直,所以,所以面,所以面,得面.綜合知,本題的答案是.錯因分析直線與手面垂直的判定有誤,要證一條直線與一個平面垂直，應該證明這條直線與該平面內的兩條相交直線垂直，而錯解中只證了與一條直線垂直（如（2）只證明了),所以出錯.正解(1)中在面內的投影分別為,而,所以,又,所以面中若,則取的中點,連接在面內的投影為,而,所以,結合,得面,所以,這顯然不可能,所以與不可能垂直,所以與面不垂直;(3)類似(2)的證明,可得與面不垂直;(4)中易證,而,所以,所以面中取中點,連接,可證得面,所以,同理可證,所以面.綜上知,本題的正答案是(1)(4)(5).糾錯心得在判斷“線面垂直”的過程中,一定要嚴格按照判定定理證明直線與平面內的兩條相交直線都垂直,從而得到“線面重直”.課堂快速檢測1.垂直于梯形兩腰的直線與梯形所在平面的位置關系是（）A.垂直.B.相交但不垂直C.平行D.不確定2.PA垂直于以為直徑的圓所在的平面,為圓上異于的任一點,則下列關系不正確的是（）A.PAB.平面C.D. 3.已知垂直于平行四邊形所在平面,若,則平行四邊形一定是_____.4.如圖,在正方體中,分別是棱的中點,是底面的中心,則與平面的位置關系是_____.（填“平行”或“垂直”）答案1.答案：A解析:梯形的兩腰所在直線相交