2024-2025學年新教材高中數學課時分層作業(yè)25對數的運算含解析北師大版必修第一冊

PAGE5-課時分層作業(yè)(二十五)對數的運算(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．若ab＞0，給出下列四個等式：①lg(ab)＝lga＋lgb；②lgeq\f(a,b)＝lga－lgb；③eq\f(1,2)lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up8(2)＝lgeq\f(a,b)；④lg(ab)＝eq\f(1,logab10).其中肯定成立的等式的序號是()A．①②③④ B．①②C．③④ D．③D[∵ab＞0，∴a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，∴①②中的等式不肯定成立；∵ab＞0，∴eq\f(a,b)＞0，eq\f(1,2)lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up8(2)＝eq\f(1,2)×2lgeq\f(a,b)＝lgeq\f(a,b)，∴③中等式成立；當ab＝1時，lg(ab)＝0，但logab10無意義，∴④中等式不成立．故選D.]2．已知b>0，log5b＝a，lgb＝c，5d＝10，則下列等式肯定成立的是()A．d＝ac B．a＝cdC.c＝ad D．d＝a＋cB[由已知，得a＝eq\f(lgb,lg5)，d＝eq\f(1,lg5)，所以a＝cd.]3．若lgx－lgy＝t，則lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq\s\up8(3)－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))eq\s\up8(3)＝()A．3t B．eq\f(3,2)tC．t D．eq\f(t,2)A[lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq\s\up8(3)－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))eq\s\up8(3)＝3lgeq\f(x,2)－3lgeq\f(y,2)＝3lgeq\f(x,y)＝3(lgx－lgy)＝3t.]4．依據有關資料，圍棋狀態(tài)空間困難度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中一般物質的原子總數N約為1080.則下列各數中與eq\f(M,N)最接近的是()(參考數據：lg3≈0.48)A．1033 B．1053C．1073 D．1093D[由題意，lgeq\f(M,N)＝lgeq\f(3361,1080)＝lg3361－lg1080＝361lg3－80lg10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg1033＝33，lg1053＝53，lg1073＝73，lg1093＝93，故與eq\f(M,N)最接近的是1093.故選D.]5．3lg2－2lg3＝()A．0 B．lg2C．lg3 D．lg6A[令M＝3lg2，N＝2lg3，則lgM＝lg2lg3，lgN＝lg3lg2，∴l(xiāng)gM＝lgN，∴M＝N，∴3lg2－2lg3＝M－N＝0.]二、填空題6．已知loga2＝m，loga3＝n，則loga18＝________．(用m，n表示)m＋2n[loga18＝loga(2×32)＝loga2＋loga32＝loga2＋2loga3＝m＋2n.]7．計算eq\f(lg32－lg4,lg2)＋(27)eq\s\up6(\f(2,3))＝________．12[由指數和對數的運算法則，得eq\f(lg32－lg4,lg2)＋(27)eq\s\up6(\f(2,3))＝eq\f(lg\f(32,4),lg2)＋(33)eq\s\up6(\f(2,3))＝eq\f(lg8,lg2)＋32＝eq\f(lg23,lg2)＋9＝3＋9＝12.]8．若lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，則eq\f(x,y)＝________．4[因為lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞0，y＞0，,x－2y＞0，,xy＝（x－2y）2.))由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，所以x＝y(tǒng)或x＝4y.又x＞0，y＞0且x－2y＞0，所以舍去x＝y(tǒng)，故x＝4y，則eq\f(x,y)＝4.]三、解答題9．求值：lg500＋lgeq\f(8,5)－eq\f(1,2)lg64＋50(lg2＋lg5)2.[解]原式＝lg5＋lg102＋lg23－lg5－eq\f(1,2)lg26＋50＝2＋3lg2－3lg2＋50＝52.10．已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645.[解]法一：因為log189＝a，所以9＝18a，又5＝18b所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×又因為log2×1818＝eq\f(1,log18（18×2）)＝eq\f(1,1＋log182)＝eq\f(1,1＋log18\f(18,9))＝eq\f(1,1＋1－log189)＝eq\f(1,2－a)，所以原式＝eq\f(a＋b,2－a).法二：∵18b＝5，∴l(xiāng)og185＝b.∴l(xiāng)og3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log18（5×9）,log18（4×9）)＝eq\f(log185＋log189,2log182＋log189)＝eq\f(a＋b,2log18\f(18,9)＋log189)＝eq\f(a＋b,2－2log189＋log189)＝eq\f(a＋b,2－a).11．已知2x＝9，2y＝eq\f(8,3)，則x＋2y的值為()A．6B．8C．1D．log4A[由2x＝9，得x＝log29，由2y＝eq\f(8,3)，得y＝log2eq\f(8,3)，∴x＋2y＝log29＋2log2eq\f(8,3)＝2log23＋2log2eq\f(8,3)＝2(log23＋log2eq\f(8,3))＝2log2(3×eq\f(8,3))＝2log28＝2×3＝6.]12．lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的兩個實根，則lg(ab)·(lgeq\f(a,b))2＝()A．2B．4C．6B[由已知得，lga＋lgb＝2，即lg(ab)＝2，lga·lgb＝eq\f(1,2).所以lg(ab)·(lgeq\f(a,b))2＝2(lga－lgb)2＝2[(lga＋lgb)2－4lgalgb]＝2(22－4×eq\f(1,2))＝2×2＝4.]13．設2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則m＝()A．eq\r(10)B．10C．20D．100A[a＝log2m，b＝log5m，代入已知得logm2＋logm5＝2，即logm10＝2，所以m＝eq\r(10).]14．下列表中的對數值有且僅有一個是錯誤的：x358915lgx2a－a＋c3－3a－4a－23a－b＋c請將錯誤的一個改正為lg________＝________．153a－b＋c[由lg9＝2lg3，比照表格可知3，9的對數值沒錯，lg8＝3lg2，所以lg8＝3－3a－3c等價于lg2＝1－a－c，比較lg5＝a＋c，由lg2＋lg5＝1可知lg5，lg8的值沒錯，而lg15＝lg3＋lg5＝3a－b＋c，所以表格中l(wèi)g15錯誤，應改為：lg15＝3a15．若a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的兩個實根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．[解]原方程可化為2(lgx)2－4lgx＋1＝0(x＞0).設t＝lgx，則方程化為2t2－4t＋1＝0，∴t1＋t2＝2，t1·t2＝eq\f(1,2).又∵a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的兩個實根，∴t1＝lga，t2＝lgb，即lga＋lgb＝2，lga·lgb＝eq\f(1,2).∴l(xiāng)g(ab)·(logab＋logba)＝(lga＋lgb)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c