2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章概率3.2.3互斥事件學(xué)案含解析北師大版必修3

PAGE2．3互斥事務(wù)學(xué)問點(diǎn)一互斥事務(wù)[填一填]1．互斥事務(wù)不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事務(wù)叫作互斥事務(wù)(或稱互不相容事務(wù))．2．事務(wù)A與B的并(或和)一般地，由事務(wù)A和B至少有一個(gè)發(fā)生(即A發(fā)生，或B發(fā)生，或A、B都發(fā)生)所構(gòu)成的事務(wù)C稱為事務(wù)A與B的并(或和)，記作C＝A∪B.事務(wù)A∪B是由事務(wù)A或B所包含的基本領(lǐng)件組成的集合．3．互斥事務(wù)的概率加法公式(1)假如A、B是互斥事務(wù)，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(2)假如事務(wù)A1，A2，…An兩兩互斥(彼此互斥)，那么事務(wù)“A1∪A2∪…∪An”發(fā)生(是指事務(wù)A1，A2，…An中至少有一個(gè)發(fā)生)的概率等于這n個(gè)事務(wù)分別發(fā)生的概率和，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．[答一答]1．怎樣正確理解事務(wù)A與事務(wù)B的和？提示：并(和)事務(wù)具有三層意思：(1)事務(wù)A發(fā)生，事務(wù)B不發(fā)生；(2)事務(wù)A不發(fā)生，事務(wù)B發(fā)生；(3)事務(wù)A，B同時(shí)發(fā)生．即事務(wù)A，B中至少有一個(gè)發(fā)生．與集合的并集的性質(zhì)A∪B＝B∪A類似，事務(wù)A與事務(wù)B的并(和)事務(wù)等于事務(wù)B與事務(wù)A的并(和)事務(wù)，即A∪B＝B∪A.例如在擲骰子的試驗(yàn)中，事務(wù)C，D分別表示投擲骰子出現(xiàn)2點(diǎn)、3點(diǎn)，則C∪D＝{出現(xiàn)2點(diǎn)或3點(diǎn)}．學(xué)問點(diǎn)二對(duì)立事務(wù)[填一填]4．對(duì)立事務(wù)(1)定義：不能同時(shí)發(fā)生且必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事務(wù)叫作互為對(duì)立事務(wù)，事務(wù)A的對(duì)立事務(wù)記作eq\x\to(A).(2)概率公式：P(eq\x\to(A))＝1－P(A)．[答一答]2．怎樣正確理解互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)？提示：互斥事務(wù)和對(duì)立事務(wù)都是針對(duì)兩個(gè)事務(wù)而言的，它們兩者之間既有區(qū)分又有聯(lián)系．在一次試驗(yàn)中，兩個(gè)互斥事務(wù)有可能都不發(fā)生，也可能有一個(gè)發(fā)生，但不行能兩個(gè)都發(fā)生；而兩個(gè)對(duì)立事務(wù)必有一個(gè)要發(fā)生，但是不行能兩個(gè)事務(wù)同時(shí)發(fā)生，也不行能兩個(gè)事務(wù)同時(shí)不發(fā)生．所以兩個(gè)事務(wù)互斥，它們未必對(duì)立；反之兩個(gè)事務(wù)對(duì)立，它們肯定互斥．1．要留意互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)的區(qū)分與聯(lián)系：互斥事務(wù)是指事務(wù)A與事務(wù)B在一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生，其詳細(xì)包括三種不同的情形：(1)事務(wù)A發(fā)生且事務(wù)B不發(fā)生．(2)事務(wù)A不發(fā)生且事務(wù)B發(fā)生．(3)事務(wù)A與事務(wù)B同時(shí)不發(fā)生．而對(duì)立事務(wù)是指事務(wù)A與事務(wù)B有且僅有一個(gè)發(fā)生，其包括兩種情形：①事務(wù)A發(fā)生且事務(wù)B不發(fā)生．②事務(wù)B發(fā)生且事務(wù)A不發(fā)生．對(duì)立事務(wù)是互斥事務(wù)的特別情形．2．關(guān)于概率的加法公式：(1)運(yùn)用條件：A、B互斥．(2)推廣：若事務(wù)A1，A2，…，An彼此互斥，則P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．(3)在求某些困難的事務(wù)的概率時(shí)，可將其分解為一些概率較易求的彼此互斥的事務(wù)，化整為零，化難為易．類型一互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)的推斷【例1】某縣城有甲、乙兩種報(bào)紙供居民訂閱，記事務(wù)A為“只訂甲報(bào)”，事務(wù)B為“至少訂一種報(bào)”，事務(wù)C為“至多訂一種報(bào)”，事務(wù)D為“不訂甲報(bào)”，事務(wù)E為“一種報(bào)也不訂”．推斷下列事務(wù)是否是互斥事務(wù)，假如是，推斷它們是否是對(duì)立事務(wù)．(1)A與C；(2)B與E；(3)B與D；(4)B與C；(5)C與E.【思路探究】推斷兩個(gè)事務(wù)是否互斥，就是推斷它們?cè)谝淮卧囼?yàn)中是否能同時(shí)發(fā)生；推斷兩個(gè)互斥事務(wù)是否對(duì)立，就是推斷它們?cè)谝淮卧囼?yàn)中是否必有一個(gè)發(fā)生．【解】(1)由于事務(wù)C“至多訂一種報(bào)”中可能只訂甲報(bào)，即事務(wù)A與事務(wù)C有可能同時(shí)發(fā)生，故A與C不是互斥事務(wù)．(2)事務(wù)B“至少訂一種報(bào)”與事務(wù)E“一種報(bào)也不訂”是不行能同時(shí)發(fā)生的，故事務(wù)B與E是互斥事務(wù)．由于事務(wù)B和事務(wù)E必有一個(gè)發(fā)生，故B與E也是對(duì)立事務(wù)．(3)事務(wù)B“至少訂一種報(bào)”中有可能只訂乙報(bào)，即有可能不訂甲報(bào)，也就是說事務(wù)B發(fā)生，事務(wù)D也可能發(fā)生，故B與D不是互斥事務(wù)．(4)事務(wù)B“至少訂一種報(bào)”中有3種可能：“只訂甲報(bào)”“只訂乙報(bào)”“訂甲、乙兩種報(bào)”．事務(wù)C“至多訂一種報(bào)”中有3種可能：“一種報(bào)也不訂”“只訂甲報(bào)”“只訂乙報(bào)”．即事務(wù)B與事務(wù)C可能同時(shí)發(fā)生，故B與C不是互斥事務(wù)．(5)由(4)的分析可知，事務(wù)E“一種報(bào)也不訂”僅僅是事務(wù)C的一種可能，事務(wù)C與事務(wù)E可能同時(shí)發(fā)生，故C與E不是互斥事務(wù)．規(guī)律方法互斥事務(wù)和對(duì)立事務(wù)的推斷方法(1)推斷兩個(gè)事務(wù)是否為互斥事務(wù)，主要看它們?cè)谝淮卧囼?yàn)中能否同時(shí)發(fā)生，若不能同時(shí)發(fā)生，則這兩個(gè)事務(wù)是互斥事務(wù)，若能同時(shí)發(fā)生，則這兩個(gè)事務(wù)不是互斥事務(wù)．(2)推斷兩個(gè)事務(wù)是否為對(duì)立事務(wù)，主要看在一次試驗(yàn)中這兩個(gè)事務(wù)是否同時(shí)滿意兩個(gè)條件：一是不能同時(shí)發(fā)生；二是必有一個(gè)發(fā)生．假如這兩個(gè)條件同時(shí)成立，那么這兩個(gè)事務(wù)是對(duì)立事務(wù)，只要有一個(gè)條件不成立，這兩個(gè)事務(wù)就不是對(duì)立事務(wù)．事實(shí)上，解決此類問題的關(guān)鍵是明晰“恰”“至少”“至多”“都”等關(guān)鍵詞．拋擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子，用圖形畫出下列每對(duì)事務(wù)所含結(jié)果構(gòu)成的集合之間的關(guān)系，并說明二者之間是否構(gòu)成對(duì)立事務(wù)．(1)“朝上的一面出現(xiàn)奇數(shù)”與“朝上的一面出現(xiàn)偶數(shù)”；(2)“朝上的一面的數(shù)字不大于4”與“朝上的一面的數(shù)字大于4解：(1)依據(jù)題意作出Venn圖(如圖(1))．從圖中可以看出：“朝上的一面出現(xiàn)奇數(shù)”與“朝上的一面出現(xiàn)偶數(shù)”各自所含結(jié)果所組成的集合互為補(bǔ)集，因此它們構(gòu)成對(duì)立事務(wù)．(2)依據(jù)題意作出Venn圖(如圖(2))．從圖中可以看出：“朝上的一面的數(shù)字不大于4”與“朝上的一面的數(shù)字大于4類型二互斥事務(wù)的概率計(jì)算【例2】假設(shè)向三個(gè)相鄰的軍火庫投擲一枚炸彈，炸中第一個(gè)軍火庫的概率為0.025，炸中其余兩個(gè)的概率各為0.1，只要炸中一個(gè)，另兩個(gè)也會(huì)發(fā)生爆炸，求軍火庫發(fā)生爆炸的概率．【思路探究】本題應(yīng)先推斷“軍火庫發(fā)生爆炸”所包含的結(jié)果是否可寫成幾個(gè)互斥事務(wù)所包含結(jié)果的和的形式，假如可以，則分別計(jì)算出每個(gè)基本領(lǐng)件發(fā)生的概率，再利用概率的加法公式進(jìn)行計(jì)算．【解】設(shè)A、B、C分別表示炸中第一、其次、第三個(gè)軍火庫這三個(gè)事務(wù)，則P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.又設(shè)D表示軍火庫發(fā)生爆炸這個(gè)事務(wù)，則有D＝A＋B＋C，其中A、B、C彼此互斥．所以P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225，則軍火庫發(fā)生爆炸的概率為0.225.規(guī)律方法利用互斥事務(wù)的加法公式解題體現(xiàn)了化整為零、化難為易的思想．但要留意用此公式時(shí)，首先要推斷事務(wù)是否互斥，假如事務(wù)不互斥，就不能用此公式．在投擲骰子試驗(yàn)中，依據(jù)向上的點(diǎn)數(shù)可以定義很多事務(wù)，如：A＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}，B＝{出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)}，C＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)}，D＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)}．(1)說明以上4個(gè)事務(wù)的關(guān)系；(2)求兩兩運(yùn)算的結(jié)果．解：解答時(shí)抓住運(yùn)算定義．在投擲骰子的試驗(yàn)中，依據(jù)向上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有6種基本領(lǐng)件，記作Ai＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為i}(其中i＝1,2，…，6)．則A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.(1)事務(wù)A與事務(wù)B互斥，但不對(duì)立，事務(wù)A包含于事務(wù)C，事務(wù)A與D互斥，但不對(duì)立；事務(wù)B與C不是互斥事務(wù)，也不對(duì)立；事務(wù)B與D不是互斥事務(wù)，也不是對(duì)立事務(wù)；事務(wù)C與D是互斥事務(wù)，也是對(duì)立事務(wù)．(2)A∩B＝?，A∩C＝A，A∩D＝?.A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或3或4}，A∪C＝C＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或3或5)，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或2或4或6}．B∩C＝A3＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)3}，B∩D＝A4＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)4}．B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或3或4或5}．B∪D＝A2∪A3∪A4∪A6＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)2或3或4或6}．C∩D＝?，C∪D＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6}．類型三對(duì)立事務(wù)的概率計(jì)算【例3】一個(gè)箱子內(nèi)有9張票，其號(hào)數(shù)分別為1,2，…，9.從中任取2張，其號(hào)數(shù)至少有一個(gè)為奇數(shù)的概率是多少？【思路探究】從9張票中任取2張，要弄清晰取法種數(shù)為eq\f(1,2)×9×8＝36，“號(hào)數(shù)至少有一個(gè)為奇數(shù)”的對(duì)立事務(wù)是“號(hào)數(shù)全是偶數(shù)”，用對(duì)立事務(wù)的性質(zhì)求解特別簡潔．【解】從9張票中任取2張，有(1,2)，(1,3)，…，(1,9)；(2,3)，(2,4)，…，(2,9)；(3,4)，(3,5)，…，(3,9)；…(7,8)，(7,9)；(8,9)，共計(jì)36種取法．記“號(hào)數(shù)至少有一個(gè)為奇數(shù)”為事務(wù)B，“號(hào)數(shù)全是偶數(shù)”為事務(wù)C，則事務(wù)C為從號(hào)數(shù)為2,4,6,8的四張票中任取2張有(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,6)，(4,8)，(6,8)共6種取法．∴P(C)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，由對(duì)立事務(wù)的性質(zhì)得P(B)＝1－P(C)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).規(guī)律方法(1)求困難事務(wù)的概率通常有兩種方法：一是將所求事務(wù)轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事務(wù)的和；二是先去求對(duì)立事務(wù)的概率．(2)涉及到“至多”“至少”型的問題，可以用互斥事務(wù)以及分類探討的思想求解，當(dāng)涉及的互斥事務(wù)多于兩個(gè)時(shí)，一般用對(duì)立事務(wù)求解．將一顆質(zhì)地勻稱的骰子(一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是eq\f(5,6).解析：方法1：將一顆質(zhì)地勻稱的骰子先后拋擲2次，向上的點(diǎn)數(shù)有36種結(jié)果，其中點(diǎn)數(shù)之和小于10的有30種，故所求概率為eq\f(30,36)＝eq\f(5,6).方法2：將一顆質(zhì)地勻稱的骰子先后拋擲2次，向上的點(diǎn)數(shù)有36種結(jié)果，其中點(diǎn)數(shù)之和不小于10的有(6,6)，(6,5)，(6,4)，(5,6)，(5,5)，(4,6)，共6種，故所求概率為1－eq\f(6,36)＝eq\f(5,6).類型四互斥事務(wù)、對(duì)立事務(wù)的綜合應(yīng)用【例4】一個(gè)盒中裝有除顏色外完全相同的12個(gè)球，其中有5個(gè)紅球，4個(gè)黑球，2個(gè)白球，1個(gè)綠球．從中隨機(jī)取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率；(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率．【解】方法1：(1)從12個(gè)球中任取1球，得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得紅球或黑球共有5＋4＝9(種)不同的取法，任取1球有12種取法．所以任取1球得到紅球或黑球的概率為eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)從12個(gè)球中任取1球，得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得白球有2種取法．從而得紅球或黑球或白球的概率為eq\f(5＋4＋2,12)＝eq\f(11,12).方法2：(利用互斥事務(wù)求概率)記事務(wù)A1＝“任取1球?yàn)榧t球”；A2＝“任取1球?yàn)楹谇颉?；A3＝“任取1球?yàn)榘浊颉保籄4＝“任取1球?yàn)榫G球”，則P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)，P(A3)＝eq\f(2,12)，P(A4)＝eq\f(1,12).依據(jù)題意知，事務(wù)A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事務(wù)概率公式，得(1)取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).方法3：(利用對(duì)立事務(wù)求概率)(1)由方法二知，取出1球?yàn)榧t球或黑球的對(duì)立事務(wù)為取出1球?yàn)榘浊蚧蚓G球，即A1＋A2的對(duì)立事務(wù)為A3＋A4，所以取得1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(2,12)－eq\f(1,12)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)A1＋A2＋A3的對(duì)立事務(wù)為A4，所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).規(guī)律方法解決此類問題要留意分類探討和等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，在確定用哪個(gè)公式前，首先應(yīng)結(jié)合互斥事務(wù)和對(duì)立事務(wù)的定義分析出相關(guān)事務(wù)是不是互斥事務(wù)或?qū)α⑹聞?wù)，不要由于亂套公式而出錯(cuò)．甲、乙兩人下棋，和棋的概率為eq\f(1,2)，乙獲勝的概率為eq\f(1,3)，求：(1)甲獲勝的概率；(2)甲不輸?shù)母怕剩猓?1)“甲獲勝”和“和棋或乙獲勝”是對(duì)立事務(wù)，所以“甲獲勝”的概率P＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).即甲獲勝的概率是eq\f(1,6).(2)法1：設(shè)事務(wù)A為“甲不輸”，可看成是“甲獲勝”“和棋”這兩個(gè)互斥事務(wù)的并事務(wù)，所以P(A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).法2：設(shè)事務(wù)A為“甲不輸”，可看成是“乙獲勝”的對(duì)立事務(wù)，所以P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).即甲不輸?shù)母怕适莈q\f(2,3).——易錯(cuò)警示——不能區(qū)分事務(wù)是否互斥而致錯(cuò)【例5】擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子，向上的一面出現(xiàn)1點(diǎn)，2點(diǎn)，3點(diǎn)，4點(diǎn)，5點(diǎn)，6點(diǎn)的概率均為eq\f(1,6)，記事務(wù)A為“出現(xiàn)奇數(shù)”，事務(wù)B為“向上的數(shù)不超過3”，求P(A∪B)．【易錯(cuò)點(diǎn)分析】事務(wù)A與事務(wù)B不是互斥事務(wù)，不能應(yīng)用概率的加法公式．【防范措施】1.明確概率的加法公式運(yùn)用的條件．2．駕馭互斥事務(wù)的特點(diǎn)，分清事務(wù)是否為互斥事務(wù)．【正解】記事務(wù)“出現(xiàn)1點(diǎn)”，“出現(xiàn)2點(diǎn)”，“出現(xiàn)3點(diǎn)”，“出現(xiàn)5點(diǎn)”分別為A1，A2，A3，A4.這四個(gè)事務(wù)彼此互斥，故P(A∪B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).某城市2024年的空氣質(zhì)量狀況如下表所示：污染指數(shù)T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指數(shù)T≤50時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50<T≤100時(shí)，空氣質(zhì)量為良；100<T≤150時(shí)，空氣質(zhì)量為稍微污染．該城市2024年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為(A)A.eq\f(3,5) B.eq\f(1,180)C.eq\f(1,19) D.eq\f(5,9)解析：所求概率為eq\f(1,10)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,5)，故選A.一、選擇題1．把紅、黑、藍(lán)、白4張紙牌隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人分得1張，事務(wù)“甲分得紅牌”與事務(wù)“乙分得紅牌”是(C)A．對(duì)立事務(wù) B．不行能事務(wù)C．互斥但不對(duì)立事務(wù) D．以上答案都不對(duì)解析：由互斥事務(wù)的定義可知：甲、乙不能同時(shí)得到紅牌，由對(duì)立事務(wù)的定義可知：甲、乙可能都得不到紅牌，即“甲或乙分得紅牌”的事務(wù)可能不發(fā)生．2．一人打靶連續(xù)射擊兩次，事務(wù)“至少有一次中靶”的對(duì)立事務(wù)是(C)A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．兩次都不中靶 D．只有一次中靶解析：連續(xù)射擊兩次包含的基本領(lǐng)件有“兩次都不中靶”、“一次中靶”、“兩次中靶”，而“至少有一次中靶”包含“一次中靶”與“兩次中靶”，故其對(duì)立事務(wù)為“兩次都不中靶”．3．2015年5月12日尼泊爾發(fā)生里氏7.5級(jí)地震，此后，連續(xù)下了幾天的雨，下表是氣象人員記錄的一組視察值及其概率的狀況：日降雨量(單位：mm)[0,50)[50,100)[100,150)概率0.140.300.32則日降雨量在[50,150)內(nèi)的概率及日降雨量不低于150mm的概率分別為(B)A．0.24,0.62 B．0.62,0.24C．0.24,0.72 D．0.14,0.62解析：記“日降雨量在[0,50)內(nèi)”為事務(wù)A，“日降雨量在[50,100)內(nèi)”為事務(wù)B，“日降雨量在[100,150)內(nèi)”為事務(wù)C，事務(wù)A，B，C彼此互斥，且P(A)＝0.14，P(B)＝0.30，P(C)＝0.32，則日降雨量在[50